第七章數(shù)據(jù)分析建模方法(下)*在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中,經(jīng)常需要建立變量之間的關(guān)系.*由于對(duì)研究對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理不甚了解,不能通過(guò)合理的假設(shè),或根據(jù)物理定律、原理,經(jīng)過(guò)機(jī)理分析法而得到.問(wèn)題解決思路第七章數(shù)據(jù)分析建模方法(下)*在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程1*選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式對(duì)變量間的關(guān)系進(jìn)行擬合.*通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)充分觀察和分析,獲得數(shù)據(jù)所含信息;*揭示變量間的內(nèi)在聯(lián)系;xoy*借助于由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到的一批離散數(shù)據(jù).*選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式對(duì)變量間的關(guān)系進(jìn)行擬合.*通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)充分觀2兩類變量關(guān)系

確定性關(guān)系確定的函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系存在相依關(guān)系,但未達(dá)到相互確定的程度.兩類數(shù)據(jù)已知規(guī)律(函數(shù))的測(cè)試數(shù)據(jù)(在特定時(shí)間點(diǎn)或距離上的數(shù)據(jù))呈現(xiàn)隨機(jī)性的數(shù)據(jù),可看成具有某種概率分布的隨機(jī)樣本值.兩類變量關(guān)系確定性關(guān)系確定的函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系存在相依3針對(duì)兩種不同類型的數(shù)據(jù),有不同的建立模型方法:1.

數(shù)據(jù)擬合法(適用于第一類數(shù)據(jù))基本思想

已知函數(shù)y=f(x)的一組測(cè)試數(shù)據(jù)(xi,

yi)，(i=1，2，…，n)，尋求一個(gè)函數(shù)ψ(x)，使ψ(x)對(duì)上述測(cè)試數(shù)據(jù)的誤差較小，即ψ(xi)≈yi，于是可以用ψ(x)來(lái)近似替代f(x).常用的數(shù)據(jù)擬合方法：一般插值法、最小二乘法、樣條函數(shù)光順?lè)ǖ?針對(duì)兩種不同類型的數(shù)據(jù),有不同的建立模型方法:1.4插值法的基本思想

尋找

f(x)的近似替代函數(shù)φ(x),在插值節(jié)點(diǎn)xi上滿足

φ(xi)=yi，(i=1,2,…，n)，其余點(diǎn)用φ(x)近似替代f(x),稱φ(x)為f(x)的插值函數(shù).插值法的基本思想尋找f(x)的近似替代函數(shù)其余5最小二乘法基本思想尋找f(x)的近似替代函數(shù)φ(x),使2.隨機(jī)分析方法對(duì)于隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,可用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的回歸分析方法或時(shí)間序列分析方法.二．經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕?/p>

以上兩種建模方法都是建立在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行充分分析的基礎(chǔ)上.最小二乘法基本思想尋找f(x)的近似替代2.6

尋找或選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合變量之間的關(guān)系(函數(shù)關(guān)系或回歸關(guān)系)是重要的環(huán)節(jié).一般步驟1）繪制數(shù)據(jù)散布圖；

2）分析數(shù)據(jù)散布圖；

3）選擇函數(shù)關(guān)系形式.

1)

通過(guò)分析數(shù)據(jù)散布圖可以獲得對(duì)變量間關(guān)系的感性認(rèn)識(shí),形成初步的看法,以便于對(duì)問(wèn)題做進(jìn)一步的分析.見(jiàn)p156尋找或選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合變量之間的關(guān)系一般步驟1）繪7氮施肥量N

－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖氮施肥量N－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖8磷施肥量

－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖磷施肥量－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖92）分析數(shù)據(jù)散布圖；

