平面分析幾何初步一輪復(fù)習(xí)平面分析幾何初步一輪復(fù)習(xí)35/35平面分析幾何初步一輪復(fù)習(xí)第四章平面剖析幾何初步考綱導(dǎo)讀1．掌握兩條直線平行和垂直的條件，掌握兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠依照直線的方程判斷兩條直線的地址關(guān)系．2．會(huì)用二元一次不等式表示平面地域．3．認(rèn)識簡單的線性規(guī)劃問題，認(rèn)識線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡單的應(yīng)用．4．認(rèn)識剖析幾何的基本思想，認(rèn)識用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法．5．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，認(rèn)識參數(shù)方程的看法，理解圓的參數(shù)方程的看法．知識網(wǎng)絡(luò)簡單的線性規(guī)劃直線的傾斜角和斜率直線直線方程的四種形式兩條直線的地址關(guān)系曲直線線和和方圓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程程圓的方程圓的一般方程圓的參數(shù)方程高考導(dǎo)航在近幾年的高考試題中，兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、一般式、斜率公式及兩條直線的地址關(guān)系，圓的方程及直線與圓、圓與圓的地址關(guān)系是觀察的熱門.但由于知識的互相浸透，綜合觀察直線與圓錐曲線的關(guān)系素來是高考命題的大熱門，應(yīng)當(dāng)引起特別注意，本章的線性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，近來幾年來，在高考中經(jīng)常觀察，但基本上以中易題出現(xiàn)．觀察的數(shù)學(xué)思想方法，主若是數(shù)形結(jié)合、分類談?wù)?、方程的思想和待定系?shù)法等．第1課時(shí)直線的方程基礎(chǔ)過關(guān)1．傾斜角:關(guān)于一條與x軸訂交的直線,把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角α叫做直線的傾斜角．當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為0°．傾斜角的范圍為________．斜率:當(dāng)直線的傾斜角α≠90時(shí)°，該直線的斜率即k＝tanα；當(dāng)直線的傾斜角等于90°時(shí)，直線的斜率不存在．2．過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y≠x＝x，則直2)(x12)的直線的斜率公式．若x12線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°．3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式截距式一般式典型例題例1.已知直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①當(dāng)m＝時(shí)，直線的傾斜角為45°．②當(dāng)m＝時(shí)，直線在x軸上的截距為1．③當(dāng)m＝時(shí)，直線在y軸上的截距為－3．④2當(dāng)m＝時(shí)，直線與x軸平行．⑤當(dāng)m＝解：(1)－1⑵2或－1⑶1或－2⑷－23

時(shí)，直線過原點(diǎn)．⑸124變式訓(xùn)練1.（1）直線3y＋3x＋2=0的傾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）設(shè)直線的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直線上的三點(diǎn)，則x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，3（3）直線l1與l2關(guān)于x軸對稱，l1的斜率是－7，則l2的斜率是（）A．7B．－77D．－77C．7（4）直線l經(jīng)過兩點(diǎn)（1，－2），（－3，4），則該直線的方程是．解：（1）D．提示：直線的斜率即傾斜角的正切值是－3．3（2）C．提示：用斜率計(jì)算公式y(tǒng)1y2．x1x23）A．提示：兩直線的斜率互為相反數(shù)．4）2y＋3x＋1=0．提示：用直線方程的兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式例2.已知三點(diǎn)A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上.證明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB=31=2,kBC=53=2，∴kAB=kBC，3143∴A、B、C三點(diǎn)共線.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點(diǎn)共線.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），AB=（2，4），BC=（1，2），∴AB=2BC.又∵AB與BC有公共點(diǎn)B，∴A、B、C三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練2.設(shè)a，b，c是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，若是A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同素來線上，求證：a+b+c=0.證明∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB=kAC，∴a3b3a3c32222，aba，化簡得a+ab+b=a+ac+ccb2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).試求：y3的最大值與最小值.x2解：由y3的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P（-2，-3）與曲線段AB上任一點(diǎn)（x,y)的x2直線的斜率k,如圖可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴4≤k≤8，3故y3的最大值為8，最小值為4.x23變式訓(xùn)練3.若實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么y的最大值為xA.1B.3C.3232答案D例4.已知定點(diǎn)P(6,4)與直線l1:y＝4x，過點(diǎn)P的直線l與l1交于第一象限的半軸交于點(diǎn)M．求使△OQM面積最小的直線l的方程．y4x6解：Q點(diǎn)在l1:y＝4x上，可設(shè)Q(x0，4x0)，則PQ的方程為：4x064x0令y＝0，得：x＝5x0(x0>1)，∴M(5x0，0)x01x01∴S△OQM＝15xx22·0·4x0＝10·0x01x01＝10·[(x0－1)＋1＋2]≥40x01當(dāng)且僅當(dāng)x0－1＝1即x0＝2取等號，∴Q(2，8)x01PQ的方程為：y4x6，∴x＋y－10＝08426

（）3Q點(diǎn)，與x軸正變式訓(xùn)練4.直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別交x軸y軸的正半軸于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)MAMB取最小值時(shí)，求直線l的方程．解：設(shè)l：y－1＝k(x－2)(k＜0)則A(2－1，0)，B(0，1－2k)k①由S＝1(1－2k)(2－1)＝1(4－4k－1)2k2k≥142(4k)(1)＝42k當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－1，即k＝－1時(shí)等號建立k2∴△AOB的面積最小值為4此時(shí)l的方程是x＋2y－4＝0②∵|MA|·|MB|＝1144k2k2＝2(1k2)＝2(1)(k)≥4|k|k當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－1k

