1第四節(jié)有理函數(shù)的積分rational

function有理函數(shù)的積分可化為有理函數(shù)的積分舉例小結(jié)思考題作業(yè)第四章不定積分基本積分法:

直接積分法;換元積分法;分部積分法初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分例如,下列函數(shù)積分都不是初等函數(shù)e

dx

,

x2dx

,x

sin

x2sin

x

dx

,1

dx

,ln

x,1

x4dx1

x3

dx

,

x

k

1)2

x

k

2在概率論、數(shù)論、光學(xué)、

分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用的積分,都屬于“積不出”的范圍.2有理函數(shù)的定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.其中m、n都是非負(fù)整數(shù);a0

,a1

,an及b0

,b1

,bm都是實(shí)數(shù),且a0

0,b0

0.假定分子與分母之間沒(méi)有公因式有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分n

m,n

m,真分式;假分式.n3a

x

a

x0

1

m1

mn

n10

1

n1P(

x)Q(

x)b

xm

b

xm1

b x

b

a x

a例x2

x

1x31

1

1

x

x2ma

x

a

xm110n

n1

0

1

n1

n

P(

x)Q(

x)b

xm

b

xm1

b x

b

a x

a多項(xiàng)式的積分容易計(jì)算.只真分式的積分.:多項(xiàng)式真分式有理函數(shù)的積分有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解若

分分式之和4對(duì)一般有理真分式的積分,代數(shù)學(xué)中下述定理起著關(guān)鍵性的作用.定理均可表為有限個(gè)任何有理真分式Q(

x)P(

x)部分分式的和.如果分母多項(xiàng)式Q(x)在實(shí)數(shù)域上的質(zhì)因式分解式為:0Q(

x)

b

(

x

a)

(

x

2

px

q)

,(

p2

4q

0)Q(

x),為正整數(shù),則P(x)可唯一的分解為:有理函數(shù)的積分5P(

x)

Q(

x)式中每個(gè)分式叫做Q(

x)其中諸Ai

,Mi

,Ni都是常數(shù),可由待定系數(shù)法確定,P(x)的部分分式(最簡(jiǎn)分式).0Q(

x)

b

(

x

a)

(

x

2

px

q)

,(

p2

4q

0)M2

x

N2(

x2

px

q)

1A1(

x

a)

A2(

x

a)

1(

x

a)1

px

q

x

2

M

x

N

2個(gè)常數(shù)待定(

x2

px

q)M1

x

N1A

個(gè)常數(shù)待定有理函數(shù)的積分6用此定理有理函數(shù)的積分就易計(jì)算了.且由下面的例題可看出:有理函數(shù)的積分是初等函數(shù).注

系數(shù)的確定,一般有三種方法:等式兩邊同次冪系數(shù)相等;賦值;求導(dǎo)與賦值結(jié)合使用.有理函數(shù)的積分7dxx2例求

1x3

x

1解由多項(xiàng)式除法,有x3

x

1

x2

1dx原式

xdx

x2

1

2

arctan

x

Cx2說(shuō)明:當(dāng)被積函數(shù)是假分式時(shí),應(yīng)把它分為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式,分別積分.1x

x2

1假分式有理函數(shù)的積分89x

5

x

6x

3dx2例求x

3x

3x2

5

x

6 (

x

2)(

x

3)x

2A因式分解x

3

A(x

3)

B(x

2)x

3

(

A

B)x

(3A

2B)

A

B

1,

A

5

(3

A

2B)

3,

B

6

解x

3

56

x2

5

x

6

x

2

x

3x

3B比較系數(shù)有理函數(shù)的積分dxx

3

x2

5

x

6

51dx

6

dxx

2

x

31x

3

dx

x

2

5

6

5

ln

x

2

6

ln

x

3

C有理函數(shù)的積分10dx1

x(

x

1)2

A

x(

x

1)2

x1

A(

x

1)2

Bx

Cx(

x

1)代入特殊值來(lái)確定系數(shù)

A,B,C取

x

0,

A

1取x

1,

B

1取x

2,并將A,B

值代入(1)

C

1

1

1

1x

(

x

1)2

x

1x(

x

1)21例求1解(

x

1)2Bx

1C(1)