對(duì)數(shù)據(jù)散布圖進(jìn)行分析,可以分析出變量的關(guān)系是：1）線性的還是非線性的？2）有無(wú)周期性？3）呈現(xiàn)何種變化趨勢(shì)？變化率如何？…，等等有用的初步結(jié)論.2）分析數(shù)據(jù)散布圖；對(duì)數(shù)據(jù)散布圖進(jìn)行分析,可以分析出10例1建立一個(gè)簡(jiǎn)潔的函數(shù)關(guān)系式來(lái)描述某個(gè)地區(qū)人的身高和體重的對(duì)應(yīng)關(guān)系,數(shù)據(jù)見(jiàn)表7.4(p156).曲線特征是體重W隨身高H的增長(zhǎng)而單調(diào)增長(zhǎng)，但可以觀察到是非線性增長(zhǎng).身高－體重?cái)?shù)據(jù)散布圖例1建立一個(gè)簡(jiǎn)潔的函數(shù)關(guān)系式來(lái)描述曲線特征11練習(xí)試分析以下問(wèn)題1.氮施肥量N、磷施肥量P關(guān)于土豆產(chǎn)量的數(shù)據(jù)散布圖(P153例7.1.1).2.海浪潮高度x

隨時(shí)間t

的數(shù)據(jù)散布圖.練習(xí)試分析以下問(wèn)題1.氮施肥量N、磷施肥量P關(guān)于123）選擇函數(shù)關(guān)系形式

1.形式盡可能簡(jiǎn)潔,盡可能線性化；原則2.依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的精度要求,合乎實(shí)際規(guī)律.

續(xù)例7.2.1

選擇冪函數(shù)W=,描述身高體重關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)

此函數(shù)可以線性化.兩邊取對(duì)數(shù),有3）選擇函數(shù)關(guān)系形式1.形式盡可能簡(jiǎn)潔,盡可能線性化；13

變換為線性函數(shù)

例7.2.2

可選二次函數(shù)

注：其中b0=y(0)=15.18.

描述氮肥施肥量與土豆產(chǎn)量間的變量關(guān)系.關(guān)于磷肥施肥量和土豆產(chǎn)量的變量關(guān)系可選擇威布爾模型：變換為線性函數(shù)例7.2.2可選二次函數(shù)注：其中14合理性?3.

y是單調(diào)升函數(shù).

也可以選擇S

函數(shù)：

合理性?3.y是單調(diào)升函數(shù).也可以選擇S函數(shù)：15S函數(shù)也滿足：

3.y是單調(diào)升函數(shù)；

哪個(gè)模型更好？分析S模型所含參數(shù)更少,另外若令可得線性模型S函數(shù)也滿足：3.y是單調(diào)升函數(shù)；哪個(gè)模型更好？16

重要定理(維爾斯脫拉斯)若函數(shù)f(x)在有限閉區(qū)間上連續(xù),則存在一個(gè)多項(xiàng)式序列{Pn(x)}在有限閉區(qū)間[a,b]上一致收斂于f(x).稱f(x)在[a,b]上可由多項(xiàng)式函數(shù)逼近.

例6.2.3估計(jì)供水塔的水流量試用以下數(shù)據(jù)估計(jì)任意時(shí)刻(包括水泵正在輸水的時(shí)間內(nèi))從水塔流出的流量f(t),并估計(jì)一天的總用水量.重要定理(維爾斯脫拉斯)若函數(shù)f(x)在有限閉17時(shí)間(秒)水位(0.01英尺)時(shí)間(秒)水位(英尺)03175466363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254水泵開(kāi)動(dòng)35932水泵開(kāi)動(dòng)82649水泵開(kāi)動(dòng)39332水泵開(kāi)動(dòng)859683475394353550899533397433183445923703340時(shí)間(秒)水位(0.01英尺)時(shí)間(秒)18某小鎮(zhèn)某天水塔水位散布圖