即k＝－1時(shí)等號建立此時(shí)l的方程為x＋y－3＝0（本題也能夠先設(shè)截距式方程求解）小結(jié)歸納1．直線方程是表述直線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系式，由斜率公式可導(dǎo)出直線方程的五種形式．這五種形式各有特點(diǎn)又互相聯(lián)系，解題時(shí)詳盡采用哪一種形式，要依照直線的特點(diǎn)而定．2．待定系數(shù)法是剖析幾何中常用的思想方法之一，用此方法求直線方程，要注意所設(shè)方程的適用范圍．如：點(diǎn)斜式、斜截式中第一要存在斜率，截距式中橫縱截距存在且不為0，兩點(diǎn)式的橫縱坐標(biāo)不能夠相同樣（變形后除處）．3．在剖析幾何中,設(shè)點(diǎn)而不求,經(jīng)常是簡化計(jì)算量的一個(gè)重要方法.4．在運(yùn)用待定數(shù)法設(shè)出直線的斜率時(shí)，就是一種默認(rèn)斜率存在，若有不存在的情況時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)解題漏洞，此時(shí)就要拯救：較好的方法是看圖，數(shù)形結(jié)合來找差距.第2課時(shí)直線與直線的地址關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)（一）平面內(nèi)兩條直線的地址關(guān)系有三種________．1．當(dāng)直線不平行坐標(biāo)軸時(shí)，直線與直線的地址關(guān)系可依照下表判斷直線l1：y＝k1x＋b1l1：A1x＋B1y＋C1＝0條件l2：y＝k2x＋b2l2：A2x＋B2y＋C2＝0關(guān)系平行重合訂交(垂直)2．當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，可結(jié)合圖形判斷其地址關(guān)系．（二）點(diǎn)到直線的距離、直線與直線的距離1．P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為______________．2．直線l1∥l2，且其方程分別為：l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2的距離為．（三）兩條直線的交角公式若直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，則1．直線l1到l2的角θ滿足．2．直線l1與l2所成的角(簡稱夾角)θ滿足．（四）兩條直線的交點(diǎn)：兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)．（五）五種常用的直線系方程.①過兩直線l1和l2交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②與直線y＝kx＋b平行的直線系方程為y＝kx＋m(m≠b).③過定點(diǎn)(x0,y0)的直線系方程為y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④與Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C).⑤與Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程設(shè)為Bx－Ay＋C1＝0(AB≠0).典型例題例1.已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l(xiāng)1與l2可否平行；（2）l1⊥l2時(shí)，求a的值.解（1）方法一當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí)，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線可化為l1:y=-ax-3,l2:y=1x-(a+1),21al1∥l2a1，解得a=-1,21a3(a1)綜上可知，a=-1時(shí)，l1∥l2，否則l1與l2不平行.方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,∴l(xiāng)1∥l2a(a1)120a(a21)160a2a20a=-1,a(a21)6故當(dāng)a=-1時(shí)，l1∥l2，否則l1與l2不平行.（2）方法一當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直，故a=1不行立.當(dāng)a≠1時(shí)，l1:y=-ax-3,2l2:y=1x-(a+1),由1aa·1=-1a=2.21a3方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=2.3變式訓(xùn)練1.若直線l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，直線l1與l2分別訂交？平行？垂直？重合？解：當(dāng)a=0時(shí)，直線l1斜率為0，l2斜率不存在，兩直線顯然垂直。當(dāng)a≠0時(shí)，分別將兩直線均化為斜截式方程為：l1：y=a1b。－x+5，l2：y=－x+4aa（1）當(dāng)－a1，即a≠±2時(shí)，兩直線訂交。4≠－aa1b（2）當(dāng)－4=－a且5≠a時(shí)，即a=2且b≠10或a=－2且b≠－10時(shí)，兩直線平行。（3）由于方程(－a1－1無解，故僅當(dāng)a=0時(shí)，兩直線垂直。4)(－a)=a1b（4）當(dāng)－4=－a且5=a時(shí)，即a=2且b=10或a=－2且b=－10時(shí)，兩直線重合例2.已知直線l經(jīng)過兩條直線l1：x＋2y＝0與l2：3x－4y－10＝0的交點(diǎn)，且與直線l3：5x－2y＋3＝0的夾角為，求直線l的方程．4解：由x2y0解得l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，由于直線l3的斜率為k3＝5，l與l33x4y1002的夾角為，因此直線l的斜率存在.設(shè)所求直線l的方程為y＋1＝k(x－2)．4kk3k5則tan2＝1＝＝41kk315k2k＝3或k＝－7，故所求直線l的方程為y＋1＝－7(x－2)或y＋1＝3(x－2)即7x＋3y＋733711＝0或3x－7y－13＝0變式訓(xùn)練2.某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，以下列圖，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點(diǎn)P在直線l上，l與水平川面的夾角為,tan=1.試問，此人距水平川面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最2大（不計(jì)此人的身高）？解以下列圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直線l的方程為y=(x-200)tan,則y=x200.2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則P（x,x200）(x＞200).2由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式x200300x800kPC=2,x2xx200220x640.kPB=2x2x由直線PC到直線PB的角的公式得kPBkPC1602xtan∠BPC=kPBPCx800x6401·k1·2x2x=64x64(x＞200).640160640x288x160x288x要使tan∠BPC達(dá)到最大，只要x+160640-288達(dá)到最小，由均值不等式x160640160640-288,x當(dāng)且僅當(dāng)x=160x640時(shí)上式獲取等號.故當(dāng)x=320時(shí)，tan∠BPC最大.這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為y=320200=60.2由此實(shí)責(zé)問題知0＜∠BPC＜2,因此tan∠BPC最大時(shí)，∠BPC最大.故當(dāng)此人距水平川面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.例3.直線y＝2x是△ABC中∠C的均分線所在的直線，若A、B坐標(biāo)分別為A(－4，2)、B(3，1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷△ABC的形狀．解：由于直線y＝2x是△ABC中∠C的均分線，因此CA、CB所在直線關(guān)于y＝2x對稱，而A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x對稱點(diǎn)A1必在CB邊所在直線上設(shè)A1(x1，y1)則y121x12x14(4)y12x14得y1222即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB邊所在直線的方程為：3x＋y－10＝0又由y2x0解得C(2,4)3xy10又可求得：kBC＝－3，kAC＝13∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形變式訓(xùn)練3.三條直線l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能組成三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三條直線能組成三角形，故三條直線兩兩訂交且不共點(diǎn)，即任意兩條直線都不平行且三線不共點(diǎn)。1）若l1、l2、l3訂交于同一點(diǎn)，則l1與l2的交點(diǎn)（-a-1，1）在直線l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此時(shí)a=1或a=-2。2）若l1∥l2，則-1=-1a，a=1。3）若l1∥l3，則-1=-a，a=1。1（4）若l2∥l3，則-a=-a，a=±1。）例4.設(shè)點(diǎn)A(－3，5)和B(2，15)，在直線l：3x－4y＋4＝0上找一點(diǎn)p，使PAPB為最小，并求出這個(gè)最小值．解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(a，b)，則由AA′⊥l和AA′被l均分，b531a34解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝513則a3b5344022∵kA′B＝153＝－183A′B的方程為y＋3＝－18(x－3)解方程組3x4y40得P(8，3)y318(x3)3變式訓(xùn)練4：已知過點(diǎn)A（1，1）且斜率為－m(m>0)的直線l與x、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，過P、Q作直線2x＋y＝0的垂線，垂足分別為R、S，求四邊形PRSQ的面積的最小值．解：設(shè)l的方程為y－1＝－m(x－1)，則P（1＋1，0），Q（0，1＋m）m從則直線PR：x－2y－m1＝0；m直線QS：x－2y＋2(m＋1)＝0又PR∥QS∴|RS|＝|2m211|32m1m＝m552又|PR|＝2m，|QS|＝m155而四邊形PRSQ為直角梯形，231∴SPRSQ＝1×(22mmm1)×m2555＝1(m＋1＋9)2－1≥1(2＋9)2－15m4805480∴四邊形PRSQ的面積的最小值為．小結(jié)歸納1．辦理兩直線地址關(guān)系的相關(guān)問題時(shí)，要注意其滿足的條件．如兩直線垂直時(shí)，有兩直線斜率都存在和斜率為O與斜率不存在的兩種直線垂直．2．注意數(shù)形結(jié)合，依照條件畫出圖形，充分利用平面圖形的性質(zhì)和圖形的直觀性，有助于問題的解決．3．利用直線系方程可少走彎路，使一些問題獲取簡捷的解法．4．解決對稱問題中，若是成中心點(diǎn)對稱的，要點(diǎn)是運(yùn)用中點(diǎn)公式，而關(guān)于軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)變成求對稱點(diǎn)，其要點(diǎn)抓住兩點(diǎn)：一是對稱點(diǎn)的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，如例4第3課時(shí)

