考研概率試題(數(shù)四)題目：(87,2分)對(duì)于任意二事件A和B,有P(A-B)=(C)P(A)-P(B). (B)P(A)-P(B)+P(AB)(C)P(A)-P(AB), (D)P(A)+P(7)-P(A5).知識(shí)點(diǎn)：概率的性質(zhì)解vA-B=A-AB,且ABUA,故(C)成立.注釋本題考查概率的性質(zhì).P(A-B)=P(A)-P(A8)是一常用式子.只有bua時(shí)(A)才成立.題目：(87,8分) 已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=1)=O.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5寫出X的分布函數(shù)F(x)； (2)求X的數(shù)學(xué)期望和方差.知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量期望方差0x<10.2l<x<2F(x)=<0.52<x<3解：⑴1x>3(2)2,3;0.61分布函數(shù)定注釋本題主要考查離散型隨機(jī)變量由分布列求分布函數(shù)和期望、方差的方法。義式中分布函數(shù)定題目：（88,7分）假設(shè)有十只同種電器元件，其中有兩只廢品.裝配儀器時(shí)，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只；若仍是廢品，則扔掉再取一只.試求在取到正品之前，已取出的廢品只數(shù)的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差.知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量期望方差概率X)12I81 2 88p— ￡(X)=- ￡>(%)=—-解：54545 9 405注釋本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望、方差的計(jì)算。其中概率的計(jì)算可以這樣：設(shè)A=（第歆取得正品｝,（i訓(xùn)，則P（X=2）=P（L4）=p（4,Qp（司4）P（Q=題目：（89,8分） 某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件,其壽命（單位：小時(shí)）都服從同一指數(shù)分布,分布密度為/U)=I €/U)=I €6000,而，若力0若xW0試求：在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率.1-eT知識(shí)點(diǎn):離散型隨機(jī)變量二項(xiàng)分布解設(shè)電子元件的壽命為X,又設(shè)在最初的200小時(shí)內(nèi)，有丫只電子原件損壞。則知，X的概率密度f（x）,而丫?B（3,p）其中p=其中p=p(X<200)=?2001 -- --I。注釋本題主要考查一堆連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算。求概率時(shí)，遇到“至少”、“至多”這類問題時(shí)，可考慮其對(duì)立事件的概率；解2用到二項(xiàng)分布，同學(xué)要善于從“獨(dú)立”、“重復(fù)”、“發(fā)生幾次”（本題指幾個(gè)元件損壞）幾個(gè)要素上判斷其屬于二項(xiàng)分布（貝努里概型）題目：(89,8分) 已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為(x,y) (0.0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P{X=x,Y=y)~6?100.150.250.200.15~0.15試求：(DX的概率|分布；-(x+y)(2)X+Y的概率分布；(3)Z=sin2的數(shù)學(xué)期望.知識(shí)點(diǎn)：二位離散型隨機(jī)變量邊緣分布隨機(jī)變量函數(shù)分布期望X0i2解：4.(1)P0.250.450.3X+Y0123⑵〃0.10.40.350.15⑶￡(Z)=0.25注釋本題主要考查二維離散型隨機(jī)變量由聯(lián)合分布求邊緣分布、隨機(jī)變量函數(shù)的分布和期望的方法。題目：(89,3分) 設(shè)隨機(jī)變量XI、X2、X3相互獨(dú)立，其中XI在區(qū)間［0,6］上服從均勻分布,X2?N(0,22),X3服從參數(shù)為入=3的泊松分布,記Y=X『2X2+3X3,則DY=46.知識(shí)點(diǎn):方差特殊分布注釋本題主要考查方差的計(jì)算性質(zhì)和特殊分布的方差。對(duì)二項(xiàng)、播送、均勻、指數(shù)、正態(tài)等特殊分布，不但要求記住其分布列或密度，還要記住其期望和方差題目：(90,6分)甲、乙兩人獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊，設(shè)甲的命中率為0.2,乙的命中率為0.5,以X和丫分別表示甲和乙的命中次數(shù),試求(X,Y)的聯(lián)合概率分布.知識(shí)點(diǎn)：二維隨機(jī)變量及其分布解:012P,.00.160.320.160.6410.080.160.080.3220.010.020.010.04P-J0.250.50.251題目：(90,3分) 設(shè)隨機(jī)變量X?N(-3,1),丫?N(2,1),且X與丫相互獨(dú)立.