根據(jù)真空中的高斯定理（場(chǎng)方程有關(guān)...E=□S”3—根據(jù)真空中的高斯定理（場(chǎng)方程有關(guān)...E=□S”3—r3)p2 1r38r38 380 0。3—r3)p2 1(r>r)2.10有一內(nèi)外半徑分別為a和b的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為^，使介質(zhì)內(nèi)外均勻帶電，且電荷體密度為P，求：（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng);（2）束縛電荷體密度和束縛電荷面密度。解：1）根據(jù)有介質(zhì)時(shí)的高斯定理（場(chǎng)方程有關(guān)速度的積分形式）可知當(dāng)r<r<rJD.dS=Q=JpdV弓兀()即D?4兀r2=亍Q3丁r3)...E=J-r；)pr(一<r)38r3 1 2速度的積分形式）可知同理可知介質(zhì)球空心處的場(chǎng)強(qiáng)分布為(r<r)i2）考慮線性各向同性介質(zhì)（實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)介質(zhì)）的組成關(guān)系，―?極化強(qiáng)度矢量P=8XE=82工E=(8—8)E0e0 8 00(-(-ri'r

38r3p(r)=-V.P=—(8—8Jv.E=—(8—80)V-

￡-￡ 03￡-￡ 03￡pV?r-￡-8380p(3-0)=- 0-p￡束縛（或極化）電荷面密度為P=P?nSP考慮外球殼時(shí)，幾方向?yàn)閺慕橘|(zhì)指向球殼外真空，考慮到球體的幾何對(duì)稱性和場(chǎng)強(qiáng)分布的球?qū)ΨQ性,則P與n方向同,因此在r二r2處,r=r2r3-r3r=r2r3-r3 1-p3r32p=P=(￡-￡) 『prSPn 0 3￡r3考慮內(nèi)球殼時(shí)，n方向?yàn)閺慕橘|(zhì)指向球殼內(nèi)空心處，則P與n方向反，因此pSPr3pSPr3-r3-￡) 03￡r3二0r=r]2.11已知半徑為r、介電常數(shù)為￡的介質(zhì)球，帶電荷q,求下列情況下空間各點(diǎn)的電場(chǎng)、束縛電荷和總的束縛電荷。（1）電荷q均勻分布于球體內(nèi)；（2）電荷q集中于球心上;（3）電荷q均勻分布于球面上。解析：（1）在介質(zhì)球內(nèi)應(yīng)用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理JDdS=Q可得球內(nèi)的□S電場(chǎng)分布（/為介質(zhì)內(nèi)取高斯面的半徑）所以4兀 3所以4兀 3——r33qqlE二一-——e(1<r)由介質(zhì)組成關(guān)系知極化強(qiáng)度為P三（￡-￡0）E將球心放在坐標(biāo)原點(diǎn)處，利用球坐標(biāo)系中的散度公式可得束縛體分布電荷

16（12Ap=—V*P=- 1P 12視束縛面分布電荷（1=r）一八（ ）qi （￡-￡）qPsp— ,"-8-S04底r3—4—；2總的束縛電荷為QQ=p4兀r2+fpdVSP vp￡一￡ r3q如一”, 0q+- 0—124兀12dl￡-￡ 3q（￡-￡-￡ 3q（￡-￡）——oq+Jr-- j14d1￡ 0 ￡r3￡-￡ 3q（￡-￡）r2——0q —￡ 5￡q（￡-￡） 0—￡球外部電場(chǎng)分布可由高斯定理積分形式求得。（2）在介質(zhì)球內(nèi)應(yīng)用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理』D?dS=Q可得球內(nèi)的電場(chǎng)分邛布（1為介質(zhì)內(nèi)取高斯面的半徑） 一一所以由介質(zhì)組成關(guān)系知極化強(qiáng)度為P三（￡-￡0）E將球心放在坐標(biāo)原點(diǎn)處，利用球坐標(biāo)系中的散度公式可得束縛體分布電荷—? -?16（12A）P=-V*P= 1—=0P 12 61束縛面分布電荷（l=r）pSP=pSP=P'"（￡-￡0）高_(dá)（8-8o）q4?！阹2總的束縛電荷為QQ=p4兀r2+』pdVSP VP8-8= o-q8球外部電場(chǎng)分布可由高斯定理積分形式求得。（3）在介質(zhì)球內(nèi)應(yīng)用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理/D.dS=Q可得球內(nèi)的電場(chǎng)分□S布（l為介質(zhì)內(nèi)取高斯面的半徑） 一一所以 E=0由介質(zhì)組成關(guān)系知極化強(qiáng)度為Pm0將球心放在坐標(biāo)原點(diǎn)處，利用球坐標(biāo)系中的散度公式可得束縛體分布電荷—?1d（12A）p=-V-P=一 1—=0p 12a1束縛面分布電荷（1=r） -psp=P-n=0總的束縛電荷為Q—>

—?Q=0球外部電場(chǎng)分布可由高斯定理積分形式求得。所以，得11-昂〕V-D=V-P3.22半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱（如題圖3.3所示），磁化強(qiáng)度為M0（M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行），求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時(shí)，M=M0ez，得磁化電流為J=VxM=Vx（M0e）=0在界面z=0上，n=-ez,J—Mxn-Mex(—e)=0在界面z=L上，n=ezJ-Mxn-Mexe^-0在界面r=a上，n=erJ-Mxn-Mexe-Me^4.17如圖4-17所示，兩塊半無限大平行導(dǎo)體板的電位為零，與之垂直的底面電位為8（羽0），求此半無限槽中的電位。其中：a a aU 0<x<—0 2平(x,0)-<0a<x<a[2

解：這是一個(gè)二維拉普拉斯方程邊值問題，①=①(x,y)，邊界條件為①①(0,y)=0②①(a,y)=0③中(x,8)=0④平(x,