7/7二次函數(shù)與幾何綜合典題題例1．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2），且與軸兩交點(diǎn)間的距離為4，求其解析式。例2.已知二次函數(shù)的圖像與軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與軸交于點(diǎn)C，若△AOC與△BOC的面積之和為6，且這個(gè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-a），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。例3.已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)E（2，3），對(duì)稱軸為＝1，它的圖像與軸交于兩點(diǎn)A。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POA的面積等于△EOB的面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。例4.如圖，拋物線與軸、軸分別相交于A（-1，0）、B（3，0）、C(0，3)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D。（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）求四邊形ABDC的面積；（3）試判斷△BCD與△COA是否相似？若相似寫出證明過程；若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由。例5：如圖，已知拋物線的圖像與X軸交于A、C兩點(diǎn)。（1）若拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱，求的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（B不與A,C重合），以AC為對(duì)角線，A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)記為D，求證：點(diǎn)D在上；（3）探索：當(dāng)點(diǎn)B分別位于在軸上、下兩部分的圖像上時(shí)，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值或最小值？若存在，判斷它們是何種特殊平行四邊形并求出它的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例6.如圖，已知：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且＜，拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（，0）、B（0，）。（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D。試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；（3）P是線段OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥軸，與拋物線交于H點(diǎn)，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)。答案：1．根據(jù)題意得：，，。聯(lián)立以上三式得：，，?！鄴佄锞€解析式為：。另解：由頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，-2）可知，對(duì)稱軸為：，又與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,0）、（5,0）。設(shè)表達(dá)式為，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)得：，解得：，∴。※2.頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，-a）代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，（太好了，一箭三雕?。啵c(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為：（1,0）、（3,0），∴AB=2.∵，∴，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為。3．（1）由題意知：①，②，又③。聯(lián)立①②③式可得：，∴解析式為：（2）存在這樣的點(diǎn)P。由（1）可知，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，4）。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，），則△POA的高為，底邊OA=1。△EOB的底邊為3，高為3，∴△EOB的面積=。令，∴，∵9＞4，∴=，解得：?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）.4．（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3）得：，解得：。∴解析式為。（2）由（1）可知，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,4）.作DE⊥AB，垂足為E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）。∴四邊形ABDC的面積=。（3）△BCD與△COA相似。理由如下：由A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)可得：OA=1，CO=3，CA=；BC=，CD=，BD=?！撸唷鰾CD∽△COA。5．（1）∵與關(guān)于x軸對(duì)稱，∴。（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（），∵四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）。代入的表達(dá)式可知左邊等于右邊，∴點(diǎn)D在上。（3）∵點(diǎn)A、C是拋物線與x軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（）和（2,0），∴AC=4.平行四邊形ABCD的面積=2△ABC的面積=。①當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，，隨的增大而增大，∴此時(shí)既沒有最大值也沒有最小值；②當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，，且，隨的增大而減小，有最大值沒有最小值。∴當(dāng)取最小值時(shí)，有最大值，最大值為16；此時(shí)點(diǎn)B、D在軸上，AC⊥BD，平行四邊形ABCD是菱形。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，平行四邊形ABCD有最大面積16，此時(shí)的四邊形為菱形。6．（1）解方程得：，∵m＜n，∴，∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，5）。把A、B的坐標(biāo)代入得：解這個(gè)方程組，得，拋物線的解析式為。（2）由（1）知，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（），拋物線對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）。由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可知直線BC的表達(dá)式為，過點(diǎn)D直線DE，交直線BC于點(diǎn)E（如圖1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（），∴線段DE=6，△BCD的面積=.（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)H的坐標(biāo)