若Z=X-2Y+7,則Z口N(0,5)知識(shí)點(diǎn)：正態(tài)分布期望方差計(jì)算注釋本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)和期望方差的計(jì)算性質(zhì)。注意。(。)=0，℃丫)=。2。(丫)(C為常數(shù))，切勿寫成“O(X-2y+7)=°X-2°y+7”.錯(cuò)！另外，參閱本章3-3題注釋。題目：(90,3分) 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且EX=2.4,DX=L44,則二項(xiàng)分布的參數(shù)n,P的值為(B)(A)n=4,p=0.6 (B)n=6,p=0.4 (C)n=8,p=0.3 (D)n=24,p=0.1知識(shí)點(diǎn):二項(xiàng)分布期望方差題目：(91,3分)設(shè)A、B為隨機(jī)事件,P(A)=0.7,P(A為)=0.3,則P(通)=0.6.知識(shí)點(diǎn)：概率的計(jì)算性質(zhì)解...P(A-B)=P(A)-P(AB)得P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.7-0.3=0.4.故P(AB)=\-P(AB)=\-0.4=0.6.注釋本題考查概率的計(jì)算性質(zhì)題目：(91,7分) 在電源電壓不超過200V、在200?240V和超過240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1、0.001和0.2,設(shè)電源電壓X?N(220,252),試求1.該電子元件損壞的概率a；2.該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200?240V的概率B. 0.064;0.009x0.1b 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40①(x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919表中①(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).知識(shí)點(diǎn)：全概率公式正態(tài)分布概率計(jì)算注釋本題主要考查全概率公式(及貝葉斯公式)和正態(tài)分布概率計(jì)算題目：（91,7分）一輛汽車沿一街道行駛,要過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅、綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù).求X的概率分布和E知識(shí)點(diǎn)：分布列和隨機(jī)變量函數(shù)的期望1p-1p-解：7. 2J. J. 14 8 8或"x+1 96注釋本題主要考查分布列和隨機(jī)變量函數(shù)的期望。其中｛X=3｝表示｛三個(gè)路口遇紅燈｝,不要溜掉。本題不是二項(xiàng)分布（問的不是”共遇幾次綠燈”）。有時(shí)間時(shí)應(yīng)取之和為1.

題目：(92,3分)設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件,P(A)=P(B)=P(C)=4,p(AB)=P(BC)=O,P(AC)=8,則A,B,C至5少出現(xiàn)一個(gè)的概率為w知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)事件及其概率解P(A,B,C至少出現(xiàn)一個(gè))=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)1 1 1八1八八5=--1 1 0 0+0=—其中P(A8C)=°可如下推出：■.ABCuAB,:.0<P(ABC)<P(AB)=0故P(ABC)=0.注釋本題主要考查P(AU8UC)的計(jì)算式，其中P(ABC)=°的證明不能證：“P(AB)=0/.AB=0,:.ABC=0C=0,:.P(ABC)=尸(0)=0”，因?yàn)镻(AB)=0得不至ij“AB=0w這一結(jié)論.題目：(92,3分)設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)事件C也發(fā)生，則(D)(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A；B)(C)P(C)WP(A)+P(B)T(D)P(C)2P(A)+P(B)-1.知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)事件及其概率題目：(93,3分)設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為5知識(shí)點(diǎn)：條件概率解設(shè)人=｛取的兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品｝,B=｛取的兩件產(chǎn)品都是不合格品｝.顯然有B顯然有BuA,.,.AB=BP卸)P卸)=迪=皿則所求概率為 尸(㈤HQ、. 」c12P(A)=1-尸(兩件產(chǎn)品均為合格品)=1--^=1-上=』尸(3)=與=2注釋本題考查條件概率的計(jì)算。