三角函數(shù)線的作用三角函數(shù)線的作用三角函數(shù)線的作用xxx公司三角函數(shù)線的作用文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度新課程中“單位圓與三角函數(shù)線”的教學(xué)作用高一數(shù)學(xué)組劉華泉在三角函數(shù)的教學(xué)中，三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）一直是與三角函數(shù)圖像并駕齊驅(qū)的兩大解題法寶，是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn)。但學(xué)生往往重后者而疏前者，因此老師們?cè)凇叭呛瘮?shù)線的解題功能”方面有較多的探討。如今，隨著新課程改革三角函數(shù)定義的單位圓化，給了三角函數(shù)線更寬的舞臺(tái)，在三角函數(shù)這一章節(jié)知識(shí)的展開(kāi)中，三角函數(shù)線起到了前所未有的作用。本文旨在挖掘“單位圓——三角函數(shù)線”在教學(xué)中的功能。教學(xué)作用一．三角函數(shù)“單位圓定義法”與原教材“終邊定義法”之比較：“終邊定義法（等）”源于銳角三角函數(shù)，“終邊定義法”需要經(jīng)過(guò)“取點(diǎn)──求距離──求比值”等步驟，對(duì)應(yīng)關(guān)系不夠簡(jiǎn)潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰；“從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過(guò)運(yùn)算才能得到，任意一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過(guò)推理才能得到．以往的教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對(duì)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問(wèn)題不無(wú)關(guān)系．用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)．（1）簡(jiǎn)單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對(duì)于任意角，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即角（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y──正弦，角（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x──余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡(jiǎn)單的．另外，“x=cos，y=sin是單位圓的自然的動(dòng)態(tài)（解析）描述，其中，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角每隔2π（圓周長(zhǎng)）而重復(fù)出現(xiàn)（點(diǎn)繞圓周一圈而回到原來(lái)的位置），非常直觀地顯示了這兩個(gè)函數(shù)的周期性．所以作為任意角三角函數(shù)的定義，當(dāng)然是選擇能夠表現(xiàn)周期性的單位圓更為恰當(dāng)。另外，該定義可以在學(xué)誘導(dǎo)公式前求特殊角的三角函數(shù)值，也可以判斷三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)。教學(xué)作用二．單位圓中理解弧度制：OxPQ圖1學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，對(duì)于引進(jìn)弧度制的必要性較難理解．“單位圓定義法”可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用圓的半徑來(lái)度量角，當(dāng)此圓為單位圓時(shí)，由扇形弧長(zhǎng)公式知，。所以，在單位圓中，角度就是弧長(zhǎng)。這時(shí)角度和半徑長(zhǎng)度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（也是實(shí)數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了我們還可以這樣來(lái)理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)）被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P(cos，sin)．OxPQ圖1教學(xué)作用三．“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”中的公式推導(dǎo)和應(yīng)用（求值、證明）：1．公式推導(dǎo)：如圖2，關(guān)系式一“”，即中的勾股定理“”。關(guān)系式二“”，即相似三角xyOMPAxyOMPAT圖2教學(xué)作用四．誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)：舉兩例，如圖3，觀察三角函數(shù)線可知，與xyxyO圖3所以對(duì)于y軸的軸對(duì)稱性sin(π－)=sin，cos(π－)=－cos；xxyO圖4如圖4，的正弦線等于的余弦線的相反數(shù)，關(guān)于y=-x對(duì)稱，。同理以下結(jié)論都可以在單位圓中體現(xiàn)●對(duì)于圓心的中心對(duì)稱性sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos；●對(duì)于x軸的軸對(duì)稱性sin(－)=－sin，cos(－)=cos；●對(duì)于直線y=x的軸對(duì)稱性sin(－)=cos，cos(－)=sin；教學(xué)作用五．利用正弦函數(shù)線作正弦曲線：xyO圖5PMxyO圖5PMM’P’問(wèn)題：如何給圖5中的鈍角描點(diǎn)橫坐標(biāo)等于劣弧OP的長(zhǎng)（由功能二可知），用一條柔軟的細(xì)線將劣弧OP平展到射線Ox上，得橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。然后，將的正弦線平移過(guò)去得縱坐標(biāo)，得點(diǎn)。教學(xué)作用六．三角函數(shù)的性質(zhì)：“單位圓定義法”使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)．如圖6，當(dāng)角的終邊繞原點(diǎn)從的正半軸開(kāi)始，按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，自變量的終邊按照0→→→→→…的規(guī)律周而復(fù)始變化著，所以三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性…一目了然教學(xué)作用七：其它解題功能：主要功能：等式與不等式、比較大小。1．由于單位圓中弧長(zhǎng)，從圖6中易知當(dāng)時(shí)，。此不等式能指導(dǎo)作圖7，三者唯一的交點(diǎn)是原點(diǎn)。圖圖7xy01圖6圖6xyOxyxyO圖9MPPxyO圖8MMPP2．解不等式組(1)、(2)式的解的終邊所在區(qū)域用陰影表示分別如圖8、9所示。取公共部分得解集從這個(gè)角度來(lái)看，新課程或許在告訴我們，可以將三角函數(shù)統(tǒng)一