巧添輔助線妙解圓問題—與圓有關(guān)的輔助線常規(guī)作法解析與圓有關(guān)的幾何問題，幾乎涵蓋了初中幾何的各種基本圖形與基本性質(zhì)，題型的復(fù)雜程度可想而知。為此，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，從而方便求解。為幫助大家正確理解并掌握?qǐng)A中有關(guān)計(jì)算或證明題的一般解法，現(xiàn)就圓中輔助線的常規(guī)作法分類總結(jié)如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考——一、圓中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半徑或直徑，有時(shí)還要連結(jié)過弦端點(diǎn)的半徑）例1.如圖，以RtAABC的直角頂點(diǎn)A為圓心，直角邊AB為半徑的。A分別交BC、AC于點(diǎn)D、E,若BD=10cm，DC=6cm，求。A的半徑。解：過A作AHXBD于H，則bh="d=5cm。f\VBA±AC，AZCAB=ZAHB=90°O又?../ABH=/CBA，.?.^ABHs（T/\^\L△CBA，里J'B—，.二AB2還BHBDDC）曲165=8Cnx=，（:BHABr=AB=30=4、'5cm。例2.如圖，AB是。O的直徑,POLAB交。O于點(diǎn)P，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：PM-PN=2PO2。證明：過O作OCXNP于點(diǎn)C，則PC=1PN。2VOCXNP，PO±AB，.../POM=/PCO=90°。又VZOPM=ZCPO，.△OPMs△CPO，電=-PM，Po2=PM.PC=PM-(PN)即PCPO2PM-PN=2PO評(píng)析：求解圓中與弦有關(guān)的問題，常需作弦心距（即垂直于弦的直徑或半徑），其目的是構(gòu)造以半徑、弦心距、弦為邊的直角三角形，并利用垂徑定理來(lái)溝通弦、弧、弦心距之間的聯(lián)系。TOC\o"1-5"\h\z二、圓中有直徑，常作直徑所對(duì)的圓周角（在半圓中，同樣可作直徑所對(duì)的圓周角）例3.如圖，AB為半圓的直徑，OHXAC于H，BH與OC交于E，若BH=12，求BE的長(zhǎng)。解：連結(jié)BCo―c?/AB為直徑，...ACXBC。又VOHXAC，AO=BO，「.OH^1BC，.哭2￥7BZOHE=ZCBE，ZHOE=ZBCE，.^OHEs^CBE，.HE=OH=1，.BEBC222BE=一BH=—x12=8。例4.如圖,AB是半圓的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，CDXAB于D,求證:CD2=AD-BD。證明：連結(jié)AC、BCo?/AB為直徑，...ZACB=90°，.Z1+Z2=90。。又VCDXAB，.仲ZADC=ZCDB=90°，Z1+Z3=90°，.Z3=Z2，.^BCDs^CAD，.a^d"OBAD=CD，即CD2=AD-BD。CDBD

評(píng)析：由于直徑所對(duì)的圓周角為直角，所以在有關(guān)圓的證明或計(jì)算問題中，利用該性質(zhì)極易構(gòu)造出直角三角形，從而可以很方便地將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行解決。三、圓中有切線，常作過切點(diǎn)的半徑（若無(wú)切點(diǎn)，則過圓心作切線的垂線）例5.如圖，已知MN為。O的直徑，AP是。O的切線，P為切點(diǎn)，點(diǎn)A在MN的延長(zhǎng)線上，若PA=PM，求/A的度數(shù)。解：連結(jié)OP，設(shè)/A的度數(shù)為xoVPA=PM，AZM=ZA，同理可得ZOPM=ZM，AZPOA=ZOPM+ZM=2ZM=2ZA=2x。又-ZAP切。O于點(diǎn)P，AAP±OP，AZA+ZPOA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，AZA=30°o例6.如圖,AB為。O的直徑,C為。O上的一點(diǎn),AD和過C點(diǎn)的切線垂直，垂足為D，求證Z1=Z2o證明：連結(jié)OCoZDC切。O于點(diǎn)C，AOC±DC。又VAD±DC，AOC#AD，AZ1=Z3oZOA=OC,AZ2=Z3，AZ1=Z2o評(píng)析：當(dāng)欲求解的問題中含有圓的切線時(shí)，常常需要作出過切點(diǎn)的半徑，利用該半徑與切線的垂直關(guān)系來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系。四、圓中有特殊角，常作直徑構(gòu)造直角三角形（若題中有三角函數(shù)但無(wú)直角三角形，則也需作直徑構(gòu)造直角三角形）例7.如圖，點(diǎn)A、B、C在。O上（AC不過O點(diǎn)），若ZACB=60解：作直徑AD，連結(jié)BDo..NACB與ZD都是ab所對(duì)的圓周角，AZD=ZACB=60°o是直徑，AZABD=90°，?AD=業(yè)L=_6_sinDsin60°,AB=6,求。O半徑的長(zhǎng)。又ZAD=4*3，??r=1ADAB=c，AABC的外接圓半徑為R，求證:,AB=6,求。O半徑的長(zhǎng)。又ZAD=4*3，??r=1ADAB=c，AABC的外接圓半徑為R，求證:abc===2RosinAsinBsinC證明：作直徑CD，連結(jié)BDoZCD為直徑，?ZCBD=90°，?sinD=匹