有人這樣設(shè)："A=｛取的兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品｝,B=｛另一件也是不合格品｝”這樣的說法含義不準(zhǔn)確。兩件產(chǎn)品被取出，誰是“另一件”？“這一件”？要避免這樣含糊的說法，可以看出無否是否說的清楚即可。題目：(93,3分) 設(shè)隨機(jī)變量X與丫均服從正態(tài)分布,X?N(u,42),丫?N(u,52),記pl=P｛XWu-4｝,p2=P｛丫2u+5｝,貝!|(A)對(duì)任何實(shí)數(shù)u,都有pl=p2.對(duì)任何實(shí)數(shù)u,都有pl=<p2.只對(duì)u的個(gè)別值,才有pl=p2.(D)對(duì)任何實(shí)數(shù)u都有pl=>p2.知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量正態(tài)分布I2.求丁的數(shù)學(xué)期望.I2.求丁的數(shù)學(xué)期望.2為f(x)并非5只在xe［l，3］才有。題目：(93,8分) 設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立，都在區(qū)間［1,3］上服從均勻分布.引進(jìn)事件A={XWa},B={Y>a}7P(AU8)=一已知 九求常數(shù)a；知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量概率計(jì)算函數(shù)的期望a=』或工￡(1)=1In3解：⑴ 3 3⑵x2注釋本題主要考查(連續(xù)型)隨機(jī)變量的概率計(jì)算和函數(shù)的期望。不要寫P(A)=T^-dx rm \-dx”以及來說“e［1,3］時(shí)，寫成““2”一類寫法，因題目：（94,3分）設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60樂30%、10%,現(xiàn)從中任了一件,結(jié)果不2是三等品，則取到的是一等品的概率為5知識(shí)點(diǎn)：條件概率解設(shè)A=｛取的產(chǎn)品是i等品｝,i=l,2,3有題意知p（A）=06p（4）=03p（&）=o.i,得= 2兇）=0.9目Au4,故a4=ap（A區(qū)）=9="一所求概率為 「尸⑷0.93注釋本題主要考查條件概率的計(jì)算。希望能看出4U4。題目：(95,7分)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,證明：丫=l-e-2X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.知識(shí)點(diǎn)：續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布注釋本題主要考查一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布。兩種證法各有優(yōu)劣，主要證發(fā)2中要求力(y)單調(diào)，也勿丟掉『y〉o這一限制證法1中可以具體作出Raw*的積分值(有F(」ln(l—y)) ? plln(I-y)2點(diǎn)繁)，也可表示成 2 -(這兒用為X的分布函數(shù))，但不能寫成J一 (參見本章2-11題注釋末尾)。題目：（95,3分）設(shè)隨機(jī)變量題目：（95,3分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1+X,

(1—X,

0,若-1WXW0若0VXW1 ]其他貝|JDX=Z.知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量題目：（96,3分）設(shè)A,B為隨機(jī)事件且AUB,P（B）>0,則下列選項(xiàng)必然成立的是（B）P（A）<P（A|B）（B）P（A）WP（A|B）（C）P（A）>P（A|B）（D）P（A）2P（A|B）.知識(shí)點(diǎn)：本題主要考查條件概率的計(jì)算式。解vAcAB=AP（A|g）=P（Ag）>P（A）故P網(wǎng)（?.?0<248）41）故選伊）。題目：（96,3分） 一實(shí)習(xí)生用同一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造3個(gè)同種零件,第i個(gè)零件是不合111格的概率pi=i+l（i=l,2,3）,以X表示3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù),則P（X=2）=24知識(shí)點(diǎn)：互不相容和獨(dú)立事件的概率計(jì)算解記4=｛制造的第i個(gè)零件是合格品｝,i=l,2,3.由題意知相互獨(dú)立，且P（A）=「p，W』23則p（x=2）=P（A4%U4無人3U2A3）=p（A4%）+p（ai?,）+尸（私&）=p（A）p（4）p（A）+p（a）p（耳）p（&）+p（Qp（4）p（4）12111312311=-X-X—+—X-X—+-X-X—= 23423423424注釋本題考查互不相容和獨(dú)立事件的概率計(jì)算。主要本題非二項(xiàng)分布（非貝努里概型），因?yàn)椤爸貜?fù)”這一條件不成立。