賦值有理函數(shù)的積分11于是dx1

x(

x

1)2

xdx1dx

11dx

(

x

1)2

x

1

ln

x

1

Cx

1

ln

|

x

|

1dxx

1x

(

x

1)21

1

1dx1x(

x

1)211

1x

11x(

x

1)2

x

(

x

1)2

有理函數(shù)的積分

12131

A(1

x2

)

(Bx

C

)(1

2x)1

(

A

2B)x2

(B

2C

)x

C

A

A

C

1,

A

2B

0,5

5

5B

2C

0,

A

4

,B

2

,

C

1例求1dx.

(1

2

x)(1

x2

)解(1

2x)(1

x2

)11

2

xA1

x2

Bx

C比較系數(shù)二次質(zhì)因式有理函數(shù)的積分51

2

x55dx21

x

2

x

1dx

1

(1

2

x)(1

x2

)

dx

25 ln

1

2x

2

x

11

2x

1

x24

5

5

5412(1

2

x)(1

x

)55

5

2

ln

|

1

2

x

|

1

ln

|

1

x2

|

1

arctan

x

Cdx

5 1

x1 2

x2dx1

125 1

x有理函數(shù)的積分14注任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列四種典型部分分式的積分之和.(1)

A

dx;

x

a(2)dx;A

(

x

a)ndx.(4)Ax

B

(

x2

px

q)n(3)

x2

px

q其中A,B,

a,

p,

q都為常數(shù),

n為大于1的正整數(shù).并設(shè)p2

4q

0.分別

上述幾種類型的不定積分.有理函數(shù)的積分15A(1)

dxx

ax

ad(

x

a)

A

A

ln

x

a

CA(2)

(

x

a)ndx

A

d(

x

a)n(

x

a)(

x

a)1n

C1

n

A

1有理函數(shù)的積分16Ax

B(3)

x2

px

q

dx

dx2x

px

q22x

px

qAx

A

pdx12

x2

px

qdx

(B

A

p)

2

A

2x

p2

2Ax

A

p

A

p

B(

x2

px

q)

2

x

pdx12

x

px

q

2

x2

px

qdx

(B

A

p)2x

px

q

(

x

)42p22)

(q

p有理函數(shù)的積分1718)2p24p(

x

)2

(q

pd(

x

)2A

(B

p)2A24

(

x

)2222p2

q

d(

x

p

)2ln

x2

px

q

(B

A

p)pA2x

pq

q

44ln

x2

px

q

2

arctan

2

C(B

A

p)p2

p2x

2A

d(

x

2

px

q)

2

px

q有理函數(shù)的積分 Ax

B

dx

(4)

(

x2

px

q)ndx(

x2

px

q)n2 (

x

px

q)n2(B

A

p)

1

dx2 (

x2

px

q)n

A

d(

x

px

q)

2

(

x

2

px

q)nd(

x

2

px

q)

nI

1

(

x2

px

q)ndx

2

2Ax

A

p

A

p

B

C1(1

n)(

x2

px

q)n11)42dx22

p

p(

x

)

(qn有理函數(shù)的積分19用遞推公式dt

(t

2

a2

)nnI

1

(

x2

px

q)ndx

)42dx2p2p(

x

)

(q

nta

2dtn1

(2n

3)I22

2

n11

t2a

(n

1)

(t

a

)nI

有理函數(shù)的積分2021(分項(xiàng)積分法)拆項(xiàng)法;換元法;配方法.有理函數(shù)積分是三角函數(shù)有理式積分、無(wú)理函數(shù)積分的基礎(chǔ),

應(yīng)重點(diǎn)提高計(jì)算的熟練程度和技巧,

一般有以下方法:(1)

部分分式法;

此法一般運(yùn)算較繁.有理函數(shù)的積分22例求

(x

2

2

x

2)2

dxx

2分析從理論上看,可用部分分式法,

但計(jì)算復(fù)雜,故不宜輕易使用,

應(yīng)盡量考慮其它方法.解原式=x

2

(

x

2

2

x

2)2

2

x

2分項(xiàng)2x

2dx

(

x2

2x

2)2

dx(

x2

2x

2)2x

2

2x

2

2x

2

dx約去公因子

有理函數(shù)的積分

(

x

1)2

12dx配方

湊微分

(

x

2

2

x

2)2d(

x

2

2

x

2)

arctan(

x

1)

