13.2畫對稱圖形一．選擇題1．點A（2，﹣1）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）2．點A（a，﹣5）關于y軸對稱點的坐標（﹣2，b），則a、b的值是（）A．a(chǎn)＝2，b＝5B．a(chǎn)＝2，b＝﹣5C．a(chǎn)＝﹣2，b＝5D．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣53．在平面直角坐標系中，將點A（﹣1，2）向右平移4個單位長度得到點B，則點B關于y軸的對稱點B′的坐標為（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（3，2）D．（2，﹣3）4．已知點P（m﹣1，4）與點Q（2，n+2）關于y軸對稱，則nm的值為（）A．﹣2B．C．﹣D．15．在平面直角坐標系中，若點P（m，2）與點Q（3，n）關于y軸對稱，則m，n的值分別是（）A．﹣3，2B．3，﹣2C．﹣3，﹣2D．3，26．下列結(jié)論：①在第一象限的點N到x軸的距離是1，到y(tǒng)軸的距離是2，則點N的坐標為（2，1）；②m≠0，點P（m2，﹣m）在第四象限；③與點（﹣3，4）關于y軸對稱的點的坐標是（﹣3，﹣4）；④橫坐標為﹣3的點在經(jīng)過點（﹣3，0）且平行于y軸的直線上．其中正確的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③7．在平面直角坐標系中，點A（﹣2，a）與點B（b，3）關于x軸對稱，則a+b的值是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．58．如圖，△ABC頂點B的坐標是（﹣5，2），先把△ABC向右平移3個單位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1關于y軸的對稱圖形△A2B2C2，則頂點B2的坐標是（）A．C．9．在平面直角坐標系中，已知點A（﹣2a，6）與B（4，b+2）關于x軸對稱，則a，b的值為（）A．a(chǎn)＝2，b＝﹣8B．a(chǎn)＝2，b＝8C．a(chǎn)＝﹣2，b＝8D．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣810．已知點A（a，3），B（﹣3，b），若點A、B關于x軸對稱，則點P（﹣a，﹣b）在第_____象限，若點A、B關于y軸對稱，則點P（﹣a，﹣b）在第_____象限．關于x軸對稱的點的坐標為．12．將點P（﹣2，y）先向下平移4個單位，再向左平移2個單位，然后把點關于x軸對稱得到點Q（x，﹣1）、則x+y＝．13．點P（a，b）關于x軸的對稱點的坐標為，關于y軸的對稱點的坐標為．14．在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣1，2），作點A關于y軸對稱得到點A′，再將點A′向上平移2個單位，得到點A″，則點A″的坐標是．15．如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，點P（a，b）為△ABC的邊AC上一點，將△ABC先向左平移2個單位，再作關于x軸的軸對稱圖形，得到△A′B′C'，則點P的對應點P'的坐標為．三．解答題16．如圖，△DEF的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上．（1）畫△DEF關于直線HG的軸對稱圖形△ABC（不寫畫法）；（2）作△DEF中DE邊上的中線（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．17．如圖在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）（1）請在圖中畫出△ABC關于y軸的對稱圖形△A′B′C′，點A、B、C的對稱點分別為A′、B′、C′，其中A′的坐標為；B′的坐標為；C′的坐標為，（2）請求出△A′B′C'的面積．18．如圖，平面直角坐標系xoy中A（﹣4，6），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．（1）作出△ABC關于直線x＝1對稱的圖形△A1B1C1并寫出△A1B1C1各頂點的坐標；（2）將△A1B1C1向左平移2個單位，作出平移后的△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點的坐標；（3）觀察△ABC和△A2B2C2，它們是否關于某直線對稱？若是，請指出對稱軸，并求△ABC的面積．19．如圖，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，點P在射線OC上．點E在射線OA上，點F在射線OB上，且∠EPF＝90°．（1）如圖1，求證：PE＝PF；（2）如圖2，作點F關于直線EP的對稱點F′，過F′點作FH⊥OF于H，連接EF′，F(xiàn)′H與EP交于點M．連接FM，圖中與∠EFM相等的角共有個．參考答案與試題解析一．選擇題1．【解答】解：A（2，﹣1）關于y軸對稱的點的坐標是（﹣2，﹣1），故選：B．2．【解答】解：∵點A（a，﹣5）關于y軸的對稱點的坐標為（﹣2，b），∴a＝2，b＝﹣5，故選：B．3．【解答】解：點A（﹣1，2）向右平移4個單位長度得到的B的坐標為（﹣1+4，2），即（3，2），則點B關于y軸的對稱點B′的坐標是：（﹣3，2）．故選：A．4．【解答】解：∵點P（m﹣1，4）與點Q（2，n+2）關于y軸對稱，∴m﹣1＝﹣2，n+2＝4，解得：m＝﹣1，n＝2，則nm的值為：2﹣1＝．故選：B．5．【解答】解：∵點P（m，2）與點Q（3，n）關于y軸對稱，∴m＝﹣3，n＝2，則m，n的值分別是：﹣3，2．故選：A．6．【解答】解：①在第一象限的點N到x軸的距離是1，到y(tǒng)軸的距離是2，則點N的坐標為（2，1），說法正確；②m≠0，點P（m2，﹣m）在第四象限，說法錯誤；③與點（﹣3，4）關于y軸對稱的點的坐標是（﹣3，﹣4），說法錯誤；④橫坐標為﹣3的點在經(jīng)過點（﹣3，0）且平行于y軸的直線上，說法正確．正確的說法是①④，故選：C．7．【解答】解：∵點A（﹣2，a）與點B（b，3）關于x軸對稱，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴a+b的值是：﹣3﹣2＝﹣5．故選：A．8．【解答】解：∵頂點B的坐標是（﹣5，2），將其向右平移3個單位得到頂點B1，∴頂點B1的坐標為（﹣2，2）．又∵頂點B2和頂點B1關于y軸對稱，∴頂點B2的坐標為（2，2）．故選：C．9．