題目：（96,7分）設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電氣元件,其工作狀態(tài)相互獨(dú)立,且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為入>0的指數(shù)分布.當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作.試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布?知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)分布人⑴=<解：r>0人⑴=<解：r>0^<0題目：(97,3分)設(shè)A,B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件,則P{(^+B)(A+B)(I豆)(A+豆)}=0.知識(shí)點(diǎn)：事件的運(yùn)算解v(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=(AA+AB+AB+B)(AA+通+ +萬)故P(A+8)(4+B)(A+B)(A+B)=P(0)=0注釋本題主要考查事件的運(yùn)算，由于事件的并，交運(yùn)算具有交換、結(jié)合及分配律，故可以像多項(xiàng)式相乘一樣地“乘二本題要求考試做得快捷，不可多耽誤時(shí)間。題目：(97,3分) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為⑵p)的二項(xiàng)分布,隨機(jī)變量丫服從參數(shù)為⑶p)的5 ￡二項(xiàng)分布,若P{X21}=§,則P{丫21}=工知識(shí)點(diǎn)：本題主要考查二項(xiàng)分布的計(jì)算。解由已知，X~B(2,P),丫?B由,P).所以1=P(X>1)=1-P(X=O)=1-C°p°(l-p)2=l-(l-p)2.4 2 1?**(1—pY—?—,由1-pw[0,1],解得1—p=§?，?p=§i2g1a于是p(。)=i-▽=。)=Y(§)飛)』-萬三題目：(97,8分)設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于l,P{X=-l}=G,p{X=l}=K,在事件{-1*1}出現(xiàn)的條件下,X在(T,1)內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.試求:(1)X的分布函數(shù)/(x)=P{X&x}；(2)X取負(fù)值的概率.知識(shí)點(diǎn)：分布函數(shù)和條件概率0 %<-1F(x)=?—(x+l)H— TWx<116 18解：I1?注釋本題主要考查分布函數(shù)和條件概率的計(jì)算。解中"a-"X"RT<X<l)=-x+l)”是題中“在事件{T<X<1}出現(xiàn)成正比…”這句話的數(shù)學(xué)式子表述。解中用到式子:?P(X=a)=F(a)-F(a-O) ?P(X<a)=F(a-O)v是用分布函數(shù)求概率的式子。題目：(97,3分)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為⑵p)的二項(xiàng)分布,隨機(jī)變量丫服從參數(shù)為⑶p)的5 29二項(xiàng)分布,若P{X20}=5,則P{丫21}=27知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)分布題目：(97,3分)設(shè)X是一隨機(jī)變量EX=u,DX=。2(u,。2>0是常數(shù))，則對(duì)任意常數(shù)C必有(A)E(X-C)2=EX2-C2 (B)E(X-C)2=E(X-u)2(C)E(X-C)2<E(X-u)2 (D)E(X-C)2^E(X-u)2[D]知識(shí)點(diǎn)：期望注釋本題主要考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算性質(zhì)。解中插項(xiàng)的方法是一較常用手法。(若加〃條件，則E(X-C)2>E(X-4)題目：(97,8分)設(shè)隨機(jī)變量丫服從參數(shù)為入=1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量x=]o,若丫《女*"[1,若Y>k(k=l,2)求：(1)(XI,X2)的聯(lián)合概率分布；(2)E(X1+X2).知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布概率的計(jì)算期望的性質(zhì)解：⑴x}010\-e-'01e~l-e~2e-2(2) +e/注釋本題主要考查隨機(jī)變量的分布、概率的計(jì)算和期望的性質(zhì)。其中(2)可以先求出X”X2的邊緣分布或Xi+X。的分布(本題之解簡(jiǎn)潔些)再求期望。2_題目：（98,3分）設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p,進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=5時(shí),成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大,其最大值為5.知識(shí)點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)差解由題意，成功次數(shù)為參數(shù)n=100,p的貝努里概型，其標(biāo)準(zhǔn)差JnP（1-P）=T0y/pQ-p）<10xP+（：_〃）:52。