201《高所有1高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教師：張延經(jīng)濟(jì)學(xué)院碩、博士生課程通

知11月29日周六晚上18：40理教313上第三次習(xí)題課。22014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。3.3平衡增長(zhǎng)路徑一、平衡增長(zhǎng)路徑的特性32014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。一旦收斂于E點(diǎn)，經(jīng)濟(jì)的行為就與平衡增長(zhǎng)路徑上索洛經(jīng)濟(jì)的行為相同。每單位有效勞動(dòng)的平均資本、平均產(chǎn)量和平均消費(fèi)均不變。由于y和c不變，所以儲(chǔ)蓄率(y

–c)／y

也不變?？傎Y本存量、總產(chǎn)量和總消費(fèi)以速率n+g增長(zhǎng)，而每工人平均資本、每工人平均產(chǎn)量和每工人平均消費(fèi)以速率g增長(zhǎng)。42014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。在平衡增長(zhǎng)路徑上，存在：k˙=

0，并且c˙=0∵

索洛模型和拉姆齊模型的生產(chǎn)函數(shù)一樣∴

涉及生產(chǎn)函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論相同。52014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。因此，索洛模型關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的驅(qū)動(dòng)力的中心含義不依賴于其儲(chǔ)蓄率為常數(shù)的

假定。即使儲(chǔ)蓄為內(nèi)生的(如拉姆齊模型中，家庭從

約束考慮一生儲(chǔ)蓄的貼現(xiàn)值)，勞動(dòng)的有效性的增長(zhǎng)依然是每工人平均產(chǎn)量持續(xù)增長(zhǎng)的唯一可能的源泉。62014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。而且由于生產(chǎn)函數(shù)與索洛模型中的生產(chǎn)函數(shù)一樣，可以重復(fù)第一章的計(jì)算，證明當(dāng)且僅當(dāng)每工人平均資本以及資本率差別很大時(shí)，每工人平均資本的差別才能導(dǎo)致每工人平均產(chǎn)量的顯著差別。72014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。二、平衡增長(zhǎng)路徑與黃金律資本存量?在索洛模型和拉姆齊—卡斯—庫普曼斯模型的平衡增長(zhǎng)路徑間唯一重要的差別是：在拉姆齊—卡斯—庫普曼斯模型中，資本存量等于黃金律資本存量的平衡增長(zhǎng)路徑是不可能的。82014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。在索洛模型中，當(dāng)經(jīng)濟(jì)在足夠高的儲(chǔ)蓄率下達(dá)到平衡增長(zhǎng)路徑時(shí)，其實(shí)還存在著其他一些可能的、并且在每一時(shí)點(diǎn)上均取得更高消費(fèi)的平衡增長(zhǎng)路徑。92014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?dc*／dk*

= f

′(k*)

-

(

n+g+δ)

=

0kGRk*102014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0f(k)kf(k)sf(k)(n+g+δ)kkGR使c

達(dá)到最大化的黃金律的資本存量水平k*112014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。與此形成鮮明對(duì)照，在拉姆齊—卡斯—庫普曼斯模型中，儲(chǔ)蓄是從家庭行為中推導(dǎo)出來的，家庭的效用取決于家庭消費(fèi)。并且模型中不存在外部性。其結(jié)果，如果經(jīng)濟(jì)處于每期均可得到更高消費(fèi)的路徑上，則此時(shí)不會(huì)有均衡；退一步講，即使經(jīng)濟(jì)處于這樣一條路徑上，家庭也將降低其儲(chǔ)蓄并利用這一機(jī)會(huì)。122014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。這可以從相圖中看出。再考慮圖2.5，如果初始資本存量大于黃金律資本存量(也就是說，如果

k(0)

大于與

k˙=

0

曲線的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的A值)，則初始消費(fèi)大于維持k不變所需的水平；因此k˙為負(fù)。k逐漸趨近k*

，后者低于黃金律k

值。132014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。最后，k*低于黃金律資本存量這一情況表明，經(jīng)濟(jì)并不收斂于產(chǎn)生最大的可持續(xù)C水平的平衡增長(zhǎng)路徑。這一結(jié)果的直觀推理在g=0

時(shí)最為清楚，因?yàn)榇藭r(shí)沒有每工人平均消費(fèi)和每工人平均產(chǎn)量的長(zhǎng)期增長(zhǎng)。此時(shí)，k*由

f′(k*)=ρ+θg給定(見(2.22)，而kGR

由

f′(kGR

)

=

n+g

給定，且

的假定ρ-

n

-(1-θ)g

＞

0

。142014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。由于k*

＜kGR，k=k*

時(shí)出現(xiàn)的儲(chǔ)蓄增加將使得每工人平均消費(fèi)最終上升到一更高水平并保持在那兒(見圖1.5)。如果經(jīng)濟(jì)始于點(diǎn)F，則k

收斂于k*，而r

收斂于f′(k*)=ρ+θg152014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。∵

k*

由

f′(

k*)

=ρ+θg

給定kGR

由

f′(

kGR

)

=

n+g

給定?假定：ρ-n-(1-θ)

g

＞0即：ρ+θg

＞

n

+

gf′(

k*)

＞f′(

kGR

)?k*＜kGR162014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0圖2.5鞍點(diǎn)路徑k*