【解答】解：∵點A（﹣2a，6）與B（4，b+2）關于x軸對稱，∴﹣2a＝4，b+2＝﹣6，解得：a＝﹣2，b＝﹣8，故選：D．10．【解答】解：∵點A（a，3），B（﹣3，b）關于x軸對稱，∴a＝﹣3，b＝﹣3，∴﹣a＞0，﹣b＞0，∴點P（﹣a，﹣b）在第一象限，∵點A（a，3），B（﹣3，b）關于y軸對稱，∴a＝3，b＝3，∴﹣a＜0，﹣b＜0，∴點P（﹣a，﹣b）在第三象限，故選：A．二．填空題（共5小題）11．【解答】解：點（﹣2017，2018）關于x軸對稱的點的坐標為：（﹣2017，﹣2018）．故答案為：（﹣2017，﹣2018）．12．【解答】解：∵將點P（﹣2，y）先向下平移4個單位，再向左平移2個單位，∴平移后的坐標為：（﹣4，y﹣4），∵把點關于x軸對稱得到點Q（x，﹣1），∴x＝﹣4，y﹣4＝1，解得：x＝﹣4，y＝5，則x+y＝1．故答案為：1．13．【解答】解：點P（a，b）關于x軸的對稱點的坐標為：（a，﹣b）；關于y軸的對稱點的坐標為：（﹣a，b）．故答案為：（a，﹣b），（﹣a，b）．14．【解答】解：∵點A的坐標是（﹣1，2），作點A關于y軸對稱得到點A′，∴A′的坐標為：（1，2），∵將點A′向上平移2個單位，∴得到點A″坐標為：（1，4）．故答案為：（1，4）．15．【解答】解：由題意點P（a，b）先向左平移2個單位得到（a﹣2，b），（a﹣2，b）關于x軸的對稱點P′（a﹣2，﹣b），故答案為（a﹣2，﹣b）．三．解答題（共4小題）16．【解答】解：（1）如圖，△ABC為所作；（2）如圖，F(xiàn)M為所作．17．【解答】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求，A′的坐標為（3，4）；B′的坐標為（4，1）；C′的坐標為（1，1）；故答案為：（3，4）；（4，1）；（1，1）；（2）△A′B′C'的面積＝×3×3＝．18．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，A1（6，6），B1（3，2），C1（6，1）．（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，A2（4，6），B2（1，2），C2（4，1）；（3）△ABC和△A2B2C2關于y軸對稱，△ABC的面積為×5×3＝7.5．19．【解答】解：（1）如圖1，過P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，則∠PGF＝∠PHE＝90°，∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，∴PH＝PG，∵∠AOB＝∠EPF＝90°，∴∠PFG+∠PEO＝180°，又∵∠PEH+∠PEO＝180°，∴∠PEH＝∠PFG，∴△PEH≌△PFG（AAS），∴PE＝PF；（2）由軸對稱可得，∠EFM＝∠EF'M，∵F'H⊥OF，AO⊥OB，∴AO∥F'F，∴∠EF'M＝∠AEF'，∵∠AEF'+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，∴∠AEF'＝∠OFE，由題可得，P是FF'的中點，EF＝EF'，∴EP平分∠FEF'，∵PE＝PF，∠EPF＝90°，∴∠PEF＝45°＝∠PEF'，又∵∠AOP＝∠AOB＝45°，且∠AEP＝∠AOP+∠OPE，∴∠AEF'+45°＝45°+∠OPE，∴∠AEF'＝∠OPE，∴與∠EFM相等的角有4個：∠EF'M，∠AEF'，∠EFO，∠EPO．故答案為：4．13.3等腰三角形一、選擇題（本大題共10道小題）1.如圖，已知PA＝PB，在證明∠A＝∠B時，需要添加輔助線，下面有甲、乙兩種輔助線的作法：甲：作底邊AB的中線PC；乙：作PC平分∠APB交AB于點C.則()A．甲、乙兩種作法都正確B．甲的作法正確，乙的作法不正確C．甲的作法不正確，乙的作法正確D．甲、乙兩種作法都不正確2.(2019?天水)如圖，等邊的邊長為2，則點的坐標為A．C．B．D．3.（2020·臨沂）如圖，在中，，，，則（）A.40°B.50°C.60°.D.70°4.（2020·聊城）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，點D是BC邊上任意一點，過點D作DF∥AB交AC于點E，則∠FEC的度數(shù)是（）A．120°B．130°C．145°D．150°5.(2020·青海)等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是()A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°6.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，那么符合題意的點C的個數(shù)是()A.6B.7C.8D.97.如圖，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，則圖中有等腰三角形()A．0個C．2個B．1個D．3個8.（2020·宜賓）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B、C、D在一條直線上，連結(jié)BE、AD，點M、N分別是線段BE、AD上的兩點，且BM＝BE，AN＝AD，則△CMN的形狀是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不等邊三角形9.如圖所示，△ABC是等邊三角形，D為AB的中點，DE⊥AC，垂足為E.若AE=1，則△ABC的邊長為()A.2B.4C.6D.810.（2020·紹興）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結(jié)CP，過點A作AH⊥CP交CP的延長線于點H，連結(jié)AP，則∠PAH的度數(shù)（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小二、填空題（本大題共6道小題）11.等腰三角形的兩邊長分別為6cm，13cm，其周長為________cm.12.（2020·齊齊哈爾）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個等腰三角形的周長是．13.如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正確答案的序號都填寫在橫線上)①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD③AB＋BD＝AC＋CD④AB－BD＝AC－CD14.