第十六章

拉格朗日方程分析力學(xué)篇1第十六章拉格朗日方程分析力學(xué)篇1應(yīng)用動力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題并不方便，由于約束的限制，各質(zhì)點的坐標不獨立，解題時必須用約束方程消去多余的坐標變分。如果先考慮約束條件，采用廣義坐標表示動力學(xué)普遍方程，就可得到與廣義坐標數(shù)目相同的一組獨立的微分方程，從而使復(fù)雜的動力學(xué)問題變得簡單，這就是著名的拉格郎日方程。第十六章拉格朗日方程2應(yīng)用動力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題設(shè)有n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受s個完整雙側(cè)約束§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件廣義虛位移第十六章拉格朗日方程則該質(zhì)點系有N

個自由度(N=3n-s)

，可由N個廣義坐標q1，q2，...，qN確定其位置。質(zhì)點系中任一質(zhì)點Mi的矢徑可表示為固定時間t，對ri取變分，可得Mi的虛位移——廣義虛位移3設(shè)有n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受s個完整雙側(cè)約虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程——與廣義坐標qk相對應(yīng)的廣義力4虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平——廣義坐標表示的虛功方程以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程由于廣義坐標的獨立性（δqk可任意取值）則必需質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零5——廣義坐標表示的虛功方程以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢力場中各有勢力投影在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)勢能在平衡位置處一階變分為零——勢能函數(shù)6以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢力場中，以廣義坐標表示勢能函數(shù)在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)勢能對于每個坐標的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。7以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢能取得極值8保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程9穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程10穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程11穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程12不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程13不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程14隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢能取得極值在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極小值在不穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極大值單自由度系統(tǒng)：平衡條件穩(wěn)定性判據(jù)15保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平據(jù)廣義力定義廣義力的計算方法其中，令則§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程利用廣義虛位移任意性對于保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)據(jù)廣義力定義廣義力的計算方法其中，令則§16-1以廣義

兩均質(zhì)桿，均長2l，均重P，用鉸鏈連接，跨過半徑為r的光滑圓柱體上，并位于同一鉛直面內(nèi)，求桿的平衡位置。解：由于兩桿等長等重，平衡時他們的位置必對稱，這樣系統(tǒng)就只有一個自由度。以θ為廣義坐標，C1、C2距O點的垂直距離：以過O點的水平面為零勢面，則系統(tǒng)的平衡條件為：例題16-1例題第十六章拉格朗日方程17兩均質(zhì)桿，均長2l，均重P，由此解出θ。例題16-1例題第十六章拉格朗日方程18由此解出θ。例題16-1例題18

圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計滑輪重及O、E處摩擦，求平衡時C的重量W及A與水平面之間的摩擦系數(shù)f。解：系統(tǒng)具有2自由度。以sA、sB為廣義坐標（1）當sA改變δsA而δsB=0（B不動），此時δsC=δsA/2例題16-2例題第十六章拉格朗日方程19圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計滑輪重及O

（2）當sB改變δsB而δsA=0，此時δsC=δsB/2系統(tǒng)平衡時有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P例題16-2例題第十六章拉格朗日方程20（2）當sB改變δsB而δsA=0，此時δsC=§16-2第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程（拉格朗日方程）第十六章拉格朗日方程——質(zhì)點系的動能其中——廣義坐標——廣義坐標qk對應(yīng)的廣義速度——廣義坐標qk對應(yīng)的廣義力21§16-2第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程（拉格朗保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗日函數(shù)保守系統(tǒng)中，主動力都是有勢力即則§16-2第二類拉格朗日方程22保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗

應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟1.判定質(zhì)點系的自由度k，選取適宜的廣義坐標。必須注意：不能遺漏獨立的坐標，也不能有多余的（不獨立）坐標。2.計算質(zhì)點系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標的函數(shù)。3.計算廣義力（三種方法）4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。5.求出上述一組微分方程的積分。第十六章拉格朗日方程§16-2第二類拉格朗日方程23應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟4.建立拉氏方程并加以在水平面運動的行星齒輪機構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿

OA

質(zhì)量是

m1

，可繞鉛直軸

O

轉(zhuǎn)動，桿端

A

借鉸鏈裝有一質(zhì)量是

m2，半徑是

r

的勻質(zhì)小齒輪，此小齒輪沿半徑是

R

的固定大齒輪滾動。當桿

OA

上作用著轉(zhuǎn)矩

MO時，求此桿的角加速度。MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程24在水平面運動的行星齒輪機構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿例題16-3例題第十六章拉格朗日方程25例題16-3例題25解：系統(tǒng)的動能為MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程

此機構(gòu)只有一個自由度。取桿OA

的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標，點A的速度為vA=(R+r)。小齒輪在固定的大齒輪上的嚙合點C