線性規(guī)劃基礎(chǔ)過關(guān)1．二元一次不等式表示的平面地域．⑴一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面地域(半平面)不含界線限，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面地域(半平面)包括界線限．⑵關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x、y)使得Ax＋By＋C的值符號相同．因此，如果直線Ax＋By＋C＝0一側(cè)的點(diǎn)使Ax＋By＋C>0，另一側(cè)的點(diǎn)就使Ax＋By＋C<0，因此判斷不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面地域時(shí)，只要在直線Ax＋By＋C＝0的一側(cè)任意取一點(diǎn)(x0，y0)，將它的坐標(biāo)代入不等式，若是該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式，不等式就表示該點(diǎn)所在一側(cè)的平面地域；若是不滿足不等式，就表示這個(gè)點(diǎn)所在地域的另一側(cè)平面地域．⑶由幾個(gè)不等式組成的不等式組表示的平面地域是各個(gè)不等式所表示的平面地域的公共部分．2．線性規(guī)劃⑴基本看法名稱意義線性拘束條件由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對x、y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的剖析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的一次剖析式可行解滿足線性拘束條件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解組成的會(huì)集叫做可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性拘束條件下的最大值或最小值的問題⑵用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：①設(shè)出所求的未知數(shù)；②列出拘束條件(即不等式組)；③建立目標(biāo)函數(shù)；④作出可行域和目標(biāo)函數(shù)的等值線；⑤運(yùn)用圖解法即平行搬動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線，求出最優(yōu)解．（有些實(shí)責(zé)問題應(yīng)注意其整解性）典型例題例1.若△ABC的三個(gè)極點(diǎn)為A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，寫出△ABC地域（含界線）表示的二元一次不等式組．解：由兩點(diǎn)式得AB、BC、CA直線的方程并化簡得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0x2y10結(jié)合地域圖易得不等式組為xy202xy50變式訓(xùn)練1：△ABC的三個(gè)極點(diǎn)為A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，則△ABC的內(nèi)部(含邊界)可用二元一次不等式組表示為．2x3y804xy40xy107x5y230例2.已知x、y滿足拘束條件x7y110分別求：4xy100yz＝2x＋y⑵z＝4x－3yCA22的最大值、最小值？x⑶z＝x+y解：在直角坐標(biāo)系中作出表示不等式組的公共地域如圖陰影部分．其中A(4，1)，BB(－1，－6)，C(－3，2)(1)作與直線2x＋y＝0平行的直線l1：2x＋y＝t，則當(dāng)l1經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，t取最大，l1經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，t取最?。鄗max＝9zmin＝－13(2)作與直線4x－3y＝0平行的直線l2：4x－3y＝t，則當(dāng)l2過點(diǎn)C時(shí)，t最小，l2過點(diǎn)B時(shí)，t最大．∴zmax＝14zmin＝－18(3)由z＝x2＋y2，則z表示點(diǎn)(x，y)到(0，0)的距離，結(jié)合不等式組表示的地域．知點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最大，當(dāng)(x，y)為原點(diǎn)時(shí)距離為0．∴zmax＝37zmin＝0變式訓(xùn)練2：給出平面地域以以下列圖所示，目標(biāo)函數(shù)t＝ax－y，(1)若在地域上有無量多個(gè)點(diǎn)(x，y)可使目標(biāo)函數(shù)t獲取最小值，求此時(shí)a的值．(2)若當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)，目標(biāo)函數(shù)t獲取最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？35解：(1)由t＝ax－y得y＝ax－t要使t獲取最小時(shí)的(x，y)有無量多個(gè)，yB(0,1)則y＝ax－t與AC重合．C(2,4)4350x∴a＝kAC＝5120A(1,0)＝－2153(2)由KAC<a<KBC得－12<a<－3.510例3.某木器廠生產(chǎn)圓桌子和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木材，第一種72立方米，第二種有56立方米，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木材，生產(chǎn)一張圓桌需用第一種木材0.18立方米，第二種木材0.08立方米，可獲利潤6元，生產(chǎn)一個(gè)衣柜需用第一種木材0.09立方米，第二種0.28立方米，可盈利10元，木器廠在現(xiàn)有木材條件下，圓桌和衣柜應(yīng)各生產(chǎn)多少才能使所獲利潤最多？解：設(shè)圓桌和衣柜的生產(chǎn)件數(shù)分別為x、y，所獲利潤為z，則：0.18x0.09y722xy8000.08x0.28y562x7y1400x0即0yxy0y0(0,80則z＝6x＋10y作出可行域如圖．由2xy800(0,200)M2x7y1400(350,100得x350Ox100即M(350，100)由圖可知，當(dāng)直線l：6x＋10y＝0平移到經(jīng)過點(diǎn)M(350，100)時(shí)，z＝6x＋10y最大，即當(dāng)x＝350，y＝100時(shí)，，z＝6x＋10y最大．變式訓(xùn)練3：某廠要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品45個(gè)，乙種產(chǎn)品55個(gè)，可用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2和3m2，用A種可造甲種產(chǎn)品3個(gè)和乙種產(chǎn)品5個(gè)，用B種可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個(gè)．問A、B兩種產(chǎn)品各取多少塊可保證完成任務(wù)，且使總的用料(面積)最?。猓涸O(shè)A種取x塊，B種取y塊，總用料為zm2，則3x6y45y5x6y55lAz＝2x＋3y(x、y∈N)xO515可行域如圖：最優(yōu)解為A(5，5)，x＝5，y＝5時(shí)，zmin＝25，即A、B兩種各取5塊時(shí)可保證完成任務(wù)，且總的用料(面積)最省為25m2．例4.估量用2000元購買單價(jià)為50元桌子和20元的椅子，希望桌子的總數(shù)盡可能的多，但解：椅子的總數(shù)不能夠少于桌子的總數(shù)，但不多于桌子數(shù)的設(shè)桌椅分別買x、y張，由題意得：