Cx2

2

x

21例求100

dx(1

x)x

2原式=

dtt100

t100(1

t

)2

1

2t

t

2dt

tt100

t

9998

1

dt

2

1分析這是有理函數(shù)的積分.分母是100

次多項(xiàng)式,如按部分分式法很麻煩.如作一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q,使分母為單項(xiàng),而分子為多項(xiàng),除一下,化為和差的積分.解作變換1

x

t有理函數(shù)的積分23

C

97111

C97(1

x)9749(1

x)9899(1

x)991199t

99

49t

98

97t1或

(1

x)100

dx

x

2(1

x)

1

2dx(1

x)100dx(1

x)100(1

x)2

2(1

x)

1

分項(xiàng)有理函數(shù)的積分dx

dx24

2

(1

x)98

1

x99dx

1

x100(

x

0)25x4

1(

x2

1)

(

x2

1)

dx

x4

1dx2x2x2x2

11

1

1

dx2x2x2x2

11

1dx

1

2

1

x(

x

1

)2

2xd(

x

1

)12x(

x

1

)2

2xd(

x

1

)技巧有理函數(shù)的積分例求解21arctan2

21x

x

12

2ln211x

2x1x

2x原式=

12

C例求解dx

(

x2

2

x

2)25

x

3x2

2x

2

是二次質(zhì)因式,不能再分解.(

x2

2x

2)

2x

2p2

4q

0法一原式=dx(

x2

2

x

2)2dx1

(

x2

2

x

2)2dx

22

25x

5

(2)

5

2

32 (

x

2

x

2)2

x

2

522

2

22 (

x

2

x

2)5 d(

x2

2

x

2)1

2

(

x2

2

x

2)2

dx(

x

1)2

1遞推公式有理函數(shù)的積分2627求dx

(

x2

2

x

2)25

x

3解法二設(shè)u

x

1,則x

u

1,dx

du.du(u2

1)25u

22

2

(u2

1)2du5

d(u

1)2

(u2

1)2u

arctan

u

Cu2

1原式=

arctan(

x

1)

C2(

x2

2x

2)1

52

u2

12x

7回代遞推公式21

(2n

3)In1

t2

a2

)n12a

(n

1)

(tn(t

2

a2

)dt

n

2有理函數(shù)的積分求dx.1x

x

x1

e

2

e

3

e

6x解

令

t

e

6

x

6ln

tdt6tdx

dx

1x

x

x1

e

2

e

3

e

61

6

dt

1

t

3

t

2

t

tdt

1

t(1

t

)(1

t

2

)

6dt1

t

6

3

3t

3t

1

t

2

指數(shù)代換有理函數(shù)的積分適用于被積函數(shù)由e

x所構(gòu)成的代數(shù)式282

6ln

t

3ln(1

t

)

3

ln(1

t

2

)

3arctan

t

C2

t

1

t

1

t

6

3

3t

3

dt32ln(1

e

3

)

3arctan(e

6

)

Cx

x

x

x

3ln(1

e

6

)

6ln

t

3ln(1

t

)

23

1

t

2

dt3

d(1

t

2

)

11

t

2有理函數(shù)的積分29x2求

x4

1dx

1x4

1求

x2

1

dx求dxx

x8

1有理函數(shù)的積分30311

sin

x

1,

,

.1sin

x(1

cos

x)

sin

x

tan

x

5

4

sin

2

x如有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例1.三角函數(shù)有理式的積分三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之.

