基本概念1.余子式和代數(shù)余子式，，。2.對(duì)稱矩陣：3.伴隨矩陣。，組成元素，書寫格式：行元素的代數(shù)余子式寫在列。4.逆矩陣，稱可逆。若可逆，則.5.分塊對(duì)角陣，，。6.初等行（列）變換：①對(duì)換兩行或兩列；②某行或某列乘以非零常數(shù)；③某行（列）的倍加到另一行（列）。7.等價(jià)矩陣：①初等變換得來(lái)的矩陣；②存在可逆矩陣8.初等矩陣：初等變換經(jīng)過一次初等變換得來(lái)的矩陣，①9.矩陣的秩：最高階非零子式的階數(shù)。，使得。；②；③。。10.線性表示：存在。使得，等價(jià)于非齊次方程組有解11.線性相關(guān)：存在不全為的數(shù)有非零解。，使得，等價(jià)于齊次方程組12.線性無(wú)關(guān)：成立，等價(jià)于齊次方程組僅有零解。13.極大無(wú)關(guān)組：其表示或中個(gè)向量滿足：①線性無(wú)關(guān)；②中任意向量可由的極大無(wú)關(guān)組。表中任意個(gè)向量線性相關(guān)，則稱為14.向量組可由向量組表示：中任意一個(gè)向量可由示，等價(jià)于有解，，。15.向量組與向量組等價(jià)：兩個(gè)向量組能相互線性表示。16.齊次方程組基礎(chǔ)解系：第一種描述：設(shè)是方程組的解，且滿足①線性無(wú)關(guān)；②任意一個(gè)解可由其表示。第二種描述：個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。17.特征值和特征向量：。18.相似矩陣：存在可逆矩陣，使得，則稱相似。19.相似對(duì)角化：根據(jù)方陣，找到可逆矩陣和對(duì)角陣，使得。20.內(nèi)積：。21.正交：。22.正交矩陣：23.二次型：或者。特點(diǎn)：的列（行）為兩兩正交的單位向量。，其中為對(duì)稱陣。24.合同矩陣：存在可逆矩陣，使得25.標(biāo)準(zhǔn)型：，則稱合同。。26.正負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)型中正負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)。27.正定二次型：。28.正定矩陣：對(duì)稱陣使得基本定理為正定二次型。1.行列式按行按列展開定理：．逆過程應(yīng)用：已知，則：，求．將中第行元素?fù)Q成對(duì)應(yīng)的，得到。2.為可逆矩陣；為可逆矩陣。滿足可逆，且推論：方陣，則：①；②。3.對(duì)矩陣進(jìn)行一次初等行（列）變換，等價(jià)于在矩陣的左（右）邊乘以一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的初等矩陣。4.初等變換不改變矩陣的秩。5.非齊次方程組有解可由的列線性表示；唯一解；無(wú)窮多解；非齊次方程組無(wú)解不能由的列線性表示特別地：當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣為方陣時(shí)：唯一解。6.齊次方程組僅有零解的列向量組線性無(wú)關(guān)。；齊次方程組有非零解的列向量組線性相關(guān)7.矩陣方程有解的列可由的列線性表示；的列與的列等價(jià)。8.矩陣通過初等行變換變成矩陣，則行向量組等價(jià)，列向量組有相同的相關(guān)性．9.齊次線性方程組解為系數(shù)矩陣的秩，其中，則存在基礎(chǔ)解系為任意常數(shù)．，并且的通10.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；實(shí)對(duì)稱陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交。11.相似矩陣有相同的秩和相同的特征值。12.方陣可對(duì)角化；實(shí)對(duì)稱陣一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量重特征值，可以對(duì)角化；一定可以對(duì)角化。有個(gè)不同的特征值則13.實(shí)對(duì)稱陣一定可以對(duì)角化，并且一定存在正交陣，使得.14.任意二次型，總有正交變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中是的矩陣的特征值.15.設(shè)二次型的秩為，且二次型的標(biāo)準(zhǔn)型分別為和，則系數(shù)和中正負(fù)個(gè)數(shù)相等.16.對(duì)稱陣正定二次型為正定二次型二次型的規(guī)范型為的特征值全為正的各順序階主子式全大于?；拘再|(zhì)1.行列式運(yùn)算性質(zhì)：轉(zhuǎn)置不變；對(duì)換取反；數(shù)乘可提；行列拆分；疊加不變。2.矩陣乘法：①或；②；③。3.矩陣轉(zhuǎn)置：①②③④4.方陣的行列式：①方陣，②，為階方陣。5.伴隨矩陣：①；②；③6.逆矩陣：①；②；③；④，⑤。7.初等矩陣：，，。8.初等變換與初等矩陣：可逆換，為對(duì)進(jìn)行初等列變換。等于有限個(gè)初等矩陣的乘積；可逆，則為對(duì)進(jìn)行初等行變9.行階梯矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。10.秩：①；②；③⑤；④；，則；⑥；⑦.11.，為維非零列向量，則。12.向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量能由其余個(gè)向量線性表示．13.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，向量組可由線性表示，即．