sn=DC2R工。又VZA=ZD，「.asinA=sinD=2R即工=2R

sinA同理可得—=2R

sinB，-=2R，

sinC、、45°、60°、90。等特殊角或abc===2RosinAsinBsinC評(píng)析：當(dāng)題設(shè)中未告訴有直角三角形但卻含有30°某個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)，通常需要作直徑構(gòu)造直角三角形來(lái)幫助求解。五、兩圓相切，常作公切線（或者作兩圓的連心線）例9.如圖，。O和。O外切于點(diǎn)A，BC是。O和。O外公切線，B、C為切點(diǎn)，求證：AB1212±ACo證明：過點(diǎn)A作OO1與。O2的公切線AM交BC于點(diǎn)MoZMA和MB分別切。O］于點(diǎn)A、B，「?MA=MB，同理可得MA=MC，「.MA=MB=MC，即點(diǎn)A、B、C同在以M為圓心，BC為直徑的圓周上，「.AB±ACoC、D為切點(diǎn)，若。A例10.如圖，。A和。B外切于點(diǎn)P，CD為。A、OB的外公切線，

與。B的半徑分別為r和3r,求：⑴CD的長(zhǎng)；（2）ZBC、D為切點(diǎn)，若。A連結(jié)AB連結(jié)AB,連結(jié)AC、BD,過點(diǎn)A作AEXBD于E。?「CD是。A和。B的外公切線，C、D為切點(diǎn),AACXCD,BDXCD。又VAE±BD,AACDE為矩形，...CD=AE,DE=AC=r,「?BE=BD-DE=3r-r=2r。,?AB=r+3r=4r,.\⑴、四邊形CD=AE=tAB2—BE2=2偵3r（2）、在RtAAEB中，「?cosB=匪=次=1,.ZB=60°OAB4r2評(píng)析：在解決有關(guān)兩圓相切的問題時(shí)，常常需作出兩圓的公切線或連心線，利用公切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑、切線長(zhǎng)相等、連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之和（或差）等性質(zhì)來(lái)溝通兩圓間的聯(lián)系。例11.如圖，。O和。O相交于A、B兩點(diǎn)，AD是。O的直徑，且圓心O例11.如圖，。O和。O相交于A、B兩點(diǎn)，AD是。O的直徑，且圓心O在。O上，連12112證明：連結(jié)aBo1???AD為即的直徑，.../ABD=90°，「?/D+/BAD=90°。又VZC和ZBAO1都是。O2中BO1所對(duì)的圓周角，.ZC=ZBAO1，即ZC=ZBAD，.ZD+ZC=90°，.COi±ADo例12.如圖,DO】和OO2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓半徑分別為6&和4也，公共弦AB的長(zhǎng)為12,求/O]AO21的度數(shù)°。TOC\o"1-5"\h\z解：連結(jié)AB/O1O2，使之交于H點(diǎn)。/ZlX?/AB為。O1與OO2的公共弦，.?.連心線O1O2垂直平分AB,.?.I°iVlin°2AH=1AB=6，?cosZOAH=翌=~^=迫，cos/OAH