1.5倍，問桌椅各買多少才合適？00xy由xy50x20y2000y50x20y2000x200解得：7∴點(diǎn)A(200，2002007)7y7yx25由解得7550x20y2000y2∴點(diǎn)B(25，75)2滿足以上不等式組表示的地域是以A、B、O為極點(diǎn)的△AOB及內(nèi)部設(shè)x＋y＝z，即y＝－x＋z；當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，即x＝25，y＝75，z最大．∵y∈z，∴y＝372∴買桌子25張，椅子37張是最優(yōu)選擇．變式訓(xùn)練4：A1、A2兩煤礦分別有煤8萬噸和18萬噸，需經(jīng)過外運(yùn)能力分別為20萬噸和16萬噸的B1、B2兩車站外運(yùn)，用汽車將煤運(yùn)到車站，A1的煤運(yùn)到B1、B2的運(yùn)費(fèi)分別為3元/噸和5元/噸，A2的煤運(yùn)到B1、B2的運(yùn)費(fèi)分別為7元/噸和8元/噸，問如何設(shè)計(jì)調(diào)運(yùn)方案可使總運(yùn)費(fèi)最少？解：設(shè)A1運(yùn)到B1x萬噸，A2運(yùn)到B1y萬噸，總運(yùn)費(fèi)為z萬元，則A1運(yùn)到B2(8－x)萬噸，A2運(yùn)到B2(18－y)萬噸，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y)＝184－2x－y，x、y滿足xy20y(8x)(18y)16180x8A(8,12)0y18l1可行域如圖陰影部分．O1020x當(dāng)x＝8時(shí)，y＝12時(shí)，zmin＝156即A1的8萬噸煤全運(yùn)到B1，A2運(yùn)到12萬噸運(yùn)到B1，節(jié)余6萬噸運(yùn)到B2，這時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少為萬元．小結(jié)歸納1．二元一次不等式或不等式組表示的平面地域：①直線確定界線；②特別點(diǎn)確定地域．2．線性規(guī)劃實(shí)際上是“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)，是一種求最值的方法．3．把實(shí)責(zé)問題抽象轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題是本節(jié)的重難點(diǎn)，求解要點(diǎn)是依照實(shí)責(zé)問題中的已知條件，找出拘束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解．而在考慮拘束條件時(shí)，除數(shù)學(xué)看法的條件拘束外，還要深入其境、考慮實(shí)質(zhì)意義的拘束．4．解線性規(guī)劃問題的要點(diǎn)步驟是在圖上完成的，因此作圖盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范。但最優(yōu)點(diǎn)不易鑒識時(shí)，要逐一檢查第4課時(shí)曲線與方程、基礎(chǔ)過關(guān)1．直接法求軌跡的一般步驟：建系設(shè)標(biāo)，列式表標(biāo)，化簡作答（除雜）．2．求曲線軌跡方程，常用的方法有：直接法、定義法、代入法（相關(guān)點(diǎn)法、轉(zhuǎn)移法）、參數(shù)法、交軌法等．典型例題例1.以下列圖，過點(diǎn)P（2，4）作互相垂直的直線線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，