與kGRkck˙=

0c˙=

0k*EkGR172014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。這樣，k收斂于一個(gè)低于黃金律資本存量的值。由于k*

是經(jīng)濟(jì)能夠收斂到的最優(yōu)k值，所以k*

被稱為修正的黃金律資本存量。182014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。

但是，由于家庭對(duì)現(xiàn)期消費(fèi)的評(píng)價(jià)高于未來消費(fèi)，所以消費(fèi)最終

性上升的好處是有界的。?在某一點(diǎn)上，——具體而言，當(dāng)k＞k*時(shí)

——

暫時(shí)的短期犧牲與

的長(zhǎng)期收益之間的交替是如此不利，以至于接受該交替就會(huì)降低而非提高一生效用。192014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。三、均衡點(diǎn)的移動(dòng)———貼現(xiàn)率下降的影響202014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。從均衡的表達(dá)式來看：c˙(t)

=

c(t)

[

f′(k(t))

–θg

–ρ]／θ

=

0??(2.22)k˙(t)

=

f(k(t))

-

c(t)

-

(n+g)k(t)

=

0

(2.23)均衡點(diǎn)E的位置，取決于外生變量：g、n、θ、ρ212014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。如果外生變量不發(fā)生變化，則均衡點(diǎn)的位置也不會(huì)發(fā)生變化。如果外生變量發(fā)生變化，則均衡點(diǎn)的位置也相應(yīng)地發(fā)生變化。222014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。1、不同的東西的貼現(xiàn)因子不同。(1)、效用函數(shù)的貼現(xiàn)因子——ρ232014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。目標(biāo)函數(shù)：?U

=∫t=0∞

[

e

-ρt

u(C(t))L(t)／H

]

dt(2

.1)??效用是指商品滿足人的

的能力，是消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)，對(duì)所感受到的滿足程度的一種、心理的評(píng)價(jià)。效用函數(shù)的貼現(xiàn)率為ρ，即、心理評(píng)價(jià)的貼現(xiàn)率為ρ，貼現(xiàn)因子為e

-ρt242014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。(2)、收入、消費(fèi)、資本涉及到錢，即的貼現(xiàn)因子——實(shí)際利率R(t)?約束條件：∫

∞

e

-R(t)

c(t)

e(

n

+g)t

dtt=0≤ k(0)

+∫

∞

e

-R(t)w(t)

e(

n

+g

)t

dt

(2.7)t=0一生的收入約束涉及到錢的貼現(xiàn)問題，取決于實(shí)際利率水平R(t)，貼現(xiàn)因子為e

-R(t)252014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。2、拉姆齊模型中貼現(xiàn)率的下降相當(dāng)于索洛模型中儲(chǔ)蓄率的上升。262014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?從上說：?ρ↓—→e

-ρt↑—→

對(duì)未來消費(fèi)的效用貼現(xiàn)值的評(píng)價(jià)↑—→

現(xiàn)在少消費(fèi)—→

儲(chǔ)蓄率↑272014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。在索洛模型中，假定s有一性增加，其影響的傳導(dǎo)路徑如下：282014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。s

變化的直接影響和間接影響sk(t)

ycyc292014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。考慮一處于平衡增長(zhǎng)路徑上的拉姆齊—卡斯—庫普曼斯經(jīng)濟(jì)，并假定貼現(xiàn)率ρ下降。由于參數(shù)ρ決定了家庭對(duì)現(xiàn)期消費(fèi)和未來消費(fèi)的偏好，所以該模型中貼現(xiàn)率的下降的影響，也要考慮對(duì)k的影響，通過k的中間環(huán)節(jié)，再傳導(dǎo)下去。302014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。cρ變化的直接影響和間接影響k(t)cρ312014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。（1）、均衡點(diǎn)的移動(dòng)：?E點(diǎn)→E′點(diǎn)c˙(t)／c(t)

= [

f′(k(t))

–θg

–ρ]

／θ?c˙(t)是k的隱函數(shù)。322014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。傳導(dǎo)路徑：?ρ

變化←—→f′(k(t))變化←—→

k

變化←—→c˙(t)／c(t)變化332014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著?！?/p>

要始終保持：?c˙(t)／c(t)

=

[f′(k(t))

–θg

–ρ]／θ=0

成立?∴

f′(k(t))

–θg

–ρ

=

0f′(k(t)) =

θg

+ρ∵

ρ1

＞

ρ2?，f′(k2

)

=

θg

+

ρ2?f′(k1

)=θg

+ρ1f′(k1

)

＞

f′(k2

)k1

＜

k2342014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。由于f″(k)＜0

，k1

＜k2

，k2在k1

右側(cè)，因此c˙=0線向右移動(dòng)，從k*舊—→k*新，如圖2.6所示352014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0圖2.6

貼現(xiàn)率下降對(duì)

k*

的影響kck˙=

0c˙=

0Ek*新k*舊E′362014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。定性影響

由于k的變化決定于技術(shù)而非偏好，ρ進(jìn)入關(guān)于c˙的方程，而不進(jìn)入關(guān)于k˙的方程。因此只有c˙=

0

線受到影響。回憶一下方程(2.22)：c˙(t)／c(t)

= [

f′(k(t))

