4.4線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性及能觀性4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其中x為n維狀態(tài)向量，u為p為輸入；Td為時(shí)間t的定義區(qū)間；t0為初始時(shí)刻，t>t0；A(x)、B(x)分別為n×n,n×p時(shí)變矩陣.4.4線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性及能觀性4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)

定理4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)在定義時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，狀態(tài)完全能控的充要條件是Gram矩陣非奇異。式中為時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。定理4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)在定義時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續(xù)可微的，在時(shí)間區(qū)間[t0,t1]上，若有則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，其中分塊矩陣,推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續(xù)可例4.4.1.(1)

例4.4.1.(1)秩為3，所以系統(tǒng)是完全能控秩為3，所以系統(tǒng)是完全能控推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)在時(shí)間區(qū)間Td上是n-1次連續(xù)可微的,若對(duì)初始時(shí)刻t0∈Td,存在有限時(shí)刻t1∈Td，t1>t0,使得則系統(tǒng)在時(shí)刻t0是狀態(tài)完全能控的,其中分塊矩陣,推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)在時(shí)間區(qū)間Td上是例4.1.1.(2)試判斷線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)例4.1.1.(2)試判斷線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)解：首先計(jì)算進(jìn)而，可以找到，使有解：首先計(jì)算進(jìn)而，可以找到，使有據(jù)秩判據(jù)可知，系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控.據(jù)秩判據(jù)可知，系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控.4.4.2線性時(shí)變系統(tǒng)能觀性的判據(jù)定理4.4.2線性時(shí)變系統(tǒng)定義在時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是Gram矩陣為非奇異。4.4.2線性時(shí)變系統(tǒng)能觀性的判據(jù)定理4.4.2線推論(秩判據(jù)）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續(xù)可微的條件在時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，又有則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。其中分塊矩陣，推論(秩判據(jù)）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續(xù)可例4.4.2例4.4.2

其秩等于3，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的。

推論（秩判據(jù)）：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，若A(t)、C(t)陣均是n-1階連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)在時(shí)刻t0狀態(tài)完全能觀的充分條件為存在一個(gè)有限時(shí)刻使

推論（秩判據(jù)）：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，若A(t)、C(例4.4.2.（2）已知線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)為

,

分析系統(tǒng)在時(shí)的能觀性

解首先計(jì)算例4.4.2.（2）已知線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)為,于是

可見系統(tǒng)在時(shí)刻狀態(tài)完全能觀測(cè)。

于是可見系統(tǒng)在時(shí)刻狀態(tài)完全能觀4.5能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系4.5.1能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶系統(tǒng)4.5能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系4.5.1能控性與能觀性的對(duì)偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由圖可見，互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)輸入端與輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。

對(duì)偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由圖可見，互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)輸入端與輸4.5.2對(duì)偶原理系統(tǒng)和是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則的能控性等價(jià)于的能觀測(cè)性；的能觀測(cè)性等價(jià)于的能控性。或者說，若是狀態(tài)完全能控的(完全能觀測(cè)的)，則是狀態(tài)完全能觀測(cè)的(完全能控的)。

4.5.2對(duì)偶原理系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件相同；系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件與系統(tǒng)完全能觀的充要條件相同。（對(duì)偶原理）

系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀對(duì)偶原理在現(xiàn)代控制理論的研究中具有重要意義,其使得系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)及估計(jì)等問題和系統(tǒng)的控制問題互相轉(zhuǎn)化、借鑒,例如,最優(yōu)估計(jì)問題就可借鑒最優(yōu)控制問題的結(jié)論而獲得解決。對(duì)偶原理在現(xiàn)代控制理論的研究中具有重要意義,其使得系4.5.3兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系

4.5.3兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系4.4線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性及能觀性4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其中x為n維狀態(tài)向量，u為p為輸入；Td為時(shí)間t的定義區(qū)間；t0為初始時(shí)刻，t>t0；A(x)、B(x)分別為n×n,n×p時(shí)變矩陣.4.4線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性及能觀性4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)

定理4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)在定義時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，狀態(tài)完全能控的充要條件是Gram矩陣非奇異。式中為時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。定理4.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)在定義時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續(xù)可微的，在時(shí)間區(qū)間[t0,t1]上，若有則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，其中分塊矩陣,推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續(xù)可例4.4.1.(1)

例4.4.1.(1)秩為3，所以系統(tǒng)是完全能控秩為3，所以系統(tǒng)是完全能控推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)在時(shí)間區(qū)間Td上是n-1次連續(xù)可微的,若對(duì)初始時(shí)刻t0∈Td,存在有限時(shí)刻t1∈Td，t1>t0,使得則系統(tǒng)在時(shí)刻t0是狀態(tài)完全能控的,其中分塊矩陣,推論（秩判據(jù)）：假設(shè)矩陣A(t)和B(t)在時(shí)間區(qū)間Td上是例4.1.1.(2)試判斷線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)例4.1.1.(2)試判斷線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)解：首先計(jì)算進(jìn)而，可以找到，使有解：首先計(jì)算進(jìn)而，可以找到，使有據(jù)秩判據(jù)可知，系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控.據(jù)秩判據(jù)可知，系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控.4.4.2線性時(shí)變系統(tǒng)能觀性的判據(jù)定理4.4.2線性時(shí)變系統(tǒng)定義在時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是Gram矩陣為非奇異。4.4.2線性時(shí)變系統(tǒng)能觀性的判據(jù)定理4.4.2線推論(秩判據(jù)）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續(xù)可微的條件在時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，又有則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。其中分塊矩陣，推論(秩判據(jù)）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續(xù)可例4.4.2例4.4.2

其秩等于3，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的。

推論（秩判據(jù)）：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，若A(t)、C(t)陣均是n-1階連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)在時(shí)刻t0狀態(tài)完全能觀的充分條件為存在一個(gè)有限時(shí)刻使

推論（秩判據(jù)）：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，若A(t)、C(例4.4.2.（2）已知線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)為

,

分析系統(tǒng)在時(shí)的能觀性

解首先計(jì)算例4.4.2.（2）已知線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)為,于是

可見系統(tǒng)在時(shí)刻狀態(tài)完全能觀測(cè)。

于是可見系統(tǒng)在時(shí)刻狀態(tài)完全能觀4.5能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系4.5.1能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶系統(tǒng)4.5能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系4.5.1能控性與能觀性的對(duì)偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由圖可見，互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)輸入端與輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。

對(duì)偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由圖可見，互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)輸入端與輸4.5.2對(duì)偶原理系統(tǒng)和是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則的能控性等價(jià)于的能觀測(cè)性；的能觀測(cè)性等價(jià)于的能控性。或者說，若是狀態(tài)完全能控的(完全能觀測(cè)的)，則是狀態(tài)完全能觀測(cè)的(完全能控的)。

4.5.2對(duì)偶原理系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件相同；系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件與系統(tǒng)完