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一點，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，則∠A＝________°.15.在平面直角坐標系中，點P(4，2)關于直線x＝1的對稱點的坐標是________．16.【題目】（2020·濱州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A的大小為________．三、解答題（本大題共4道小題）17.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點D，AD＝4cm，求BC的長．18.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于點E，F(xiàn).求證：△CEF是等腰三角形．19.已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點(點A，D在直線BC的兩側(cè))，且DB＝DC，過點D作DE∥AC，交射線AB于點E，連接AD交BC于點F.(1)求證：AD⊥BC；(2)如圖①，當點E在線段AB上且不與點B重合時，求證：DE＝AE；(3)如圖②，當點E在線段AB的延長線上時，請直接寫出線段DE，AC，BE的數(shù)量關系．20.如圖①，在△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，H.易證PE＋PF＝CH.證明過程如下：連接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.又∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，∴AB·PE＋AC·PF＝AB·CH.∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH.如圖②，若P為BC延長線上的點，其他條件不變，PE，PF，CH之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．人教版八年級數(shù)學13.3等腰三角形同步訓練-答案一、選擇題（本大題共10道小題）1.【答案】A2.【答案】B【解析】如圖，過點作于點，∵是等邊三角形，∴，．∴點的坐標為．故選B．3.【答案】D【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的等邊對等角且；然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等且，所以選D．，，可得：可得：4.【答案】B【解析】可利用三角形的外角性質(zhì)求∠FEC的度數(shù)，結(jié)合等腰三角形與平行線的性質(zhì)，可得∠EDC、∠B均與∠C相等．即：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°．∵DF∥AB，∴∠EDC＝∠B＝65°．∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．5.【答案】D【解析】(1)當70°是頂角時，另兩個角相等，都等于×(180°－70°)＝55°；(2)當70°是底角時，另一個底角也是70°，頂角＝180°－70°×2＝40°．因此另外兩個內(nèi)角的底數(shù)分別是55°，55°或70°，40°．故選D．6.【答案】C7.【答案】D[解析]∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分線AD交BC于點D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．8.【答案】C【解析】由△ABC和△ECD都是等邊三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝BE，AN＝AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等邊三角形．9.【答案】B10.【答案】C【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)得BC=BP=BA，∴△BCP和△ABP均是等腰三角形.在△BCP中，∠CBP=θ，BC=BP，∴∠BPC=90°-θ.在△ABP中，∠ABP=90°-θ，同理得∠APB=45°+θ，∴∠APC=∠BPC+∠APB=135°，又∵∠AHC=90°，∴∠PAH=45°，即其度數(shù)是個定值，不變．因此本題選C．二、填空題（本大題共6道小題）11.【答案】32[解析]由題意知，應分兩種情況：(1)當腰長為6cm時，三角形的三邊長為6cm，6cm，13cm，6＋6＜13，不能構(gòu)成三角形；(2)當腰長為13cm時，三角形的三邊長為6cm，13cm，13cm，能構(gòu)成三角形，周長＝2×13＋6＝32(cm)．12.【答案】10或11．【解析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可．①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時能組成三角形，∴周長＝3+3+4＝10；②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、4、4，此時能組成三角形，所以周長＝3+4+4＝11．綜上所述，這個等腰三角形的周長是10或11．故答案為：10或11．13.【答案】②③④【解析】序號正誤逐項分析△BAD與△ACD中，雖有兩角和一邊相等，但不是對應關系的角和邊，所以不能判定兩三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC∠BAD＝∠CAD結(jié)合AD是△ABC的邊BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形①×②③√√由于AD是△ABC的邊BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD，得AB－BD＝AC－CD，兩式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的邊BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD，得AB＋BD＝AC＋CD，兩式14.【答案】46[解析]∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.15.【答案】(－2，