是其速度瞬心，故小輪的角速度26解：系統(tǒng)的動能為MOROAxyC例題16-3例題廣義力為得從而解得桿OA

的角加速度將上兩式代入拉格朗日方程MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程27廣義力為得從而解得桿OA的角加速度將上兩式代入拉格朗日方如圖所示的橢圓擺，由滑塊

A，細桿

AB

和擺錘

B

構(gòu)成。滑塊

A具有質(zhì)量

m1，可沿光滑水平面自由滑動。擺錘

B

可看成質(zhì)點且具有質(zhì)量

m2

，由長l的無重細桿鉸接在滑快上。桿可在鉛直面內(nèi)繞

A軸自由轉(zhuǎn)動。試寫出系統(tǒng)的運動微分方程。AB例題16-4例題第十六章拉格朗日方程28如圖所示的橢圓擺，由滑塊A，細桿A例題16-4例題第十六章拉格朗日方程29例題16-4例題29解：

此系統(tǒng)具有兩個自由度，取滑塊A

的坐標

x

和桿的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程30解：此系統(tǒng)具有兩個自由度，取滑塊A的求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程31求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題求廣義力?？紤]到主動力只有重力，分別給出系統(tǒng)的虛位移x

和

，則有將以上結(jié)果代入拉格朗日方程例題16-4例題第十六章拉格朗日方程ABm1gm2gvrvexyxO32求廣義力。考慮到主動力只有重力，分別給出系統(tǒng)的式(a)和(b)就是此系統(tǒng)的運動微分方程。即得ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程33式(a)和(b)就是此系統(tǒng)的運動微分方程。即一不可伸長的繩子跨過小滑輪

D

，繩的一端系于勻質(zhì)圓輪

A

的輪心

C

處，另一端繞在勻質(zhì)圓柱體

B

上。輪A

重

W1

，半徑是

R。圓柱

B重

W2，

半徑是r

。輪

A

沿傾角為

的斜面作純滾動，繩子傾斜段與斜面平行?；?/p>

D

和繩子的質(zhì)量不計，試求輪心

C和圓柱B

的中心

E

的加速度。CW1W2REDABryxAB例題16-5例題第十六章拉格朗日方程34一不可伸長的繩子跨過小滑輪D，繩的一端例題16-5例題第十六章拉格朗日方程35例題16-5例題35解:

系統(tǒng)具有兩個自由度。我們選取

x1=DC

和

y=yE作為系統(tǒng)的廣義坐標。于是系統(tǒng)的動能為式中

A和

B分別是圓輪

A和圓柱體

B的角速度。根據(jù)運動學(xué)關(guān)系可知將

A和

B代入動能表達式，并考慮到CW1W2REDABryxABx1yE例題16-5例題第十六章拉格朗日方程36解:系統(tǒng)具有兩個自由度。我們選取x1=則有

圓輪A作純滾動，摩擦力不做功。系統(tǒng)的主動力只有重力

W1

和

W2，因此，系統(tǒng)的勢能為寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)CW1W2REDABryxABx1yE例題16-5例題第十六章拉格朗日方程37則有圓輪A作純滾動，摩擦力不做功。系統(tǒng)的求解式(a)和(b)，得即得系統(tǒng)的運動微分方程它們分別是輪心

C和圓柱

B的中心

E的加速度。將

L代入拉氏方程例題16-5例題第十六章拉格朗日方程38求解式(a)和(b)，得即得系統(tǒng)的運動微分方程它們

作業(yè)第十六章拉格朗日方程下冊3-123-1339作業(yè)第十六章拉格朗日方程下冊39第十六章

拉格朗日方程分析力學(xué)篇40第十六章拉格朗日方程分析力學(xué)篇1應(yīng)用動力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題并不方便，由于約束的限制，各質(zhì)點的坐標不獨立，解題時必須用約束方程消去多余的坐標變分。如果先考慮約束條件，采用廣義坐標表示動力學(xué)普遍方程，就可得到與廣義坐標數(shù)目相同的一組獨立的微分方程，從而使復(fù)雜的動力學(xué)問題變得簡單，這就是著名的拉格郎日方程。第十六章拉格朗日方程41應(yīng)用動力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題設(shè)有n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受s個完整雙側(cè)約束§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件廣義虛位移第十六章拉格朗日方程則該質(zhì)點系有N

個自由度(N=3n-s)

，可由N個廣義坐標q1，q2，...，qN確定其位置。質(zhì)點系中任一質(zhì)點Mi的矢徑可表示為固定時間t，對ri取變分，可得Mi的虛位移——廣義虛位移42設(shè)有n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受s個完整雙側(cè)約虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程——與廣義坐標qk相對應(yīng)的廣義力43虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平——廣義坐標表示的虛功方程以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程由于廣義坐標的獨立性（δqk可任意取值）則必需質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零44——廣義坐標表示的虛功方程以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢力場中各有勢力投影在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)勢能在平衡位置處一階變分為零——勢能函數(shù)45以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢力場中，以廣義坐標表示勢能函數(shù)在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)勢能對于每個坐標的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。46以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件§16-1以廣義坐標表示保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢能取得極值47保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程48穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程49穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程50穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程51不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程52不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程53隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢能取得極值在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極小值在不穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極大值單自由度系統(tǒng)：平衡條件穩(wěn)定性判據(jù)54保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平據(jù)廣義力定義廣義力的計算方法其中，令則§16-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件第十六章拉格朗日方程利用廣義虛位移任意性對于保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)據(jù)廣義力定義廣義力的計算方法其中，令則§16-1以廣義