–θg

–ρ]／θ?(2.22)這樣，ρ的下降意味著對(duì)于給定的k，c˙／c比以前高。?372014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0圖2.6貼現(xiàn)率下降后回復(fù)均衡的道路kck˙=

0c˙=

0Ek*新k*舊E′382014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。（2）從舊均衡到新均衡的路徑：Ⅰ、從E點(diǎn)—→A點(diǎn)：?E點(diǎn)存在：?c˙(t)／c(t)

= [

f′(k*

)

–θg

–ρ ]

／θ

=

0舊

1392014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。從上說：ρ↓—→ e

-ρt↑—→

對(duì)未來消費(fèi)的效用貼現(xiàn)值的評(píng)價(jià)↑—→現(xiàn)在少消費(fèi)c(t)↓402014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?此處假定這種變化未被預(yù)期到。因此c的不連續(xù)變化并不意味著家庭不在進(jìn)行最優(yōu)化。給定家庭的信念(包括家庭認(rèn)為ρ不會(huì)發(fā)生變化這一信念)，家庭原來的行為是最優(yōu)的；c的下降是對(duì)ρ下降這一新信息的最優(yōu)反應(yīng)。(見2.7節(jié)和習(xí)題2.9、2.10，其中有關(guān)于如何分析預(yù)期到的變化的例子）。412014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0kck˙=

0c˙=

0Ek*

k*舊

新圖2.6

貼現(xiàn)率下降對(duì)c的影響E′A422014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?

在ρ發(fā)生變化之時(shí)，每單位有效勞動(dòng)的平均資本存量k的值決定于經(jīng)濟(jì)的歷史，而且k不能間斷變化。具體而言，在ρ發(fā)生變化之時(shí)，k等于舊平衡增長(zhǎng)路徑上的k*

。與此相反，家庭用于消費(fèi)的部分c可在ρ發(fā)生變化之時(shí)迅速變化。從對(duì)該經(jīng)濟(jì)進(jìn)行的動(dòng)態(tài)學(xué)分析中可以明確看出全過程：在ρ下降之時(shí)，c迅速下降，從而使經(jīng)濟(jì)處于新的鞍點(diǎn)路徑上(圖2.6中的點(diǎn)A)。432014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。Ⅱ、從A點(diǎn)—→E′點(diǎn)：在E點(diǎn)存在：c˙(t)／c(t)

= [

f′(k*

)

–θg

–ρ

]／θ

=

0舊

1現(xiàn)在ρ1

下降至ρ2

，在A點(diǎn)存在：c˙(t)／c(t)

= [

f′(k*

)

–θg

–ρ

]／θ＞

0舊

2c(t)不斷地上升。442014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。與此同時(shí)k不斷地上升，從k*舊上升至k*新。降至f′(k*在這個(gè)過程中，

f′(

k*

)

不斷舊新)，直至：c˙(t)／c(t)

= [

f′(k*

)

–θg

–ρ

]／θ

=

0新

2這個(gè)c(t)、k

(t)不斷地上升的過程，體現(xiàn)為從A點(diǎn)沿著鞍點(diǎn)路徑，不斷地趨向E′點(diǎn)的過程。452014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0kck˙=

0c˙=

0Ek*

k*舊

新圖2.6

貼現(xiàn)率下降對(duì)

c

的影響E′A462014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。此后，c

和k

逐漸上升至其新的平衡增長(zhǎng)路徑值；這些值高于其在原平衡增長(zhǎng)路徑上的值。472014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0圖2.6貼現(xiàn)率下降的全部影響kck˙=

0c˙=

0Ek*新k*舊E′A482014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著?！?/p>

在拉姆齊模型中ρ↓導(dǎo)致k↑，等價(jià)于索洛模型中s↑導(dǎo)致k↑。第72頁，圖2.6的變化，等價(jià)于第24頁，圖1.5的變化。492014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0圖2.6拉姆齊模型中貼現(xiàn)率下降的影響kck˙=

0c˙=

0Ek*新k*舊E′A502014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。t0t10P24

圖1.52014-11-24

高宏（9）索高洛宏》模講義型，張中延著儲(chǔ)版蓄權(quán)所率有增加的影響圖5(1e)t0k*舊k*新tc*?因此，該模型中貼現(xiàn)率下降的影響相似于索洛模型中當(dāng)資本存量低于黃金律水平時(shí)儲(chǔ)蓄率上升的影響。在兩種情況下，k均逐漸上升至一新的更高水平，而且都在開始時(shí)下降，然后上升至一更高水平。因此，與索洛模型中儲(chǔ)蓄率的

性上升完全一樣，該模型中貼現(xiàn)率的

性下降使得每工人平均資本的增長(zhǎng)率和每工人平均產(chǎn)量的增長(zhǎng)率均暫時(shí)性上升。這兩者之間的唯一區(qū)別是：在ρ下降的情形下，一般而言，調(diào)整過程中儲(chǔ)蓄率不是不變的。522014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。3.4的影響一、計(jì)劃最優(yōu)?市場(chǎng)調(diào)節(jié)≌預(yù)干532014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?一個(gè)自然而然的問題是，該經(jīng)濟(jì)的均衡是否為一合乎人意的結(jié)果。這一問題的答案很簡(jiǎn)單。在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理告訴

：如果市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)性的和完全的，且沒有外部性(且如果當(dāng)事人的數(shù)量有限)，那么分散化均衡的結(jié)果就是帕累托最優(yōu)的