一般記為R(sin

x,cos

x)對(duì)于三角函數(shù)有理式的積分,

曾用換元法和分部積分法

過(guò)一些.是否任何一個(gè)三角函數(shù)有理式的積分都有原函數(shù)回答是肯定的.cosx

x2

2sin

x

2sin2sec2

x2tan

x2

21

tan2

x22tan

x對(duì)

R(sin

x,cos

x)dx.由三角學(xué)知識(shí)2可通過(guò)變換u

tan

x

化為有理函數(shù)的積分.2事實(shí)上,由u

tan

x半角變換(或稱萬(wàn)能代換）則

x

2arctan

u,

dx

du1

u221

u2322u2可用tan

x

表示.有理函數(shù)的積分u的有理函數(shù)33sec2

x2cos

x

2

x1

tan2

x22

x1

tan1

tan2

2

1

u22u1

u2sin

x

1

u21

u2,

cos

x

du21

u2,

dx

2

du2

,2u

1

u

1

u2u

1

u2

2

R(sin

x,cos

x)dx

R

1

1

u2有理函數(shù)的積分例求

sin

x

dx.1

sin

x

cos

x解

由萬(wàn)能代換

sin

x

2u1

u21

u2cos

x

1

u22dx

du1

u2

1

sin

x

cos

xdx

sin

xdu2u2(1

u)(1

u

)2u(1

u)(1

u2

)2du2

1

u

1

u有理函數(shù)的積分34(1

u)(1

u2

)

du(1

u)2

(1

u2

)

1

u2

1

u1

u

du

1du2

arctanu

1

ln(1

u2

)

ln

|

1

u

|

C2u

tan

x2

xx

x

ln

|

sec |

ln

|

1

tan |

C2

2回代有理函數(shù)的積分3536例求dx.1

sin4

x解法一u

tan

x2u1

u2sin

x

du1

u2dx

2sin4

x

dx1du8u462

421

3u

3u

u1

1

3u3

[

3u

]

C8

3u3

u

3

Cx

3

tanx

8

tan3

x

1

2

24

2

3

2

24

tan

x

28tan1

3回代有理函數(shù)的積分的有理式的積分時(shí),用代換u

tan

x

更方便.37法二修改萬(wàn)能代換公式令

u

tan

x1

u2sin

x

udu1

u2dx

1dxsin4

x1u1142

1

u2

du

1

u

duu421

u3u3

1

1

C

1

cot

3

x

cot

x

Cu

3有理函數(shù)的積分1sin4

x

dx說(shuō)明通常求含sin2

x

,cos2

x

及sin

x

cos

x38法三不用萬(wàn)能代換公式dx

1

sin4

x

csc2

x(1

cot2

x)dx

csc2

xdx

cot2

x

csc2

xdx

d

(ccot

3

x

C

cot

x

13比較以上三種解法,便知萬(wàn)能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它,不得已才用萬(wàn)能代換.dx1

sin2

x

sin2

x結(jié)論有理函數(shù)的積分dx.1sin4

x當(dāng)三角函數(shù)有理式R(sin

x,cos

x)具有某種對(duì)稱性時(shí),用下述變換較簡(jiǎn)單.(1)若R(sin

x,cos

x)是sin

x的奇函數(shù).即R(

sin

x,cos

x)

R(sin

x,cos

x).則作代換cos

x

u例cos2

x

sin

x求

1

cos2

x

dxcos2

x解原式

1

cos2

xdcos

xcos

x

u有理函數(shù)的積分39sin5

x求

cos4

xdx解原式

(1

cos2

x)2

dcos

xcos4

xcos

x

uduu4

(1

u2

)2cos4

xsin4

xdcos

x有理函數(shù)的積分u4

1

2u2

u4du

40(2)若R(sin

x,cos

x)是cos

x的奇函數(shù).即R(sin

x,

cos

x)

R(sin

x,

cos

x).則作代換sin

x

u例求dxsin4

xtan

x

cos6

xsin

x

cos6

x

cos5

x解原式

cos

x

sin4

xdx

sin3

xdxsin3

xdx

sin3

x

dsin

xcos4

x

cos

x

cos4

xsin

x

u有理函數(shù)的積分41(3)若R(sin

x,cos

x)是sin

x與cos

x的偶函數(shù).即R(

sin

x,

cos

x)