兩均質(zhì)桿，均長2l，均重P，用鉸鏈連接，跨過半徑為r的光滑圓柱體上，并位于同一鉛直面內(nèi)，求桿的平衡位置。解：由于兩桿等長等重，平衡時他們的位置必對稱，這樣系統(tǒng)就只有一個自由度。以θ為廣義坐標，C1、C2距O點的垂直距離：以過O點的水平面為零勢面，則系統(tǒng)的平衡條件為：例題16-1例題第十六章拉格朗日方程56兩均質(zhì)桿，均長2l，均重P，由此解出θ。例題16-1例題第十六章拉格朗日方程57由此解出θ。例題16-1例題18

圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計滑輪重及O、E處摩擦，求平衡時C的重量W及A與水平面之間的摩擦系數(shù)f。解：系統(tǒng)具有2自由度。以sA、sB為廣義坐標（1）當sA改變δsA而δsB=0（B不動），此時δsC=δsA/2例題16-2例題第十六章拉格朗日方程58圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計滑輪重及O

（2）當sB改變δsB而δsA=0，此時δsC=δsB/2系統(tǒng)平衡時有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P例題16-2例題第十六章拉格朗日方程59（2）當sB改變δsB而δsA=0，此時δsC=§16-2第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程（拉格朗日方程）第十六章拉格朗日方程——質(zhì)點系的動能其中——廣義坐標——廣義坐標qk對應(yīng)的廣義速度——廣義坐標qk對應(yīng)的廣義力60§16-2第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程（拉格朗保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗日函數(shù)保守系統(tǒng)中，主動力都是有勢力即則§16-2第二類拉格朗日方程61保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗

應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟1.判定質(zhì)點系的自由度k，選取適宜的廣義坐標。必須注意：不能遺漏獨立的坐標，也不能有多余的（不獨立）坐標。2.計算質(zhì)點系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標的函數(shù)。3.計算廣義力（三種方法）4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。5.求出上述一組微分方程的積分。第十六章拉格朗日方程§16-2第二類拉格朗日方程62應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟4.建立拉氏方程并加以在水平面運動的行星齒輪機構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿

OA

質(zhì)量是

m1

，可繞鉛直軸

O

轉(zhuǎn)動，桿端

A

借鉸鏈裝有一質(zhì)量是

m2，半徑是

r

的勻質(zhì)小齒輪，此小齒輪沿半徑是

R

的固定大齒輪滾動。當桿

OA

上作用著轉(zhuǎn)矩

MO時，求此桿的角加速度。MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程63在水平面運動的行星齒輪機構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿例題16-3例題第十六章拉格朗日方程64例題16-3例題25解：系統(tǒng)的動能為MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程

此機構(gòu)只有一個自由度。取桿OA

的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標，點A的速度為vA=(R+r)。小齒輪在固定的大齒輪上的嚙合點C

是其速度瞬心，故小輪的角速度65解：系統(tǒng)的動能為MOROAxyC例題16-3例題廣義力為得從而解得桿OA

的角加速度將上兩式代入拉格朗日方程MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程66廣義力為得從而解得桿OA的角加速度將上兩式代入拉格朗日方如圖所示的橢圓擺，由滑塊

A，細桿

AB

和擺錘

B

構(gòu)成?；瑝K

A具有質(zhì)量

m1，可沿光滑水平面自由滑動。擺錘

B

可看成質(zhì)點且具有質(zhì)量

m2

，由長l的無重細桿鉸接在滑快上。桿可在鉛直面內(nèi)繞

A軸自由轉(zhuǎn)動。試寫出系統(tǒng)的運動微分方程。AB例題16-4例題第十六章拉格朗日方程67如圖所示的橢圓擺，由滑塊A，細桿A例題16-4例題第十六章拉格朗日方程68例題16-4例題29解：

此系統(tǒng)具有兩個自由度，取滑塊A

的坐標

x

和桿的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程69解：此系統(tǒng)具有兩個自由度，取滑塊A的求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程70求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題求廣義力。考慮到主動力只有重力，分別給出系統(tǒng)的虛位移x

和

，則有將以上結(jié)果代入拉格朗日方程例題16-4例題第十六章拉格朗日方程ABm1gm2gvrvexyxO71求廣義力。考慮到主動力只有重力，分別給出系統(tǒng)的式(a)和(b)就是此系統(tǒng)的運動