——

也就是說，除非使某些人的境況

，否則不可能使一些人的境況改善。542014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。由于福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理的條件在的模型中得到滿足，所以模型中的均衡必然是帕累托有效率的。且由于所有家庭有相同的效用，因此，這意味著在以同一方式對(duì)待所有家庭的配置中，分散化均衡產(chǎn)生了可能得到的最大效用。——市場(chǎng)萬能論，分權(quán)最優(yōu)552014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。市場(chǎng)分權(quán)制衡

≌(

)?市場(chǎng)調(diào)節(jié)

≌干預(yù)562014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。論證這一問題的角度不同，體現(xiàn)了不同的經(jīng)濟(jì)哲學(xué)觀。經(jīng)濟(jì)

主義者，從一代表性家庭的一生效用的最大化和一生的收入約束條件?出發(fā)，得到家庭的跨期最優(yōu)化(方程(2.22))證明了分權(quán)制衡最優(yōu)。572014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。國家干預(yù)主義者，考慮一社會(huì)計(jì)劃者——

最高

者，所

的問題。該計(jì)劃者可以決定每一期產(chǎn)品在消費(fèi)和投資之間的分配，且他希望最大化一代表性家庭的一生效用。這一問題與單個(gè)家庭的問題只有一點(diǎn)不同：計(jì)劃者不把W和r的路徑看作是給定的，而是考慮到了它們由k的路徑?jīng)Q定這一事實(shí)。而k的路徑又由(2.23)決定。582014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。用于推導(dǎo)(2.19)或(2.22)、涉及連續(xù)兩個(gè)時(shí)點(diǎn)上的消費(fèi)的直觀論證過程也適用于該社會(huì)計(jì)劃者：在時(shí)點(diǎn)t讓消費(fèi)減少?c，并把減少的量用于投資，使得計(jì)劃者在時(shí)點(diǎn)t+?t，可以增加消費(fèi)，增加量為e

fˊ(k(t))?t

e

-(n+g)?t

。592014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?注意這一變化在(短)區(qū)間[t

，t+?t]內(nèi)不影響r和W。r降低的量為f″(k)k乘以k的變化量，而W的上升量為–f″(k)k乘以k的變化量。但這些變化對(duì)總收入(每單位有效勞動(dòng)的總收入)的影響等于W的變化量加上k乘以r的變化量。這在此處為0。也就是說，由于資本獲得其邊際產(chǎn)品，對(duì)勞動(dòng)和以前已有資本的總?cè)匀坏扔谝郧暗漠a(chǎn)量水平(仍為每單位有效勞動(dòng)的平均水平)。這只是如下一般結(jié)果的一具體例子：價(jià)格外部性

(pecuniary externalities)

——

即通過價(jià)格發(fā)生作用的外部性

——

在競(jìng)爭(zhēng)條件下在總量上起平衡作用。602014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?因此計(jì)劃者選擇的路徑上的c(t)必須滿足(2.22)。而且，由于描述k變動(dòng)的方程(2.23)反映技術(shù)，而非偏好，因此該社會(huì)計(jì)劃者也必須遵從方程(2.23)。最后，與家庭最優(yōu)化問題一樣，要求資本存量變?yōu)樨?fù)值的路徑可被排除掉，因?yàn)檫@是不可行的；而使消費(fèi)變?yōu)?的路徑也可被排除掉，因?yàn)樗鼈儧]有最大化家庭的效用。612014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。

簡(jiǎn)言之，該社會(huì)計(jì)劃者問題的解為：c的初始值由鞍點(diǎn)路徑上的值給定，然后c

和k

沿鞍點(diǎn)路徑移動(dòng)。也就是說，該競(jìng)爭(zhēng)性均衡最大化了代表性家庭的福利。對(duì)社會(huì)計(jì)劃者問題的正規(guī)解法要用到變分法。對(duì)此問題的一個(gè)正規(guī)表述和解法，參見布蘭查德和費(fèi)希爾(

，第38—43頁)。對(duì)變分法的介紹，參見卡明和N.施瓦茨(1991年、第8.2節(jié))，或迪克西特(1990年，第10章)。622014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。二、求證的方法——漢密爾頓函數(shù)法?1、目標(biāo)函數(shù)：一個(gè)積分Max

V

≡

∫0

V

[

c(t)，k(t)，t

]dtT家庭效用函數(shù)：U

≡

B∫t=0

e

c(t)

／(1-θ)dt∞ -βt 1-θ(2.14)632014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。2、約束條件：微分方程。k˙(t)=

dk(t)／dt

= g[c(t)、k(t)、t]??資本存量的動(dòng)態(tài)學(xué)：k˙(t)

= s

f(k)

-

(n+g)k= f(k)

-

c(t)

-

(n+g)k642014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?c(t)：選擇變量，政策可控制。?如何選擇，以最大化一生的效用?k(t)：狀態(tài)變量。t

：時(shí)間變量。c(t)與k(t)同時(shí)求解，求

[c(t)、k(t)]的最優(yōu)路徑，求最優(yōu)函數(shù)：

c(t)

= h[

k(t)

