水泥價格、廣告費與利潤問題推銷商品的重要手段之一是做廣告，而做廣告要出錢，利弊得失如何估計，需要利用有關(guān)數(shù)學模型作定量的討論。某建材公司有一大批水泥需要出售，根據(jù)以往統(tǒng)計資料，零售價增高，則銷量減少，具體數(shù)據(jù)見表三；如果做廣告，可使銷售量增加，具體增加量以售量提高因子k表示，k與廣告費的關(guān)系列于表四?，F(xiàn)在，已知水泥的進價是每噸250元。問如何確定該批水泥的出售價格和花多少廣告費，可使公司獲利最大？表1：水泥預期銷售量與售價的關(guān)系單價（元/噸）250260270280290300310320售量（萬噸）200190176150139125110100表2：售量提高因子k與廣告費的關(guān)系廣告費（萬元）060120180240300360420提高因子k1.001.401.701.851.952.001.951.80將表1（水泥預期銷售量與價格的關(guān)系）中數(shù)據(jù)繪圖如下圖1y=a+bx用最小二乘法，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)可得正規(guī)方程組-82280一「。1「1190一228065400b=332830解此方程組，得到系數(shù)a=577.6071,b=-1.5048。即銷量與單價的近似關(guān)系為:y=577.6071-1.5048x，將此結(jié)果與原數(shù)據(jù)點畫在同一幅圖形中比較如下圖2：將表2（銷售量提高因子與廣告費的關(guān)系）中數(shù)據(jù)畫圖如下:圖3：*：*：IIIIrIIIUhll1WIbU2W2M)3UUIM)dUUIhU廣告費可以看出提高因子與廣告費近似成二次關(guān)系，因此可設：k=d+ez+k=d+ez+fz2一81680504000一-d--13.65-1680504000169344000e=314750400016934400060600959990_f_952020用最小二乘法，根據(jù)表2中數(shù)據(jù)，可得正規(guī)方程組解此方程組得：d=1.02000,e=6.807x10-3,f=-1.17973。將擬合多項式圖形與原數(shù)據(jù)畫在同一幅圖形中觀察擬合效果:圖4：2*胸康塞設實際銷量為2*胸康塞設實際銷量為S，則S=ky。于是利潤L可以表示為:L=Sx-Sc-z=ky{x-c)-z=(d+ez+夫2)(3+bx)(x-c)-z要求出利潤最大值，只需令：6L——=(d+ez+fz2)(a-be+2bx)=0dx8L一=(g+2我2)(G+Z?x)(x-c)-1=0Sz解得：<1x=一(be-a)=316.93lb<I--1z=-—e=282.21If\_(a+bx)(x-c)進一步求出利潤L的二階偏導數(shù)得：A=竺^=2b(d+ez+我2)8/2d^-LB==(g+2fz)(a-be+2bx)dxdzd^LC==2/(a+bx)(x-c)&2當x=316.93,z=282.21時，顯然有A<0,B=0,C<0,根據(jù)多元函數(shù)極值理論可知，在尤=316.93,z=282.21處，利潤最大，最大利潤為乙max=13209.6（萬兀）。從而，可以預計，將