北京師范大學數(shù)學學院

授課教師：劉永平第四章一元函數(shù)的變化性態(tài)（III）

北京師范大學數(shù)學學院

授課教師：劉永平第四章一元函數(shù)的今天主要內(nèi)容:

絕對連續(xù)函數(shù)和康托函數(shù)

(1)絕對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；(2)微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式）；(3)康托集與康托函數(shù)；(4)一些例子.(5)小結(jié).今天主要內(nèi)容:

絕對連續(xù)函數(shù)和康托函數(shù)

(1)絕對連續(xù)函數(shù)1.絕對連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.絕對連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)例3.1例3.1定理3.1定理3.1定理3.2定理3.2定理3.3.微積分基本定理

（Newton-Leibniz公式）定理3.3.微積分基本定理

（Newton-Leibniz例3.1例3.1康托集與康托函數(shù)康托集：將[0，1]三等分，去掉開區(qū)間然后將剩下的兩個閉區(qū)間分別三等分并去掉中間的開區(qū)間

仿此繼續(xù),當進行到第n步時,去掉個開區(qū)間(依其元素小大康托集與康托函數(shù)康托集：將[0，1]三等分，去掉開區(qū)間區(qū)間長為.那么進行第n+1步，在

的個閉區(qū)間中，分別三等分并去掉他們的中間的開區(qū)間:

為序):區(qū)間長為.那么進行第n+1步，在為歸納地，可從[0,1]中去掉開區(qū)間族：歸納地，可從[0,1]中去掉開區(qū)間族：康托集的性質(zhì)康托集的性質(zhì)康托函數(shù)康托函數(shù)康托函數(shù)的性質(zhì)康托函數(shù)的性質(zhì)例子4.1推廣的康托集例子4.1推廣的康托集有界變差函數(shù)-北京師范大學數(shù)學科學學院課件推廣的康托集的性質(zhì)推廣的康托集的性質(zhì)奇異函數(shù)和Heaviside函數(shù)若一個不恒為零的連續(xù)函數(shù)s,它a.e.可導且其導函數(shù)a.e.為零，則稱s為奇異函數(shù).Heaviside函數(shù)：奇異函數(shù)和Heaviside函數(shù)若一個不恒為零的連續(xù)函數(shù)s,跳躍函數(shù)設(shè)f是[a,b]上的單調(diào)增加函數(shù)，

是其全體不連續(xù)點.定義：跳躍函數(shù)設(shè)f是[a,b]上的單調(diào)增加函數(shù)，定理3.4.單調(diào)函數(shù)的勒貝格分解設(shè)f是[a,b]上的單增函數(shù)，則定理3.4.單調(diào)函數(shù)的勒貝格分解設(shè)f是[a,b]上的單增小結(jié)(1)絕對連續(xù)函數(shù)使得微積分基本公式成立；(2)康托三分集是測度為零、不可數(shù)、稀疏的完全集；(3)康托函數(shù)是導數(shù)幾乎處處為零、函數(shù)值充滿[0,1]的連續(xù)單調(diào)增函數(shù),故它是奇異的；(4)單增函數(shù)的勒貝格分解：跳躍（或0）+絕對連續(xù)+奇異（或0）.小結(jié)(1)絕對連續(xù)函數(shù)使得微積分基本公式成立；習題4.34、5、6、7、8、9.習題4.34、5、6、7、8、9.

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授課教師：劉永平第四章一元函數(shù)的變化性態(tài)（III）

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授課教師：劉永平第四章一元函數(shù)的今天主要內(nèi)容:

絕對連續(xù)函數(shù)和康托函數(shù)

(1)絕對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；(2)微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式）；(3)康托集與康托函數(shù)；(4)一些例子.(5)小結(jié).今天主要內(nèi)容:

絕對連續(xù)函數(shù)和康托函數(shù)

(1)絕對連續(xù)函數(shù)1.絕對連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.絕對連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)例3.1例3.1定理3.1定理3.1定理3.2定理3.2定理3.3.微積分基本定理

（Newton-Leibniz公式）定理3.3.微積分基本定理

（Newton-Leibniz例3.1例3.1康托集與康托函數(shù)康托集：將[0，1]三等分，去掉開區(qū)間然后將剩下的兩個閉區(qū)間分別三等分并去掉中間的開區(qū)間

仿此繼續(xù),當進行到第n步時,去掉個開區(qū)間(依其元素小大康托集與康托函數(shù)康托集：將[0，1]三等分，去掉開區(qū)間區(qū)間長為.那么進行第n+1步，在

的個閉區(qū)間中，分別三等分并去掉他們的中間的開區(qū)間:

為序):區(qū)間長為.那么進行第n+1步，在為歸納地，可從[0,1]中去掉開區(qū)間族：歸納地，可從[0,1]中去掉開區(qū)間族：康托集的性質(zhì)康托集的性質(zhì)康托函數(shù)康托函數(shù)康托函數(shù)的性質(zhì)康托函數(shù)的性質(zhì)例子4.1推廣的康托集例子4.1推廣的康托集有界變差函數(shù)-北京師范大學數(shù)學科學學院課件推廣的康托集的性質(zhì)推廣的康托集的性質(zhì)奇異函數(shù)和Heaviside函數(shù)若一個不恒為零的連續(xù)函數(shù)s,它a.e.可導且其導函數(shù)a.e.為零，則稱s為奇異函數(shù).Heaviside函數(shù)：奇異函數(shù)和Heaviside函數(shù)若一個不恒為零的連續(xù)函數(shù)s,跳躍函數(shù)設(shè)f是[a,b]上的單調(diào)增加函數(shù)，

是其全體不連續(xù)點.定義：跳躍函數(shù)設(shè)f是[a,b]上的單調(diào)增加函數(shù)，定理3.4.單調(diào)函數(shù)的勒貝格分解設(shè)f是[a,b]上的單增函數(shù)，則定理3.4.單調(diào)函數(shù)的勒貝格分解設(shè)f是[a,b]上的單增小結(jié)(1)絕對連續(xù)函數(shù)使得微積分基本公式成立；(2)康托三分集是測度為零、不可數(shù)、稀疏的完全集；(3)康托函數(shù)是導數(shù)幾乎處處為零、函數(shù)值充滿[0