]??652014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。3、列出漢密爾頓函數(shù)H= V[c(t)，k(t)，t]+μ(t)g[c(t)、k(t)、t]?μ(t)乘子：聯(lián)合狀態(tài)變量。把狀態(tài)變化考慮在內(nèi)求解，約束條件變化產(chǎn)生的邊際影響。H

= e

-βt

U[c(t)]

+μ(t)[

f(k)

-

c(t)

-

(n+g)k

]662014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?傳統(tǒng)的最大化問題是求一個(gè)確定的點(diǎn)值。現(xiàn)在的最大化問題是求一條道路，無數(shù)點(diǎn)的集合。家庭選擇每一時(shí)點(diǎn)上的c；也就是說，它選擇無限多個(gè)c(t)。672014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。4、最優(yōu)路徑的充要條件?／c(t)

=

0(1)?

k(t)

=

-μ˙(t)=

-

dμ(t)

／dt(2)lim

t→∞

μ(t)k(t)

=

0(3)682014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。5、求解過程(1)

第一步H

= B

e

-βt

U(c(t))+μ(t)[

f(k)-c(t)-(n+g)k

]H／c(t)

=

0 =

B

e

-βt

U′(c(t))

-

μ(t)

①∴

μ(t)

= B

e

-βt

U′(c(t))692014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。U(c(t))

=c(t)1-θ／(1

–

θ)U′(c(t))

= c(t)

-θμ(t)

= B

e

-βt

U′(c(t))?

= B

e

-βt

c(t)–θ702014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。(2)

第二步：H

=

B

e

-βt

U(c(t))+μ(t)[

f(k)

-

c(t)

-

(n+g)k]}

k(t)

=

-μ˙(t)

= -

dμ(t)／

dt

(2)μ(t)[

f′(k)

-

(n+g)]

=

-μ˙(t)f′(k)

-

(n+g)

=

-μ˙(t)／μ(t)712014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。由（1）式得到：μ(t)

=

B e

-βtc(t)

–θ∴

μ˙(t)

／

μ(t)?

=[

e

–βt

]˙／e

-βt+ [c(t)

–θ]˙／c(t)

–θ?

= -

[

f′(k)

-

(n+g)

]722014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?[

e

–βt

]˙／e

–βt?

= e

–βt

（–β）／e

–βt

=

–β[

c(t)

–θ

]˙／

c(t)

–θ?

= [

-θ]

[c(t)

–θ-1

]

c(t)˙／c(t)

–θ?

=

-θ

c(t)˙／c(t)732014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?

=[

e

–βt

]˙／e

-βt+

[

c(t)

–θ

]˙／c(t)

–θ?

=

–β

–

θ

c(t)˙／c(t)?

=

- [

f′(k)

-

(n+g)

]c(t)˙／c(t)

= [

f′(k)

-

(n+g)

-β

]／θ742014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。(3)

第三步lim

t→∞

μ(t)k(t)

=

0(3)lim

t→∞

μ(t)k(t)?

= lim

t→∞

U′(C(t))e

-βt

k(t)

=

0若要此極限為0，則推出：β

＞0752014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。??6、結(jié)果：c˙(t)／c(t)

= [

f

′(k)

–

n

–

g

–

β]

／θ?

= [

f

′(k)

–

ρ

–

θg

]

／θ

(2.19)經(jīng)濟(jì)含義：計(jì)劃控制c(t)按(2.19)的路徑增長(zhǎng)，可以實(shí)現(xiàn)無數(shù)個(gè)家庭一生效用最大化目標(biāo)——整個(gè)社會(huì)的福利最大化。762014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著?！?/p>

市場(chǎng)分權(quán)制衡

≌(

)?市場(chǎng)調(diào)節(jié)

≌

干預(yù)干預(yù)的優(yōu)化路徑(2.19)又稱為凱恩斯

—

拉姆齊規(guī)則。772014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。三、的影響?。到現(xiàn)在為止，在模型中尚未包括然而現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)不僅將其資源用于投資和私人消費(fèi)，還用于公共目的。比如在，大約20％的總產(chǎn)量被；而在其他許多國家這一數(shù)字還要大得多。因此，將模型擴(kuò)展至包括政府部門是很自然的事情。782014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?1、

進(jìn)入資本存量的動(dòng)態(tài)學(xué)方程(2.23)假定每單位時(shí)間內(nèi)，每單位有效勞動(dòng)的平均政府

為g(t)。假定

的買不影響從私人消費(fèi)中得到的效用；這種情況的出現(xiàn)，要么是由于

將這些資源用于根本不影響效用的某些活動(dòng)，要么是由于效用等于從私人消費(fèi)上得到的效用與從提供的產(chǎn)品上得到的效用之和。792014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?同樣，假定

不影響未來產(chǎn)量；那就是說，

被用于公共消費(fèi)而非公共投資。政府

的融資靠征收一次付清的

，

——每單位時(shí)間內(nèi)，每單位有效勞動(dòng)的平均

——也為g(t)，因此

的

總是平衡的。下一節(jié)討論赤字

下

的融資。802014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。(1)、

進(jìn)入的方式k˙(t)

= s

f(k)

-

(n+g)k(t)Y=C+I+G

，兩邊同時(shí)除以AL，得到：Y／AL

=

C／AL

+

I／AL

+

G／ALY／AL

=

C／AL

+

sY／AL

+

G／AL812014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。y

= f(k)

=c(t)

+s

f(k)+

g(t)sf(k)

=

y

- c(t)

-

g(t)?