其中中等號(hào)成立的充要的條件為1P=二P=l—P,即 2,這是標(biāo)準(zhǔn)差最大。注釋“標(biāo)準(zhǔn)差”的概念在數(shù)字特征一節(jié)里（本題可對(duì)歸入本章第3節(jié)）。本題用到“幾何平均數(shù)《算術(shù)平均”題目：（98,3分）設(shè)A,B,C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,且OVP（C）VI.則在下列給定的四對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是（B）（A）A+B與C. （B）AC與亍.?與a（D）AB與心.知識(shí)點(diǎn)：獨(dú)立事件解只有⑻中，而與亍有共同的C,一般不獨(dú)立。注釋本題考查的是事件組獨(dú)立的一個(gè)結(jié)論：若…4相互獨(dú)立，將A，4,…A”分成k組彼此沒有共同的事件，然后各組內(nèi)諸事件并、交、差、補(bǔ)等運(yùn)算，得到的k個(gè)新事件是相互獨(dú)立的（例如，若4，42,…4相互獨(dú)立，則4Ua，A3-A4，AAA7U4相互獨(dú)立）。因此，本題中（A）、（C）、（D）的兩個(gè)事件均獨(dú)立，不選。題目：（98,9分）設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間［10,30］上均勻分布的隨機(jī)變量,而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間［10,30］中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價(jià)處理,每處理1單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每1單位商品獲利300元.為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元,試確定最少進(jìn)貨量.21知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量期望注釋本題主要考查隨機(jī)變量函數(shù)的期望。這是一有應(yīng)用背景的題目，希望同學(xué)能從題意看出丫與X、h的函數(shù)關(guān)系（寫g（X）是為了后邊套公式方便）。本題X為隨機(jī)變量（已知分布），h為非隨機(jī)變量（未知待求）而丫是隨機(jī)變量，但勿去求丫的分布。題目：（98,7分）某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記x=|1,若抽到，.等品，-[0其他（i=L2,3）試求：（1）（XI,X2）的聯(lián)合分布；（2）（XI,X2）的相關(guān)系數(shù)0.知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量解：16.(1)王0101To1101450(2)-3注釋本題主要考查離散型（二維）隨機(jī)變量的分布列和數(shù)字特征的計(jì)算。由題意有（X2=Du（X|=0）,.?.P（X=0,X2=l）（其余類似）。解中的表可不寫，而表中寫出兩個(gè)邊緣分布列是為了求功1，。*2等方便。題目：（99,3分） 設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量丫初in{X,2}的分布函數(shù)（D）是連續(xù)函數(shù) （B）至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)（C）是階梯函數(shù) （D）恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布注釋本題主要考查隨機(jī)變量的分布。其中min（X,2）的值必在（0,2）內(nèi)，所以對(duì)y作'4°，丁22和0<y<2的討論。本題參閱本章2-2題分析、2-11題注釋末尾、2-2題注釋4,本題的丫非離散非聯(lián)系，無密度，勿對(duì)耳⑶）求導(dǎo)。題目：(99,9分) 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形G={(X,Y)}OWxW2,01上服從均勻分布,試求邊長(zhǎng)為X和丫的矩形面積S的概率密度f(s).知識(shí)點(diǎn)：二維隨機(jī)變量解:?°解:?° —(ln2-lnS)人(S)=2、0<S<2S<0或5>2題目：(99,8分)已知隨機(jī)變量XI和X2的概率分布1 0]_ ]_1」1 0]_ ]_1」 L2而且P{X1X2=0)=1.求XI和X2的聯(lián)合分布:i12.2.問XI和X2是否獨(dú)立？為什么？知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量及其分布(1)X。一］01Pi.0]_40]_41210]_20]_2P-J42j.41(2)不獨(dú)立題目：(99,3分)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為X的泊松分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1,則入=1知識(shí)點(diǎn)：泊松分布期望方差注釋本題主要考查泊松分布的期望、方差和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，參閱本章3-3題注釋，其中EX~=DX+(EXf是由DX=EX?