R(sin

x,

cos

x).則作代換tan

x

u例求

sin2

x

cos4

xdx1

sin2x解

作代換tan

x

u,

x

arctan

u,

dx

du1

u212sin

x

tan2

x

tan2

xsec2

x

1

tan2

x

1

u2u2sec2

xcos2

x

11

11

tan2

x

1

u2cos2

xsin2

x

cos2

x(屬上述類型)有理函數(shù)的積分42sin2

x

cos4

xdx

或1

sin2x1

sin2

x12sin2

x

cos2

x

cos

xd

tan

xdxdtan

xsin2

x

cos2

x1

sin2

x1分項(xiàng)1

sin2

x

cos2

x

cos2

xdtan

x

dtan

xtan

x2sec4

x

dtan

x

(1

tan2

x)dtan

x分子分母同乘以cos4

x1tan2

x(1

tan2

x)2dtan

x

dtan

x

tan2

xd

tan

x有理函數(shù)的積分43

R(sin

x,cos

x)dx基本思路盡量使分母簡(jiǎn)單.或分子分母同乘以某個(gè)因子,把分母化為sinkx(或coskx)的單項(xiàng)式,或?qū)⒎帜刚麄€(gè)看成一項(xiàng).盡量使R(sin

x,cos

x)的冪降低.為此常利用倍角公式或積化和差公式以達(dá)目的.有理函數(shù)的積分44dxsin

x

cos

xsin

x解法一sin

x

cos

xsin

xsin

x

1cos

xcos

xsin

xtan

x

1tan

x作代換tan

x

u,dx

du1

u21原式duu

1

1

u

1

u2R(

sin

x,

cos

x)

R(sin

x,cos

x)法二原式cos2

xdxcos

xcos2

xsin

x

sin

x

1分子分母同乘以sin

xtan

x

u有理函數(shù)的積分45

d

tan

x例求dx.sin

3

x

sin

x1

sin

x解sin

A

sin

B

2sin

A

B

cos

A

Bsin

3

x

sin

x1

sin

xdx

dx2

21

sin

x2sin

2

x

cos

x1

sin

x

4sin

x

cos2

x4 sin

x

cos

x

1

12dx4

cos

x12dx妙用dx

1有理函數(shù)的積分46

1

sin

x

cos

x2

2dxsin

x

cos2

xdx4

cos

x

1

124

sin

x4

cos

x

1 sin

x

dx

1

12dx4

cos

xdx

1124

分項(xiàng)4

cos

x

114

sin

xd(cos

x)

112dx4

cos

xdx

1124cos

x144

1

ln

csc

x

cot

x

1

tan

x

C有理函數(shù)的積分47有理函數(shù)的積分dx1

sin

2

x

2sin

x1994年考研數(shù)學(xué)一,5分dx2sin

x(cos

x

1)1解原式dx

x

x2

24sin12

x2cos

2cos

2d(

x

)

cos4sin

cos1x

x

2

x2

2

24

11tan

x

cos2

x2

2x2d(tand(tan

)2tan22xx4

1

tan2

x)

11

ln

tan

x

1

tan2

x

C4

2

8

2分子分母同乘以cos2x分項(xiàng)4849類型R(x,n

ax

b)解決方法作代換去掉根號(hào).)R(

x,cx

en

ax

bttR(

x,

ax2

bx

c

)對(duì)R(x,ax2

bx

c

),通常先將ax2

bx

c配方,再用三角變換化為三角函數(shù)有理式的積分或直接利用積分公式計(jì)算.有理函數(shù)的積分2.

簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分50x

x

1

1

x

dx(t

2

1)2dt

22t(t

2

1)

t原式=t

2dt2t

1

1

2

1

1t

2

dt

2t

ln

t

1

Ct

1xx21

x1

x

2

ln

x

1

C回代例解令xx1

x

t,

1

x

t

2

,

x

(t

2

1)22tdtdx

,1

1t

2有理函數(shù)的積分例求解原式

x(

x

1)

dx.x

x

1分析

先將無(wú)理函數(shù)的分子或分母有理化.(

x

1

x

)(

x

1

x

)x(

x

1)(

x

1

x

)dx

(

x

1)x

dx

xx

1dx31

x

2

dx

x

2dx

(

x

1

1

)x

1dx3(

x

1)2

C515x

23x

22

2

25

3

55(