l1、l2.若

l1交

x軸于

A，l2交

y軸于

B，求A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x,0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2y）.PA=（2x-2，-4），PB=（-2，2y-4）.由已知PA·PB=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.變式訓(xùn)練1：已知兩點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|MN||MP|+MN·NP=0，求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.解由題意：MN=（4，0），MP=（x+2,y）,NP=（x-2,y）,|MN||MP|+MN·NP=0，∴4202·(x2)2y2+（x-2）·4+y·0=0，兩邊平方，化簡得y2=-8x.例2.在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，Ba,0,Ca,0且滿足條件sinC-sinB=1sinA,222則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是（）16x216y216y216x2A.a215a2=1(y≠0)B.a23a2=1(x≠0)16x216y216x216y2C.a215a2=1（y≠0）的左支D.a23a2=1（y≠0)的右支答案D變式訓(xùn)練2：已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x-3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解以下列圖，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，依照兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.由于|MA|=|MB|，因此|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.這表示動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離之差是常數(shù)2.依照雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離?。?設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為2y2這里a=1,c=3,則b=8,x-=1(x≤-1).8例3.以下列圖，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的極點(diǎn)Q的軌跡方程.解設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為（x1，y1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又由于R是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x12y12）.又|AR|=|PR|=(x14)2y12，因此有（x1-4）2+y12=36-（x12y12）.即x12y12-4x1-10=0.由于R為PQ的中點(diǎn)，因此x1=x24，y1=y0.2代入方程x12y121-4x-10=0，得2y2x4x4422·-10=0.2整理得x2+y2=56.這就是Q點(diǎn)的軌跡方程.變式訓(xùn)練3：設(shè)F（1，0），M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且MN=2MP，PM⊥PF，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程.解設(shè)M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由MN=2MP得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴xx0xx02x0,即.y2y0y01y2PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0),(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+y02=0.∴-x+y22故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是24=0,即y=4x.y=4x.小結(jié)歸納1．直接法求軌跡方程要點(diǎn)在于利用已知條件，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，這個(gè)等量關(guān)系有的可直接利用已知條件，有的需要轉(zhuǎn)變后才能用．2．回歸定義是解決圓錐曲線軌跡問題的有效路子．3．所求動(dòng)點(diǎn)依賴于已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，常用代入法求軌跡．第5課時(shí)圓的方程基礎(chǔ)過關(guān)1．圓心為C(a、b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________．2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圓心為，半徑r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程的充要條件是．4．圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為_________．x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為________________．5．過兩圓的公共點(diǎn)的圓系方程：設(shè)⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，則經(jīng)過兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為．典型例題例1.依照以下條件，求圓的方程．(1)經(jīng)過A(6，5)，B(0，1)兩點(diǎn)，并且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上．(2)經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長為6．解：(1)∵AB的中垂線方程為3x＋2y－15＝0由3x2y150解得x73x10y90y3∴圓心為C(7，－3)，半徑r＝65故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得2D4EF20①3DEF10②令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦長|x1－x2|＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0變式訓(xùn)練1：求過點(diǎn)A（2，－3），B（－2，－5），且圓心在直線x－2y－3=0上的圓的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直線AB的斜率為kAB=－5－(－3)=1,－2－22線段AB的中點(diǎn)為（0，－4），線段AB的中垂線方程為y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程組2xy40得x1x2y30y2∴圓心為（－1，－2），依照兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑r=(2+1)2＋(－3＋2)2=10所求圓的方程為（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿足條件：12my1+y2=4,y1y2=.OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此時(shí)＞0,圓心坐標(biāo)為1，3,半徑r=5.22方法二以下列圖，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，∵O1M⊥PQ，∴kOM2.1∴O1M的方程為:y-3=2x1,2即：y=2x+4.由方程組y2x4x2y.30解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.222則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）+（y-2）=r.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.2∴11(3-2)2+5=1(6)24m24∴m=3.∴半徑為5,圓心為1,3.22方法三設(shè)過P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，點(diǎn)O（0，0）在圓上.m-3=0，即m=3.∴圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=022即x+(1+)x+y+2(-3)y=0.∴圓心M12(3)，又圓在PQ上.2，2∴-1（3-）-3=0，2+2=1，∴m=3.∴圓心為1,3，半徑為5.22變式訓(xùn)練2：已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）證明：無論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒訂交；（2）求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時(shí)的直線方程.1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即無論m取什么實(shí)數(shù)，它恒過兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點(diǎn).兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴點(diǎn)（3，1）在圓內(nèi)部，∴無論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓恒訂交.（2）解從（1）的結(jié)論和直線l過定點(diǎn)M（3，1）且與過此點(diǎn)的圓C的半徑垂直時(shí)，l被圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理得22=225（[322|AB|=2rCM1）（12）]45.此時(shí)，kt=-1,進(jìn)而kt=-1=2.kCM213l的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知點(diǎn)P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn).1）求P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求y2的最大值和最小值.1解（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為3(2)40126.d=42325∴P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=6+1=11，最小值為d-r=6-1=1.55552）設(shè)t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn).∴2t5-25，1222∴tmax=5-2，tmin=-2-5.3）設(shè)k=y2，1則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn)，3k23333∴1≤1∴.≤k≤,k244∴kmax=33，kmin=33.44變式訓(xùn)練3：已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.1）求y-x的最大值和最小值；2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b獲取20b±6.最大值或最小值，此時(shí)3,，解得b=-22因此y-x的最大值為-2+6，最小值為-2-6.2）x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處獲取最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為（20）（00）=2，22因此x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43，x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.例4.設(shè)圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程。解法一設(shè)圓的圓心為P（a,b),半徑為r，則點(diǎn)P到x軸y軸的距離分別為∣b∣、∣a∣。由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對的圓心角為90°，圓P截x軸所得的弦長為2r，故r2=2b2．2，因此有r2=a2＋1,進(jìn)而得2b2=a2＋1．又圓P截y軸所得的弦長為a2b點(diǎn)P到直線x－2y=0的距離為d=5,5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab=2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋1≥1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，此時(shí)，5d2=1,d獲取最小值．由a=b及2b2=a2＋1得a1或a1，進(jìn)而得r2=2b1b1所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2a2bd解法二同解法一，得d=5，因此a－2b=±522222－1代入整理得22（※）a=4b±45bd＋5d,將a=2b2b±45bd＋5d＋1=0把（※）看作關(guān)于b的二次方程，由于方程有實(shí)數(shù)根，故△≥0即222有最小值1，進(jìn)而d有最小值528（5d－1)≥0,5d≥1可見5d，將其代入（※）式得2b±4b5＋2=0,b=±1,r2=2b2=2,a2=2b2－1=1,a=±1由∣a－2b∣=1知a、b同號故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2變式訓(xùn)練4：如圖，圖O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N為切點(diǎn))，使得PM＝2PN，試建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．PMN