_(EX)2得到，在特殊分布時(shí)很常用。題目：(99,3分)設(shè)隨機(jī)變量X和丫的方差存在且不等于0,則D(X+Y)=DX+DY是X和丫不相關(guān)的充分條件,但不是必要條件.B.獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件.不相關(guān)的充分必要條件. D.獨(dú)立的充分必要條件. (BC)知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量方差注釋本題考查不相關(guān)的等價(jià)說法等性質(zhì)。其實(shí)，以下幾種說法等價(jià)：a.X與丫不相關(guān)；b.E(XY)=E(X)E(Y).C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)；d.cov(X,Y)=0；e.相關(guān)系數(shù)夕=°.(設(shè)X、丫的二階矩存在)。另外，若X與丫獨(dú)立，則X與丫不相關(guān)(反之不成立)，所以本題的(B)也是對(duì)的。題目：(00,3分)設(shè)A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立,則A,B,C相互獨(dú)立的充分必要條件是(A)(A)A與BC獨(dú)立.(B)AB與AUc獨(dú)立.(C)AB與AC獨(dú)立.(D)aUb與aUc獨(dú)立.知識(shí)點(diǎn)：相互獨(dú)立的充分必要條件解yAb,。兩兩獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(6)P(C)可知這時(shí)，A,B,C相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)"P(ABC)=P(A)P(B)P(C)(*)”成立，而由尸(BC)=P(8)P(C),知(*)成立＜=＞尸(ABC)=尸(A)P(BC)u＞人與BC獨(dú)立，故選(A).注釋本題考查兩兩獨(dú)立、相互獨(dú)立的概念，對(duì)三個(gè)事件而言，兩兩獨(dú)立用3個(gè)的等式定義，而相互獨(dú)立用4個(gè)等式定義(即加一個(gè)(*)式)，要強(qiáng)一些。題目：(00,8分) 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為/(x,y)=；明(x,y)+痣(x,y)]其中取(x,y)和。式乂力都是二維正態(tài)密度函數(shù),且它們對(duì)應(yīng)的二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)分別為J__1§和-3,它們的邊緣密度函數(shù)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都是0,方差都是L(1)求隨機(jī)變量X和丫的密度函數(shù)工(X評(píng)明U),及X和丫的相關(guān)系數(shù)P(可以直接利用二維正態(tài)的性質(zhì)).(2)問X和丫是否獨(dú)立？為什么？知識(shí)點(diǎn)：二維正態(tài)分布性質(zhì)數(shù)字特征1H 1~fi^=~rr~e2人(y)=~^=e2解：20.(1) 72兀 72兀 p=o不獨(dú)立注釋本題主要考查二維正態(tài)分布的性質(zhì)和數(shù)字特征，引入(配7)等是為了把題目中的文字?jǐn)⑹鲇脭?shù)學(xué)語言來描述，其實(shí)是一個(gè)“理解題意”的過程(不引(久外))等量也可，但心里要清楚，式子要用對(duì)。而本解法可能易于理解些).解(2)時(shí)，要求學(xué)生記住二維正態(tài)分布的密度,請(qǐng)不要怕繁。主要本題中(X,Y)不是服從正態(tài)分布的(盡管X和丫都服從正態(tài)分布)，不能用“正態(tài)分布時(shí)，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)”這個(gè)結(jié)論。題目：(01,3分)對(duì)于任意二事件A和B,與aUB=B不等價(jià)的是(D)Aub.(B)ZuA.(c) = (D)初=中.知識(shí)點(diǎn)：事件的關(guān)系和運(yùn)算解對(duì)任意事件A,B均有BuAUB故AUBuB等價(jià)于AuB,而(a)、(B)、(C)相互等價(jià)，而(D)是與BuA等價(jià)注釋本題考查事件的關(guān)系和運(yùn)算。不難看出，下述各命題等價(jià)：AuBAB=AAUB=B④A-B=0⑤ ⑥AB=0題目：(01,3分) 設(shè)隨機(jī)變量X和丫的聯(lián)合分布在以點(diǎn)(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形1區(qū)域上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差.18知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量均勻分布方差題目：(02,8分)設(shè)A,B是任意二事件，其中OVP(A)VI.證明：P(B|A)=P(B|A)是A與B獨(dú)立的充分必要條件.知識(shí)點(diǎn)：獨(dú)立的充分必要條件證1必要性?「A與B獨(dú)立一.居方獨(dú)立，得尸(布)=尸(8)，尸(甲)=尸(8),故P(8|A)=P(*)充分性l-P(A)P(AB)_P(AB)

