大學物理實驗講義共振法測楊氏模量楊氏模量是表征固體材料彈性形變的一個重要力學參數(shù)，它標志著材料抵抗彈性形變的能力。楊氏模量是固體材料在彈性形變范圍內(nèi)正應力與相應正應變的比值，其數(shù)值的大小與材料的結構、化學成分和加工制造等方法有關。測量楊氏模量的方法基本可分為四類：Q靜態(tài)測量法。包括靜態(tài)拉伸法、靜態(tài)扭轉(zhuǎn)法、靜態(tài)彎曲法。Q動態(tài)測量法（共振測量法）。包括彎曲共振法（橫向共振法）、縱向共振法、扭轉(zhuǎn)共振法。Q波速測量法。包括連續(xù)波法、脈沖波法。Q其它的一些測量方法。我們學過的有靜態(tài)拉伸法，其缺點是不能真實地反映材料內(nèi)部結構的變化，而且不能對脆性材料進行測量。本實驗采用共振法測材料的楊氏模量，此方法適用范圍廣（不同的材料和不同的溫度），可測量脆性材料（如玻璃、陶瓷等）。用懸絲耦合彎曲共振法測定金屬材料楊氏模量的基本方法是：將一根界面均勻的試樣（如圓截面棒或矩形截面棒）用兩根細絲懸掛在兩只傳感器（一只激振，一只拾振）下面，在試樣兩端自由的條件下，由激振信號通過激振傳感器使試樣做橫向彎曲振動，并由拾振傳感器測出試樣共振時的共振頻率。再測出式樣的幾何尺寸，質(zhì)量等參數(shù)，即可求得試樣材料的楊氏模量。一、實驗目的學習用共振法測量楊氏模量的原理和方法。了解壓電陶瓷換能器的功能，熟悉信號源和示波器的適用。培養(yǎng)綜合運用知識和使用常用儀器使用方法的能力。二、實驗儀器功率函數(shù)信號發(fā)生器、LB-YM（動態(tài)）彈性模量測定儀（激振傳感器一激發(fā)換能器、拾振傳感器一接收換能器、懸絲、懸掛測定支架及支撐測定支架）、示波器、醫(yī)用聽診器、游標卡尺、螺旋測微計、電子天平。三、實驗原理任何物體都有其固有的振動頻率，這個固有振動頻率取決于試樣的振動模式、邊界條件、彈性模量、密度以及試樣的幾何尺寸、形狀。只要從理論上建立了一定振動模式、邊界條件和試樣的固有頻率及其他參量之間的關系，就可通過測量試樣的固有頻率、質(zhì)量和幾何尺寸來計算彈性模量。

1.桿振動的基本方程一細長桿做微小橫(彎曲)振動時，取桿的一端為坐標原點，沿桿的長度方向為x軸建立坐標系，利用牛頓力學和材料力學的哈密頓原理可推出桿的振動方程：84ypS82y

dx4EJ8t2式中Y(x,t)為桿上任一點x在時刻t的橫向位移；e為楊氏模量；J=jy2dS為繞垂直于桿并通過橫截面形心的軸的慣量矩；S為桿的橫截面積。用分離變量法解微分方程(1),可得到兩個獨立的常微分方程：d4X-K4X=0(2)dx4竺+KIELt=odt2pS這兩個線性常微分方程得通解分別為:Y(x)=CcoshKx+CsinhKx+CcosKx+CsinKxT(t)=Acos(st+甲)綜上可得，兩端自由彎曲振動方程得通解為:y(x,y(x,t)=(CicoshKx+CsinhKx+CcosKx+CsinKx)xAcos(st+甲)(6)式中，K分離變量常數(shù)，s為試樣的固有振動頻率，可表示為:(K4EJ)2