，則無(wú)關(guān)14.相關(guān)組添加向量仍相關(guān)，無(wú)關(guān)組減少向量仍無(wú)關(guān)；無(wú)關(guān)組添加分量仍無(wú)關(guān)，相關(guān)組減少分量仍相關(guān)。15.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式是惟一的．16.向量組與它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)；17.矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．18.設(shè)通解是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，，，其中是非齊次方程組為任意常數(shù)．的一個(gè)特解，則的19.設(shè)的特征值為，則：①；②．同型且秩相等等價(jià)；方陣合同?？蓪?duì)角化，且有相同特征值相似；對(duì)稱陣的特20.征值正負(fù)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等21.設(shè)，則有下表：矩陣特征值特征向量/基本方法1.求行列式：方法一、利用行列式的性質(zhì)化三角行列式；方法二、利用性質(zhì)盡可能多的化行列式的某行（列）元素為零，然后依此行（列）用Laplace展開。2.求解矩陣方程：方法：通過矩陣運(yùn)算將方程化為一步，注意左，右乘。三種方式，具體運(yùn)算放最后中非零行的行數(shù)；為抽象矩，比較秩與個(gè)數(shù)的關(guān)系；②.具體時(shí)，將（行階梯矩陣），3.求矩陣的秩：陣時(shí)，利用秩的不等式證明.具體時(shí)，構(gòu)造矩陣4.討論向量組的相關(guān)性：①抽象時(shí)，先設(shè)，通過恒等變形或乘法，或重組，得到，或者用秩的理論判斷，.5.求極大無(wú)關(guān)組：將向量組的各向量做為矩陣的列，行階梯矩陣，向量組的秩等于矩陣的秩，每個(gè)階梯上取一列（一般取階梯豎線右邊的第一列），構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組。6.求基礎(chǔ)解系和通解：先求，得，通過矩陣的運(yùn)算，求出的各線性無(wú)關(guān)的解及的一個(gè)特解，再利用解的結(jié)構(gòu)得到通解。7.含參數(shù)方程組求解：①．行階梯型，討論可否由的列線性表中的參數(shù)代入原方程示；②．特別，當(dāng)為方陣時(shí)，求出的條件，即唯一解的條件，再把組，繼續(xù)由，判斷是表達(dá)式不唯一，還是不能由其表示。8.方陣特征值，特征向量求法：①解，得根，②解方程組，其中不全為0.，得基礎(chǔ)解系，從而得到對(duì)應(yīng)的特征向量為9.方陣對(duì)角化：①求特征值；②得所有特征值的特征向量；③令，，則。10.二次型正交變換下化標(biāo)準(zhǔn)形：①寫出對(duì)稱陣，②求，得特征值，③將每一個(gè)特征值代入，得基礎(chǔ)解系，正交單位化（一個(gè)向量時(shí)，只要單位化），最終得到所有特征值對(duì)應(yīng)的（特征）向量，④，令，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形?！酒渲孝冢?，④步也為對(duì)稱陣通過正交矩陣對(duì)角化的步驟?！炕纠}1.2.已知，且，求．解：，，所以可逆。故3.設(shè)．(1)求向量組的秩及其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組；(2)把該向量組的不屬于最大無(wú)關(guān)組其他向量用這個(gè)最大無(wú)關(guān)組線性表示．解：令，極大無(wú)關(guān)組為(1)..(2).4.設(shè)向量和，確定的值，使得⑴能由唯一線性表示；⑵不能由線性表示；⑶能由線性表示，但表示式不唯一。解：【含參數(shù)，線性表示問題非齊次方程組解的存在性討論，未知數(shù)個(gè)數(shù)等于方程個(gè)數(shù)】，設(shè)，則故⑴當(dāng)⑵當(dāng)、時(shí)，，有唯一解，即能由唯一線性表示；時(shí)，由可知：⑶當(dāng)，無(wú)解，即不能由線性表示；時(shí)，。顯然，能由線性表示，且表示式不唯一。5.已知線性方程組討論為何值時(shí)：（1）方程組無(wú)解；（2）有解，并求其通解．解：對(duì)方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換，得：，(1)當(dāng)(2)當(dāng)ⅰ)當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，,方程組無(wú)解;,方程組有解;,方程組有無(wú)窮多解,此時(shí)，，得基礎(chǔ)解系：，得特解：得通解（為任意常數(shù)）．ⅱ)當(dāng)時(shí)，,方程組也有無(wú)窮多解,此時(shí)，即得通解（為任意常數(shù)）．6.設(shè)矩陣與相似，且(1)求的值；(2)求可逆陣，使．解：(1)(2)時(shí)，時(shí)，則．7.設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，且的第列為．（Ⅰ）求矩陣；（Ⅱ）證明為正定矩陣，其中為三階單位矩陣．解：（Ⅰ）由題意，的特征值為，，可知為的對(duì)應(yīng)的特征向量，設(shè)的對(duì)應(yīng)的特征向量為，單位化為，且已知與正交，從而，取，令，則．（Ⅱ）【證明】：的特征值為