P(A)~P(A)l-P(A)化簡(jiǎn)得P(A8)=P(A)P(B)即人與b獨(dú)立。題目：（02,3分） 設(shè)隨機(jī)變量X和丫的聯(lián)合概率分布為-10100.070.180.1510.080.320.20則X和丫的關(guān)系數(shù)P=0.知識(shí)點(diǎn)：二維離散型隨機(jī)變量注釋本題主要考查二維離散型隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)。本題中cov（X,Y）=0,所以沒有求DX和DY,直接得到夕=°,本題給出了不相關(guān)但不獨(dú)立的例子（本題中X與丫不獨(dú)立）。題目：（02,3分）設(shè)隨機(jī)變量XI,X2,-Xn相互獨(dú)立,Sn=Xl+X2+-+Xn,則根據(jù)列維-林德伯格（Levy-Lindberg）中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí),Sn近似服從正態(tài)分布，只要XI,X2,???,Xn（A）有相同的數(shù)學(xué)期望. （B）有相同的方差.（C）服從同一指數(shù)分布. （D）服從同一離散型分布. [C]知識(shí)點(diǎn)：中心極限定理二隨機(jī)變量同分布解由列維-林德貝格中心極限定理，在X”X2,…X“獨(dú)立同分布且方差非0的條件下，n充分S”=2X]大時(shí)，T近似服從正態(tài)分布，可見（A）、（B）條件不夠，不選（二隨機(jī)變量同分布時(shí)必有數(shù)學(xué)期望相同，方法相同（只要存在）；但反過來，若數(shù)學(xué)期望相同，方差相同二隨機(jī)變量卻未必同分布）。同樣，（D）中沒有“方差非0”一條，也是不能選的（方差為0的隨機(jī)變量必服從退化分布即P（X=C）=1,屬離散型隨機(jī)變量）。只有（C）符合條件，故選（C）。注釋本題考查中心極限定理的使用條件。只要不是退化分布且獨(dú)立同分布，S"都近似服從正態(tài)分布（n充分大時(shí)），不一定非要指數(shù)分布不可。很多教材中結(jié)論是在上述的條件下，將S”標(biāo)準(zhǔn)化后近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其實(shí)，不將5”標(biāo)準(zhǔn)化，仍有近臬似服從正態(tài)分布的結(jié)論（條件當(dāng)然不變）。對(duì)退化分布列如P（X，=a）=l，i=L2「""-，則P（5"=〃a）=l,S”是不可能近似服從正態(tài)分布的。題目：(03,4分)對(duì)行任意二事件A和B,(B)(A)若ABW①，則A,B一定獨(dú)立.(B)若ABW①，則A,B有可能獨(dú)立.(0若AB=G，則A,B一定獨(dú)立. (D)若AB=?，則A,B一定不獨(dú)立.知識(shí)點(diǎn)：獨(dú)立事件題目：(03,13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為-T=，若xG[1,8]/（x）=3審0,其他0,F(x)是X的分布函數(shù),求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量均勻分布0 y<0<y 0<y<1解：11 ”1 ;1注釋對(duì)隨機(jī)變量歲，其分布函數(shù)為F(x),則尸(號(hào)服從上的均勻分布(只要4為連續(xù)型隨機(jī)變量，無論服從什么分布)，這是概率論中的一個(gè)結(jié)論(有興趣的同學(xué)可參閱數(shù)學(xué)四1995年的一道題，本書第4章2-13題)，解中時(shí)，后邊嚴(yán)格的寫為G(y)=P((X-l)Ud<X<8)(VX-l)<y}=P[(X<1)U(X<(l+y)2)}=P[X<(l+y)2)=F[(l+y)2)]=y ,但對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的同而言不必寫這么多，本題還有其他的形式解法如：求出F(x)后，可見y=F(x)在上xe口,8]上嚴(yán)格遞增，故反函數(shù)”二「心)存在，所以°a<1時(shí)G(y)=P{F(X)<y}=P{X< =F[r'(y)].又如：求出f(x)后，K=V%-1(1<X<8)反函數(shù)x=〃(y)=(i+y)2,0"G，"(y)=3(i+?,故丫的概率密度為A(y)=f(〃(y))?W(y)|=—/1，,?3(1+y)2=i(o<y<i)3.V[(l+y)2]2 prj題目：(03,4分) 設(shè)隨機(jī)變量X和丫都服從正態(tài)分布,且它們不相關(guān),則(C)(A)X與丫一定獨(dú)立. (B)(X,Y)服從二維正態(tài)分布.(C)X與丫未必獨(dú)立. (D)X+Y服從一維正態(tài)分布.知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量正態(tài)分布題目：(03,4分) 設(shè)隨機(jī)變量X和丫的相關(guān)系數(shù)為0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,則E(X+Y)2=6知識(shí)點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)方差注釋本題主要考查數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及方差、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算式。