s=EJ這個公式稱為頻率公式。它對于任意形狀截面和不同邊界條件得試樣都是成立的。對長度為L，兩端自由的桿，邊界條件為：82Y八彎矩M=EJ一=08x2作用力F=8M=-EJ竺=作用力F=8M=-EJ竺=08x8x3即x=0,L時:(8)(8)d2ydx2x=0=0,d2ydx2x=L=0卜d3ydx3x=0=0,d3Ydx3x=L=0可推導出桿自由振動的頻率方程：coshKLcosKL=1⑼方程(9)為超越方程，不能用解析法求解，利用數(shù)值計算法求得K和L的乘積應滿足KL=0,4.730,7.853,0.996式中，K01=0為第一個根，它與試樣的靜止狀態(tài)相對應；第二個根Kl=4.730對應的頻率為基頻頻率，相應的基頻振型曲線如圖1所示，從圖中可以看出試樣在做基頻振動時，其上有兩個節(jié)點，它們的位置在距端面0.224L和0.776L處。0224L0.5L0776La1二端自由桿基頻彎曲振動波形將基頻對應的土值代入頻率公式，可得到楊氏模量為:(10)(11)E=0.0019978^4^①2(10)(11)J對于圓形截面試樣(d?L)，則J=告，所以式(10)可改寫為:L3mE圓=1.6067—f2式中l(wèi)為棒長；d為棒的直徑；m為棒的質(zhì)量；f為試樣共振頻率。2.楊氏模量的測量本實驗的基本問題是測量在一定溫度下試樣的固有頻率。實驗中采用如圖2所示裝置。由信號發(fā)生器輸出的等幅正弦波信號，加在換能器(I)上。通過換能器把電信號轉(zhuǎn)變成機械振動，再由懸線把機械振動傳給試樣，使試樣作橫向振動。試樣另一端的懸線，把機械振動傳給換能器(II),這時機械振動又轉(zhuǎn)變成電信號。該信號經(jīng)放大后送到示波器中顯示。而數(shù)字頻率計則用于測定信號發(fā)生器的信號頻率。當信號發(fā)生器的頻率不等于試樣的固有頻率時，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒有波圖2動態(tài)測量楊氏模量裝置圖形或波形很小。當信號發(fā)生器的頻率等于試樣的固有頻率時，試樣發(fā)生共振，示波器的波形突然增大，這時頻率計上讀出的頻率就是試樣在該溫度下的共振頻率。將此值代入(11)式，即可計算出試樣楊氏模量。四、實驗步驟測量試樣的長度l、直徑d(測6次)，注意在不同的部位和不同的方向多次測量直徑，使用天平稱量試樣的質(zhì)量。根據(jù)實驗原理，要是試樣自由振動就應把懸線吊扎在試樣的節(jié)點上(見附錄)，但是這樣做就不能激發(fā)和拾取試樣的振動。因此，實際的吊扎位置都要偏離節(jié)點。一般用“內(nèi)插法”準確測定懸線吊扎在試樣節(jié)點上時的共振頻率。室溫下銅和不銹鋼的楊氏模量分別約為1.2x10nN-m-2和2x1011N-m-2，先由(11)式估算出共振頻率f，以便尋找共振點。把信號發(fā)生器的輸出與測試臺的輸入相連，測試臺的輸出與放大器的輸入相接，放大器的輸出與示波器的Y輸入相接。在偏離共振點左右均勻各5個點懸掛試樣，由外向內(nèi)或由內(nèi)向外分別測出8個懸掛點的共振頻率f，懸掛點距離兩端點的距離x和共振點壓V紀錄在表格中。注意：在實驗中保持每次左右兩個懸點位置對稱，兩根懸線保持平行和豎直。因試樣共振狀態(tài)的建立需要有一個過程，共振峰十分尖銳，因此在共振點附近調(diào)節(jié)信號頻率時，必須十分緩慢地進行，緩慢調(diào)節(jié)“頻率微調(diào)”，直至示波器示波屏上出現(xiàn)最大的信號實驗時信號發(fā)生器電壓輸出約0.2?1.0妙。求出試樣的楊氏模量。五、數(shù)據(jù)記錄及數(shù)據(jù)處理：1、實驗數(shù)據(jù)：實驗溫度23.3°C,試樣種類鋼棒試樣質(zhì)量33g，試樣長度150mm試樣直徑一5.950cm,節(jié)點位置(距端面)33mm表1.測量試樣直徑：次數(shù)123456平均值直徑d(mm)5.9555.9525.9465.9485.9525