yPMN－22O1OxO2O1O2解：以O(shè)1、O2的中點(diǎn)為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O1(－2,0)、O2(2,0)．如圖：由PM＝2PN得PM2＝2PN2PO12－1＝2(PO22－1)，設(shè)P(x，y)(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33為所求點(diǎn)P的軌跡方程．小結(jié)歸納1．本節(jié)主要復(fù)習(xí)了圓的軌跡方程，要明確：必定具備三個(gè)獨(dú)立條件，才能確定一個(gè)圓的方程．2．求圓的方程時(shí)一般用待定系數(shù)法：若已知條件與圓心、半徑相關(guān)，可先由已知條件求出圓的半徑，用標(biāo)準(zhǔn)方程求解；若條件涉及過幾點(diǎn)，經(jīng)常可考慮用一般方程；若所求的圓過兩已知圓的交點(diǎn)，則一般用圓系方程．3．求圓方程時(shí),若能運(yùn)用幾何性質(zhì),如垂徑定理等經(jīng)常能簡化計(jì)算．4．運(yùn)用圓的參數(shù)方程求距離的最值經(jīng)常較方便．5．點(diǎn)與圓的地址關(guān)系可經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程或點(diǎn)與圓心之間的距離與半徑的大小比較來確定.第6課時(shí)直線與圓、圓與圓的地址關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)1．直線與圓的地址關(guān)系將直線方程代入圓的方程獲取一元二次方程，設(shè)它的鑒識式為△，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的地址關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切d＝r△＝0訂交相離2．圓與圓的地址關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R和r(R≥r)，圓心距為d，則兩圓的地址關(guān)系滿足以下條件：外離d>R＋r外切訂交內(nèi)切內(nèi)含圓的切線方程①圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)p(x0,y0)處的切線方程為l:.②圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)p(x0,y0)處的切線方程為l:.③圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點(diǎn)p(x0,y0)處的切線方程為.典型例題例1.過⊙：x2＋y2＝2外一點(diǎn)P(4，2)向圓引切線．yP(4，2)P1⑴求過點(diǎn)P的圓的切線方程．⑵若切點(diǎn)為P1、P2求過切點(diǎn)P1、P2的直線方程．Ox解：(1)設(shè)過點(diǎn)P(4，2)的切線方程為y－2＝k(x－4)P2即kx－y+2－4k＝0①則d＝24k1k2∴24k＝2解得k＝1或k＝11k27∴切線方程為：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2)設(shè)切點(diǎn)Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則兩切線的方程可寫成l1:x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２由于點(diǎn)(4，2)在l1和l2上．則有4x1＋2y1＝24x2＋2y2＝2這表示兩點(diǎn)都在直線4x＋2y＝2上，由于兩點(diǎn)只能確定一條直線，故直線2x＋y－1＝0即為所求變式訓(xùn)練1：（1）已知點(diǎn)P(1，2)和圓C：x2y2kx2yk20，過P作C的切線有兩條，則k的取值范圍是()A.k∈RＢ.k＜23Ｃ.23k0D.23k233333（2）設(shè)會(huì)集A={（x,y)|x22≤4},B={(x,y)|(x－1)222當(dāng)A∩B=B時(shí)，r的取值＋y＋(y－1)≤r(r＞0)},范圍是（）A．（0，2－1）B．（0，1]C．（0，2－2]D．（0，2]（3）若實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么y的最大值為()x1Ｂ.3Ｃ.3Ｄ.3A.322（4）過點(diǎn)M(3,3)且被圓x2y225截得弦長為8的直線的方程為．2（5）圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓x2y24x30和x2y24y30的交點(diǎn)的圓的方程是.解：（1）D．提示：P在圓外．（2）C．提示：兩圓內(nèi)切或內(nèi)含．（3）D．提示：從純代數(shù)角度看，設(shè)t=y≥0，可解,則y=tx，代入已知的二元二次方程，用△x得t的范圍。從數(shù)形結(jié)合角度看，y是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，切線的斜率是界線．x（4）3x4y150或x30．提示：用點(diǎn)到直線的距離公式，求直線的斜率．（5）x2y26x2y30.提示：經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可用圓系方程形式設(shè)出，其中的一個(gè)待定系數(shù)，可依照圓心在已知直線上求得．例2.求經(jīng)過點(diǎn)A(4，－1)，且與圓：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于點(diǎn)B(1，2)的圓的方程．解：圓C的方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝5∴圓心C(－1，3)，直線BC的方程為：x＋2y－5＝0①又線段AB的中點(diǎn)D(5，1)，kAB＝－12

2∴線段

AB

的垂直均分線方程為：y－

1＝x－

5即

x－y－2＝0

②2

2聯(lián)立①②解得x＝3，y＝1∴所求圓的圓心為E(3，1)，半徑|BE|＝5∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5變式訓(xùn)練2：求圓心在直線5x-3y=8上，且與坐標(biāo)軸相切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．222解：設(shè)所求圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,a=±b,r=｜a｜又∵圓心(a,b)在直線5x-3y=8上.5a-3b=8,ab由5a3b8raa4a1得b4或b1r4r1∴所求圓的方程為：（x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2＝1．2)(k≠與0)圓O：x2＋y2＝4訂交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．△AOB例3.已知直線l：y＝k(x＋2的面積為S．⑴試將S表示為k的函數(shù)S(k)，并求出它的定義域．⑵求S(k)的最大值，并求出此時(shí)的k值．解：(1)圓心O到AB的距離d＝22k1k2由d<2－1<k<1|AB|＝1k2S(k)＝4k2(1k2)4k22k2)21(1(2)解法一：據(jù)(1)令1＋k2＝tk2＝t－1(1<t<2)S＝42231＝422(13)21t2tt48≤42·1＝222當(dāng)1＝3即k＝3時(shí)，等號建立．∴k＝±3為所求．t433解法二：ABD的面積S＝1|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB2∴當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，S可取最大值2，此時(shí)，設(shè)AB的中點(diǎn)為C．則OC＝2|OA|＝22由O到直線的距離為|OC|＝22|k|1k2得22|k|＝2，k＝±3231k變式訓(xùn)練3：點(diǎn)P在直線2xy100上，PA、PB與圓x2y24相切于A、B兩點(diǎn)，求四邊形PAOB面積的最小值．．答案：8。提示：四邊形能夠分成兩個(gè)全等的直角三角形，要面積最小，只要切線長最小，亦即P到圓心距離要最?。?.已知圓C方程為：x2y22x4y200，直線l的方程為：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0．（1）證明：無論m取何值，直線l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)。（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，并求出此時(shí)的m值．提示：（1）用點(diǎn)到直線的距離公式，證明r2－d2＞0恒建立．（2）求（1）中r2－d2的最小值，得直線l被圓C截得的線段的最短長度為45，此時(shí)的m值為－3．4變式訓(xùn)練4：已知圓系x2y22ax2a2y20，其中a≠1,且a∈R,則該圓系恒過定點(diǎn)．答案：（1，1）．提示：將a取兩個(gè)特別值，得兩個(gè)圓的方程，求其交點(diǎn)，必為所求的定點(diǎn)，故求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，只須再考據(jù)即可。另一方面，我們將方程按字母a重新整理，要使得原方程對任意a都建立，只須a的系數(shù)及式中不含a的部分同時(shí)為零．小結(jié)歸納1．辦理直線與圓、圓與圓的地址關(guān)系的相關(guān)問題，有代數(shù)法和幾何法兩種方法，但用幾何法經(jīng)常較簡略．2．圓的弦長公式l＝2R2d2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)利用這一弦長公式比用一般二次曲線的弦長公式l＝(1k2)[(x1x2)24x1x2]要方便．3．為簡化運(yùn)算，辦理交點(diǎn)問題時(shí)，常采用“設(shè)而不求”的方法，一般是設(shè)出交點(diǎn)后，再用韋達(dá)定理辦理，這種方法在辦理直線與圓錐曲線的地址關(guān)系中也經(jīng)常用到．剖析幾何初步章節(jié)測試題一、選擇題1．圓(x－1)2＋y2＝1的圓心到直線y＝x的距離為（）A．1B．2C．3D．12222．若是把圓C：x2＋y2＝1沿向量a(1,m)平移到圓C′，且C′與直線3x－4y＝0相切，則m的值為（）A．2或－1B．2或1C．－2或1D．－2或－122223．若是直線沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來的地址，那么直線l的斜率是（）A．－1B．－3C．1D．3334．已知點(diǎn)P（3，2）與點(diǎn)Q（1，4）關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為（）A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0x2－4x＋15．若是直線l1、l2的斜率為k1、k2，二直線的夾角為θ，若k1、k2分別為二次方程＝0的兩根，那么θ為（）A．B．4C．D．3686．若圓(x－1)2＋(y＋1)2＝R2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x＋3y－11＝0的距離相等，則半徑R的取值范圍是（）A．R＞1B．0<R<3C．1<R<3D．R≠2且R＞07．已知x，y滿足不等式組