求出DX、DY后，用E(X+y)2=D(X+y)+[E(X+y)]2=D(X+Y)=DX+Dr+2cov(X,Y)=DX+DY+2p(X,y)4dx-4dy-■做法也可，但勿寫成“”，因?yàn)閄和丫沒有獨(dú)立或不相關(guān)的條件。題目：(03,13分)對(duì)于任意二事件A和題目：(03,13分)對(duì)于任意二事件A和B,0<P(A)<l,0<P(B)<l,稱作事件A和B的相關(guān)系數(shù).證明事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零;利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明IP|<1.知識(shí)點(diǎn)：事件同獨(dú)注釋考查事件同獨(dú)立性的定義。而解(2)時(shí)要理解題意：“利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)”，這就要求我們引入隨機(jī)變量與A、B聯(lián)系起來(解中X、丫的引法很自然，也是概率中常用的手法)，如果不引隨機(jī)變量，即使證出刊“1也常不給分，因?yàn)椤安缓项}意”(筆者所在的閱卷即是這樣的)。而引出X和丫后，關(guān)于X、Y、XY(甚至(X,Y))的分布可全用P(A)、P(B、P(AB)來描述，后邊就好辦了。注意X與丫沒有“獨(dú)立性”，因?yàn)锳、B沒有“獨(dú)立性”的條件。題目：（04,13分）設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（°』）上服從均勻分布，在X=x（O<x<l）的條件下，隨機(jī)變量丫在區(qū)間（°”）上服從均勻分布，求（I）隨機(jī)變量x和丫的聯(lián)合概率密度；（n）y的概率密度；an）概率px+y>i}.知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量均勻分布f（x,y）=<x' J-lny,0<.y<L解：（1） 1°‘其他⑵I0,其他 ⑶1-加2題目：（04,4分）設(shè)隨機(jī)變量X，％，…，X“（〃>1）獨(dú)立同分布,且方差">0.令隨機(jī)變量?y=-?y=-Xx.n-=',則(c)D(Xl+Y)=-a2(A) 〃2Cov(x,,y)=—(c) 〃.D(x,-r)=—o-2(B) 〃(D)cov(xo=〃.知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量獨(dú)立同分布題目：(05,13分)設(shè)X了2,…，X“(〃>2)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且均服從n(0,1).記X=-YXiXi=X-X,i=l,2,-,n.求：⑴工的方差= …,％(II)匕與％的協(xié)方差 (IH)P{>匕鈉?知識(shí)點(diǎn)：方差、協(xié)方差的計(jì)算解：⑴〃；(II)〃；(III)2注釋本題(D、(口)主要考查方差、協(xié)方差的計(jì)算，注意X，與x、X|與X、Y與匕等均沒有“獨(dú)立”或“不相關(guān)”的結(jié)論，切勿“°(XlX)=°X,.+°X,,。(1)中解1及(⑴的解法用了協(xié)方差的線性運(yùn)算性質(zhì)。較為簡(jiǎn)潔。有人解(口)時(shí)用協(xié)方差的定義式計(jì)算式來做：Cov(Yl,Yn)=E[(Yl-EYl)(Yn-EYn)]=E(Yl,Yn)=E[(Xi-X)(X?-X)]=E(X,Xn)-E(X1X)-￡(XX?)+E(X)2TOC\o"1-5"\h\z- 1 1n 1 1nE(XiXn)=EX「EXn=O,E(XiX)=E(—X：Xj)=—E(X；)+—EE(XiXj)〃 〃j-2 〃 〃j-21 1n 1=-[￡>X,+(EX1)2]+-^(￡X1￡X>)=-，而〃 nj=2 ni —— 1JJL 1 ? 1 ——同理“雙總，而"、)=叫畢)= 一、七?x，=。,E(X2)=D(X)+(￡X)2=- Cov(Yi,Yll)=--"帶入得 〃，似不如正文解法簡(jiǎn)潔。(HD主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)和概率計(jì)算，可參閱本章2-6題的注釋。“多維的服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的個(gè)分量的線性組合仍服從正態(tài)分布”，這是一常見、重要的結(jié)論(即使沒有“獨(dú)立性”的條件,、 。(0)=這個(gè)結(jié)論也成立)。解中恰好可以不用求( 2須記住)，如果一定想求，則a2=D(Yl+Yn)=DYi+DYn+2Cov(Yi,Yn)=(l--)+(\--)+2(-^=2--〃 〃 〃 〃，也不難。

題目：（05,4分）設(shè)X|，X2,…，Xn,…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記中（燈為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布