= f(k)

- c(t)

-

g(t)k˙(t)

= s

f(k)

-(n+g)k(t)?

= f(k)

- c(t)

- g(t)

-(n+g)k(t)822014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?現(xiàn)在，用產(chǎn)量減去私人消費(fèi)與之后，就得到投資。因此，k

的運(yùn)動(dòng)方程(2.23)變?yōu)閗˙(t)

= f(k(t))-

c(t)-g(t)-(n+g)k(t)

(2.38)k˙(t)=0

時(shí)，

c(t)= f(k(t))-

g(t)-(n+g)k(t)與原來的c(t)

= f(k(t))-(n+g)k(t)

時(shí)相比，向下平移了g(t)。832014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?∵

dc(t)／dk(t)

= f′(k)

-

(n

+

g)dc2(t)／dk(t)2

= f″(k)

＜

0∴

c(t)的斜率和凹凸性不變。?g值越高，k˙=0

曲線越靠下；越多，若要使k

保持不變，私人應(yīng)越少。842014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0kck˙=

0c˙=

0Ek*圖支出的影響E′g(t)852014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。(2)、g(t)不影響家庭的偏好。按假定，家庭偏好(2.1)—(2.2)或(2.14)未變。由于歐拉方程(2.19)或(2.22)可在無需家庭一生約束的條件下，從家庭偏好中推導(dǎo)出來，因此歐拉方程在此仍然成立。862014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。(3)、g(t)使家庭的約束有所變化?然而，用于對(duì)

融資的使家庭的

約束有所變化。具體而言，(2.7)變?yōu)椋?72014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?∞

e

-R(t)

c(t)

e(n+g)t

dt∫t=0≤?k(0)

+

∫

∞

e

-R(t)[

w(t)

-

g(t)]

e(n+g)t

dtt=0(2.39)與前面相同的推理過程表明，這意味著此處k的極限行為的表達(dá)式與前面方程(2.12)相同。882014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。2、的

性變化的影響為了理解該模型的含義，假設(shè)經(jīng)濟(jì)處于一?平衡增長(zhǎng)路徑，在該路徑上

g(t)在gL處不變。假設(shè)出現(xiàn)一g

的未預(yù)期到的

性變化：g(t)上升至gH。由(2.38)知，k˙= 0

線下移，下移量為g

的增加量。892014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?從均衡的表達(dá)式來看：c˙(t)

=

c(t)

[

f′(k(t))

–θg

–ρ]／θ

=

0(2.22)k˙(t)

=

f(k(t))

-

c(t)

-

g(t)

-

(n+g)k(t)

=

0?(2.23)均衡點(diǎn)E的位置，取決于外生變量：g、n、θ、ρ、g(t)902014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。如果外生變量不發(fā)生變化，則均衡點(diǎn)的位置也不會(huì)發(fā)生變化。如果外生變量發(fā)生變化，則均衡點(diǎn)的位置也相應(yīng)地發(fā)生變化。912014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0t0t1t圖：性變化gHgLg922014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著?！?/p>

gL(t)

＜

gH(t)k˙(t)

=f(k(t))

-

c(t)-

gL(t)

-(n+g)k(t)

=

0k˙(t)

=f(k(t))

-c(t)

-

gH(t)

-

(n+g)k(t)

=

0k˙(t)=0

線發(fā)生了一個(gè)向下的平移。平移的幅度為：gH(t)-gL(t)932014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0kck˙=

0c˙=

0Ek*圖2.8的性增加對(duì)k˙=0

線的影響E′gH(t)

-

gL(t)942014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。直觀地講，

和

的性增加會(huì)降低家庭的一生

。因此消費(fèi)會(huì)立即下降，而資本存量和真實(shí)利率不受影響。952014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。由于

不影響歐拉方程，所以c˙=0

線不受影響。如圖2.8所示。c˙(t)／c(t)

= [

f′(k(t))

–θg

-ρ]

／θ?(2.22)962014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?知道，作為對(duì)此變化的反應(yīng)，(必須迅速變動(dòng)以使經(jīng)濟(jì)處于新的鞍點(diǎn)路徑上。若非如此，那么與前邊一樣，要么在某一點(diǎn)上資本將變?yōu)樨?fù)的，要么家庭將積累起無限

。在這種情況下，調(diào)整的形式比較簡(jiǎn)單：c降低的量等于g的增加量，經(jīng)濟(jì)立即處于其新的平衡增長(zhǎng)路徑上。972014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。98圖2.82014-11-24

高宏（9）0《高宏》講義，張響延著。kck˙=

0c˙=

0Ek*的

性增加對(duì)消費(fèi)的影E′gH(t)

-

gL(t)?3、

暫時(shí)性變化的影響一個(gè)更有意思的情況是，有一g的未被預(yù)料到的增加，情況發(fā)生后，人們預(yù)期這一增加是暫時(shí)性的；為了簡(jiǎn)單，假定人們確切知道終止時(shí)間。在此情況下，c的降低量不完全就是g的增加量gH-gL。為理解這一點(diǎn)，注意如果是這樣，那么，在