yx，則t＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值為（）y2x2y4A．9B．2C．3D．258．（06湖南卷）若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上最少有三個(gè)不相同點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為22，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．[,]B．[12,5]C．[,]D．[0,]1241263129．已知圓C：(xcos)2(ysin)21，那么直線l：y＝kx與圓的地址關(guān)系是（）A．相離或相切B．訂交或相切C．必然訂交D．不能夠確定10．若是直線y＝ax＋2與直線y＝3x－b關(guān)于直線y＝x對稱，那么（）A．a(chǎn)＝1，b＝6B．a(chǎn)＝1，b＝－6C．a(chǎn)＝3，b＝－2D．a(chǎn)＝3，b＝633二、填空題11．“關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程x2＋y2＋4kx－2y－k＝0的圖形是圓”的充分且必要條件是．12．設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4訂交于A、B兩點(diǎn)，且AB23，則a＝．13．將一張畫有直角坐標(biāo)系的圖紙折疊一次，使得點(diǎn)A(0，2)與點(diǎn)B(4，0)重合，若此時(shí)點(diǎn)C(7，3)與點(diǎn)D(m，n)重合，則m＋n的值是．14．圓心在y軸上，且與直線x＋y－3＝0及x－y－1＝0都相切的圓的方程為．15．在圓x2＋y2－5x＝0內(nèi)，過點(diǎn)(5，3)有n條長度成等差數(shù)列的弦，最小弦為a1最大弦22為a若公差d∈[1，1]，那么n的取值會(huì)集是．n63三、解答題16．直線l被兩條平行直線l1：x＋2y－1＝0及l(fā)2：x＋2y－3＝0所截線段的中點(diǎn)在直線x－y－1＝0上，且l到直線x＋2y－3＝0的角為45°，求直線l的方程．17．直線l過點(diǎn)（1，1）交x軸、y軸的正半軸分別于點(diǎn)A、B，由A、B作直線2x＋y＋3＝0的垂線，垂足分別為C、D，當(dāng)|CD|最小時(shí)，求l的方程．18．已知圓x2＋y2＝9的內(nèi)接△ABC中，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－3，0)，重心G的坐標(biāo)是(－1，－21)求：直線BC的方程；弦BC的長度．19．要將兩種大小不相同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)以下表，每張鋼板的面積為：第一種1m2，第二種2m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為12、15、17塊，問分別截這兩種鋼板多少張可得吻合上面要求的三種規(guī)格產(chǎn)品，且使所用鋼板總面積最??？規(guī)格種類A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格鋼板種類第一種鋼板121第二種鋼板11320．已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝2，OT＝t（0<t<1）以AB為腰作直角梯形AA'B'B，使AA'垂直且等于AT，使BB'垂直且等于BT，A'B'交半圓于P、Q兩點(diǎn)，以下列圖的直角坐標(biāo)系．⑴寫出直線A'B'的方程．⑵計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．⑶證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光輝入射點(diǎn)為T，經(jīng)AB反射后，反射光輝經(jīng)過點(diǎn)Q．B'yPQBA'Ax21．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0可否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，寫出直線l的方程，若不存在說明原由．剖析幾何初步章節(jié)測試題答案1.B2.A6.C7.B8.B9.B10.A11.k∈R12.0133414.x2＋(y－1)2＝215.{4,5,6,7}516．解：設(shè)直線l與x－y－1＝0的交點(diǎn)為P，x－y－1＝0與l1訂交于點(diǎn)A，與l2訂交于點(diǎn)B，則A(1，0)，B(5，2)33∵l1∥l2∴P點(diǎn)也是線段AB的中點(diǎn)P(4，1)33又設(shè)l的斜率為k．1k由已知tan45°＝2∴k＝－311k2∴l(xiāng)的方程為y＝1＝－3(x－4)33即9x＋3y－13＝017．解：過B作CA的垂線交直線CA于點(diǎn)H，則|CD|＝|BH|設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則a>1，b>1．直線AC的方程為：y＝1(x－a)即x－2y－a＝02∴|BH|＝a2b∵(1,1)在AB上5∴1＋1＝1ab∴|CD|＝a2b＝1(a＋2b)(1＋1)55ab＝1(3＋2b＋b)5aa∴|CD|≥1(3＋22)＝3521055當(dāng)a2＝2b2且a＋b＝ab即a＝1＋2，b＝22時(shí)2|CD|有最小值352105此時(shí)直線l的方程為：x2y＝1212218．解：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)連AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)．x1x23由三角形重心公式得24y1y2322∴M的坐標(biāo)為3,342連結(jié)OM，則OM⊥BC，又kOM＝－21∴kBC＝∴BC的方程為y＋3＝1(x－3)224即4x－8y－15＝0(2)連結(jié)OB，在Rt△OBM中|BC|＝2|BM|＝2|OB|2|OM|2又∵|OM|＝35，∴|BC|＝29453114162x0y019．解：設(shè)第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，使用鋼板面積為zm2拘束條件為：xy122xy15x3y17目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋2y，作出一組平行直線x＋2y＝t中，經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最近的直線，此直線過x＋y＝12，x＋3y＝17的交點(diǎn)為A(19，5)，此時(shí)，z＝x＋2y＝，而22最優(yōu)解（x，y）為整數(shù)，作直線x＋2y＝15，可求得它與x＋y=12，x＋3y＝17的交點(diǎn)為(9，3)(11，2)那么在9≤x≤11之間，把x＝9、10、11分別代入x＋2y＝15得整數(shù)的點(diǎn)有(9，3)(11，2)∴(9，3)，(11，2)為最優(yōu)解故有兩種截法，第一種截法是截第一種鋼板9張，第二種鋼板3張；第二種截法是截第一種鋼板11張，第二種鋼板2張．20．(1)直線A'B'的方程為y＝－tx＋1(2)由方程組x2y21解得P(0，1)ytx12t2,1t2Q(2)1t1t(3)kPT＝－1kQT＝1tt由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光輝經(jīng)過點(diǎn)T反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)Q．21．解：假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)為y＝x＋b，它與圓C的交點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)．由x2y2－2x＋4y－4＝0化為：(x－1)2＋(y＋2)2＝9∴圓C的圓心坐標(biāo)為(1，－2)半徑為3．由題意可得OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1進(jìn)而得：x1x2＋y1y2＝0聯(lián)立x2y22x4y40yxb得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0∴x1x2＝b24b42同理，可求得：y1y2＝b22b42進(jìn)而b24b4＋b22b4＝022即b2＋3b－4＝0解得：b＝1或－4∴這樣的直線存在方程為：y＝x－4或y＝x＋1五年高考薈萃2009年高考題一、選擇題1.（遼寧理，4）已知圓C與直線x－y=0及x－y－4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為A.(x1)2(y1)22B.(x1)2(y1)22C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)22【剖析】圓心在x＋y＝0上,消除C、D,再結(jié)合圖象,也許考據(jù)A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑2即可.【答案】B2.（重慶理，1）直線yx1與圓x2y21的地址關(guān)系為（）A．相切B．訂交但直線但是圓心C．直線過圓心D．相離【剖析】圓心(0,0)為到直線yx1，即xy10的距離d122，而2201，選B。2【答案】B3.（重慶文，1）圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（）A．x2(y2)21B．x2(y2)21C．(x1)2(y3)21D．x2(y3)21解法1（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,b)，則由題意知(o1)2(b2)1，解得b2，故圓的方程為x2(y2)21。解法2（數(shù)形結(jié)合法）：由作圖依照點(diǎn)(1,2)到圓心的距離為1易知圓心為（0，2），故圓的方程為x2(y2)21解法3（考據(jù)法）：將點(diǎn)（1，2）代入四個(gè)選擇支，消除B，D，又由于圓心在y軸上，消除C。【答案】A4（.上海文，17）點(diǎn)P（4，－2）與圓x2y24上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是（）A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)21x4ss2x42【剖析】設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q（s，t），PQ的中點(diǎn)為A（x，y），則，解得：2t2y，yt22代入圓方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：(x2)2(y1)21【答案】A5.（上海文，15）已知直線l1:(k3)x(4k)y10,與l2:2(k3)x2y30,平行，則k得值是（）A.1或3或5或5或2【剖析】當(dāng)k＝3時(shí)，兩直線平行，當(dāng)k≠3時(shí)，由兩直線平行，斜率相等，得：3k＝k4k3，解得：k＝5，應(yīng)選C?！敬鸢浮緾6.(上海文，18)過圓C：(x1)2(y1)21的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足SS￥SS,則直線AB有（）|||（A）0條（B）1條（C）2條（D）3條【剖析】由已知，得：SIVSIISIIISI,，第II，IV部分的面積是定值，因此，SIVSII為定值，即SIIISI,為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C搬動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)地址吻合題意，即直線AB只有一條，應(yīng)選B?！敬鸢浮緽7.（陜西理，4）過原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓x2y24y0所截得的弦長為A.3C.63剖析：x2y24y0x2（2，）y24A(0,2),OA=2,A到直線ON的距離是1,ON=3弦長23【答案】D二、填空題8.（廣東文，13）以點(diǎn)（2，1）為圓心且與直線xy6相切的圓的方程是.【剖析】將直線xy6化為xy|216|560,圓的半徑r1,12因此圓的方程為(x2)2(y1)225252【答案】(x2)2(y1)22x1t9.（天津理，13）設(shè)直線l1的參數(shù)方程為1（t為參數(shù)），直線l2的方程為y=3x+4y3t則l1與l2的距離為_______【剖析】由題直線l的一般方程為3xy20，故它與與l2的距離為|42|310。1105【答案】310510.（天津文，14）若圓x2y24與圓x2y22ay60(a0)的公共弦長為23，則a=________.1【剖析】由已知，兩個(gè)圓的方程作差能夠獲取訂交弦的直線方程為y，a|1|2利用圓心（0，0）到直線的距離da為221，解得a=1.31【答案】111.（全國Ⅰ文16）若直線m被兩平行線l1:xy10與l2:xy30所截得的線段的長為22，則m的傾斜角能夠是①15②30③45④60⑤75其中正確答案的序號是.（寫出所有正確答案的序號）【剖析】解：兩平行線間的距離為d|31|2，由圖知直線m與l1的夾角為30o，l111的傾斜角為45o，因此直線m的傾斜角等于30o450750或45o300150。【答案】①⑤12.（全國Ⅱ理16）已知AC、BD為圓O:x2y24的兩條互相垂直的弦，垂足為M1,2,ABCD的面積的最大值為。則四邊形【剖析】設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d、d2,則d2+d2OM23.112四邊形ABCD的面積S1|AB||CD|2(4d12)(4-d22)8(d12d22)52【答案】513.（全國Ⅱ文15）已知圓O：x2y25和點(diǎn)A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于【剖析】由題意可直接求出切線方程為y-2=1(x-1)，即x+2y-5=0,進(jìn)而求出在兩坐標(biāo)軸上的5和5，因此所求面積為15225截距分別是5。2224【答案】25414.（湖北文14）過原點(diǎn)O作圓x2+y2-－6x－8y＋20=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，則線段PQ的長為?！酒饰觥靠傻脠A方程是(x3)2(y4)25又由圓的切線性質(zhì)及在三角形中運(yùn)用正弦定理得PQ4.【答案】415.（江西理16）．設(shè)直線系M:xcos(y2)