返回gL之時(shí)，c將非連續(xù)性地跳升；這樣邊際效用將非連續(xù)性

降。但由于g返回gL是被預(yù)料到的，所以邊際效用的這種非連續(xù)性也將被預(yù)料到，這對(duì)于家庭而言不會(huì)是最優(yōu)的。2014-11-24

高宏（9）99《高宏》講義，張延著。0t0t1t圖：暫時(shí)性變化gHgLg2014-11-24

高宏（9）100《高宏》講義，張延著。（1）暫時(shí)增加對(duì)實(shí)際利率水平的影響?在舊均衡的變化之前和新均衡的實(shí)現(xiàn)之后，實(shí)際利率水平滿足：c˙(t)／c(t)

=

[

f′(k(t))

–θg

-ρ]／θ?(2.22)當(dāng)c˙(t)

=

0

時(shí)，r(t)

= f′(k(t))

=θg

+ρ2014-11-24

高宏（9）101《高宏》講義，張延著。由于r=f′(k)，故可以根據(jù)k的行為推斷r的行為。這樣，r在支出較高的時(shí)期逐漸上升，之后，r緩慢回到其初始水平，這如圖(b)所示；t0表示g增加的時(shí)間，tl表示g返回初始值的時(shí)間。2014-11-24

高宏（9）102《高宏》講義，張延著。0t0t1t圖：暫時(shí)增加對(duì)r˙(t)的影響1gL0r(t)tggHt2θg+ρ2014-11-24

高宏（9）103《高宏》講義，張延著。Ⅰ、g(t)上升(從

gL

↑

gH

)的影響∵

gL

＜

gH∴若k˙(t)=f(k(t))-c(t)-gL(t)-(n+g)k(t)=0則k˙(t)=f(k(t))-c(t)-gH(t)-(n+g)k(t)＜02014-11-24

高宏（9）104《高宏》講義，張延著。k˙(t)＜0——→ k

不斷地↓r

=

f′(k)r˙(t)

=

dr／dt

=

f″(k)dk／dt =

f″(k)k˙∵

k˙＜

0∴

dr／dt

＞

0

，即：隨著t↑

——→ r

不斷地↑2014-11-24

高宏（9）105《高宏》講義，張延著。0t0t1t圖：暫時(shí)增加對(duì)r˙(t)的影響2gL0r(t)tggHθg+ρ2014-11-24

高宏（9）106《高宏》講義，張延著。Ⅱ、g(t)下降(從

gH

↓

gL

)的影響∵

gL

＜

gH∴若k˙(t)=f(k(t))-c(t)-gH(t)-(n+g)k(t)=0則k˙(t)=f(k(t))-c(t)-gL(t)-(n+g)k(t)＞02014-11-24

高宏（9）107《高宏》講義，張延著。k˙(t)＞0——→ k

不斷地↑r

=

f′(k)r˙(t)

=

dr／dt

=

f″(k)dk／dt =

f″(k)k˙∵

k˙＞

0∴

dr／dt

＜

0

，即：隨著t↑

——→ r

不斷地↓2014-11-24

高宏（9）108《高宏》講義，張延著。0t0t1t圖：暫時(shí)增加對(duì)r˙(t)的影響3gL0r(t)tggHt2θg+ρ2014-11-24

高宏（9）109《高宏》講義，張延著。與真實(shí)利率：暫時(shí)性高導(dǎo)致真實(shí)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用：這一分析利率上升，而性高

則不然。直觀地講，如果

高是暫時(shí)性的，家庭就會(huì)預(yù)期其未來消費(fèi)高于當(dāng)期消費(fèi)。為使他們?cè)敢饨邮苓@一點(diǎn)，真實(shí)利率必須高。另一方面，如果高是性的，則家庭的當(dāng)期消費(fèi)低，且他們預(yù)期消費(fèi)仍將低下去。此在這種情況下，要使家庭接受其當(dāng)期的低消費(fèi)，無需真實(shí)利率的變動(dòng)。2014-11-24

高宏（9）110《高宏》講義，張延著。?暫時(shí)性較高的一個(gè)自然的例子是時(shí)期，因此

的分析

，在高。巴羅(1987年)檢驗(yàn)了這一時(shí)期真實(shí)利率，其方法是英國從1729年到1918

的軍費(fèi)開支與利率。他面臨的最題是，他只有長(zhǎng)期名義利率的數(shù)據(jù)，沒有短期真實(shí)利率的數(shù)據(jù)。粗略他說，長(zhǎng)期利率應(yīng)當(dāng)是預(yù)期短期利率的一個(gè)平均數(shù)。(見第9.3節(jié)。)2014-11-24

高宏（9）111《高宏》講義，張延著。?因此，既然

的分析意味著

的暫時(shí)性增加在一較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)提高短期利率，它也就意味著政府

的暫時(shí)性增加會(huì)提高長(zhǎng)期利率。同理，既然該分析意味著

的

性增加從不改變短期利率，它就這種增加不影響長(zhǎng)期利率。另外，真實(shí)利率等于名義利率減去預(yù)期的通貨膨脹率；因此應(yīng)利用預(yù)期的通貨膨脹率對(duì)名義利率予以矯正。不過，巴羅并未發(fā)現(xiàn)任何表明，在他的樣本期間內(nèi)預(yù)期通貨膨脹率發(fā)生過系統(tǒng)性變化；因此這些數(shù)據(jù)至少與下述觀點(diǎn)一致：名義利率的變動(dòng)代表了真實(shí)利率的變動(dòng)2014-11-24

高宏（9）112《高宏》講義，張延著。圖2．10中畫出了英國軍費(fèi)開支占GNP的(相對(duì)于這一數(shù)據(jù)序列在整個(gè)樣本期間內(nèi)的均值)和長(zhǎng)期利

費(fèi)開支序列的尖峰對(duì)應(yīng)于

；比如，1760年左右的尖峰反映了七年

，而1780年左右的尖峰對(duì)應(yīng)于。該圖表明，在暫時(shí)性的高時(shí)期，利率確實(shí)較高。1142014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。為正規(guī)地檢驗(yàn)這一點(diǎn)，巴羅估計(jì)了一個(gè)關(guān)于軍事序列的過程，并用它估計(jì)了軍費(fèi)開支中的暫時(shí)性分量。據(jù)圖可以看出，所估計(jì)的暫時(shí)性分量與原始序列相差很小，由于軍費(fèi)開支的性變化很小，這些數(shù)據(jù)不能用于研究的

性變化對(duì)利率的影響。1152014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。

這并不奇怪。然后巴羅就長(zhǎng)期利率對(duì)暫時(shí)性軍費(fèi)開支的估計(jì)值進(jìn)行了回歸。由于殘差是序列相關(guān)的，巴羅進(jìn)行了一個(gè)一階序列相關(guān)矯正。結(jié)果是Rt

=

3.54

+ 2.6

g~

，λ

=

0.91t?(0.27)

(0.7)

(0.03)R2

=

0.89，

s.e.e

=

0.248，

D.W.

=2.1?(2.40)1162014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。Rt為長(zhǎng)期名義利率，g~

為暫時(shí)性軍費(fèi)開支的估t計(jì)值占GNP的比例，λ為殘差的一階自回歸參數(shù)，括號(hào)中的數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差。因此，在暫時(shí)性軍費(fèi)開支與利率之間存在著顯著的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。如果將第一次排除在外，結(jié)果可能更強(qiáng)：若樣本期間截止于1914年，則g~

的系數(shù)將提高到6.1(標(biāo)準(zhǔn)差為1.3)。t1172014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。巴羅

，第一次

期間軍費(fèi)開支巨額增加而同期利率上升相對(duì)較小的情況之所以發(fā)生，是由于實(shí)施了價(jià)格，并采用了分配資源的各種非市場(chǎng)。如果這是對(duì)的，那么從這一更短樣本中得出的結(jié)果可能是對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下

對(duì)利率的影響的一個(gè)更好的估計(jì)。1182014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?因此，來自英國的

支持了該理論的預(yù)言。不過，該理論的成功不具普遍性。尤其是在：與其它時(shí)期相比，

期間的真實(shí)利率通常要更低(巴羅，1993年，第321

—322頁)。此異常情況出現(xiàn)的原因尚未得到很好理解。因此，在真實(shí)利率如何對(duì)

的變化作出反應(yīng)這一問題上，該理論并未提供完好的解釋。1192014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?(2)暫時(shí)增加對(duì)k˙(t)=0線的影響?k˙(t)

=f(k(t))-c(t)-g(t)-(n+g)k(t)

=

0?(2.38)1202014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。在舊均衡點(diǎn)E點(diǎn)上，存在：k˙(t)

= f(k(t))

-

gL(t)

-

(n+g)k(t)=

0現(xiàn)在：gL

↑gH

，在新均衡點(diǎn)E′點(diǎn)上，存在：k˙(t)

= f(k(t))

-

gH(t)

-

(n+g)k(t)

=

0與原來的k˙(t)=0

線相比，向下平移了gH(t)-gL(t)

。1212014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。0圖2.9kcc˙=

0Ek*的暫時(shí)性增加的影響gH(t)

-

gL(t)E′k˙=

01222014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。（3）暫時(shí)增加對(duì)消費(fèi)的影響?在舊均衡的變化之前和新均衡的實(shí)現(xiàn)之后，實(shí)際利率水平滿足：c˙(t)／c(t)

=

[

f′(k(t))

–θg

-ρ]／θ?(2.22)當(dāng)c˙(t)

=

0

時(shí)，r(t)

= f′(k(t))

=θg

+ρ1232014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。g(t)cg(t)變化的直接影響影響k(t)c1242014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。從舊均衡到新均衡的c(t)路徑：Ⅰ、從E點(diǎn)—→A點(diǎn)：E點(diǎn)存在：c˙(t)／c(t)

=

[

f′(k(t))

–θg

-ρ]／θ

(2.22)現(xiàn)在gL(t)上升到gH(t)，在舊均衡被打破的t0

時(shí)點(diǎn)上，存在：c(t)從E點(diǎn)迅速下降到A點(diǎn)的水平。1252014-11-24

高宏（9）《高宏》講義，張延著。?在

較高的時(shí)期中，k˙決定于資本積累方程(2.38)，其中g(shù)

=gL；在g回到gL

之后，k˙由g=gL時(shí)的(2.38)決定。歐拉方程(2.22)決定了c的自始至終的動(dòng)態(tài)學(xué)，且c在g返回gL

之時(shí)不會(huì)非連續(xù)性地