某小鎮(zhèn)某天水塔水位散布圖19思考為什么考慮用多項(xiàng)式函數(shù)？有什么優(yōu)點(diǎn)？假設(shè)水位高度（或水塔的水容量）是連續(xù)變化的.可以選擇n次多項(xiàng)式Pn(x)來(lái)近似描述水位隨時(shí)間的變化規(guī)律.問(wèn)題歸結(jié)為選擇足夠大的n及估計(jì)各個(gè)系數(shù)值.思考為什么考慮用多項(xiàng)式函數(shù)？有什么優(yōu)點(diǎn)？假設(shè)水位20參見(jiàn)電子科技大學(xué)《概率統(tǒng)計(jì)》p228“非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)”問(wèn)題.參見(jiàn)電子科技大學(xué)《概率統(tǒng)計(jì)》p228“非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)21第七章數(shù)據(jù)分析建模方法(下)*在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中,經(jīng)常需要建立變量之間的關(guān)系.*由于對(duì)研究對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理不甚了解,不能通過(guò)合理的假設(shè),或根據(jù)物理定律、原理,經(jīng)過(guò)機(jī)理分析法而得到.問(wèn)題解決思路第七章數(shù)據(jù)分析建模方法(下)*在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程22*選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式對(duì)變量間的關(guān)系進(jìn)行擬合.*通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)充分觀察和分析,獲得數(shù)據(jù)所含信息;*揭示變量間的內(nèi)在聯(lián)系;xoy*借助于由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到的一批離散數(shù)據(jù).*選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式對(duì)變量間的關(guān)系進(jìn)行擬合.*通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)充分觀23兩類變量關(guān)系

確定性關(guān)系確定的函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系存在相依關(guān)系,但未達(dá)到相互確定的程度.兩類數(shù)據(jù)已知規(guī)律(函數(shù))的測(cè)試數(shù)據(jù)(在特定時(shí)間點(diǎn)或距離上的數(shù)據(jù))呈現(xiàn)隨機(jī)性的數(shù)據(jù),可看成具有某種概率分布的隨機(jī)樣本值.兩類變量關(guān)系確定性關(guān)系確定的函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系存在相依24針對(duì)兩種不同類型的數(shù)據(jù),有不同的建立模型方法:1.

數(shù)據(jù)擬合法(適用于第一類數(shù)據(jù))基本思想

已知函數(shù)y=f(x)的一組測(cè)試數(shù)據(jù)(xi,

yi)，(i=1，2，…，n)，尋求一個(gè)函數(shù)ψ(x)，使ψ(x)對(duì)上述測(cè)試數(shù)據(jù)的誤差較小，即ψ(xi)≈yi，于是可以用ψ(x)來(lái)近似替代f(x).常用的數(shù)據(jù)擬合方法：一般插值法、最小二乘法、樣條函數(shù)光順?lè)ǖ?針對(duì)兩種不同類型的數(shù)據(jù),有不同的建立模型方法:1.25插值法的基本思想

尋找

f(x)的近似替代函數(shù)φ(x),在插值節(jié)點(diǎn)xi上滿足

φ(xi)=yi，(i=1,2,…，n)，其余點(diǎn)用φ(x)近似替代f(x),稱φ(x)為f(x)的插值函數(shù).插值法的基本思想尋找f(x)的近似替代函數(shù)其余26最小二乘法基本思想尋找f(x)的近似替代函數(shù)φ(x),使2.隨機(jī)分析方法對(duì)于隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,可用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的回歸分析方法或時(shí)間序列分析方法.二．經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕?/p>

以上兩種建模方法都是建立在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行充分分析的基礎(chǔ)上.最小二乘法基本思想尋找f(x)的近似替代2.27

尋找或選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合變量之間的關(guān)系(函數(shù)關(guān)系或回歸關(guān)系)是重要的環(huán)節(jié).一般步驟1）繪制數(shù)據(jù)散布圖；

2）分析數(shù)據(jù)散布圖；

3）選擇函數(shù)關(guān)系形式.

1)

通過(guò)分析數(shù)據(jù)散布圖可以獲得對(duì)變量間關(guān)系的感性認(rèn)識(shí),形成初步的看法,以便于對(duì)問(wèn)題做進(jìn)一步的分析.見(jiàn)p156尋找或選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合變量之間的關(guān)系一般步驟1）繪28氮施肥量N

－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖氮施肥量N－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖29磷施肥量

－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖磷施肥量－土豆產(chǎn)量數(shù)據(jù)散布圖302）分析數(shù)據(jù)散布圖；

對(duì)數(shù)據(jù)散布圖進(jìn)行分析,可以分析出變量的關(guān)系是：1）線性的還是非線性的？2）有無(wú)周期性？3）呈現(xiàn)何種變化趨勢(shì)？變化率如何？…，等等有用的初步結(jié)論.2）分析數(shù)據(jù)散布圖；對(duì)數(shù)據(jù)散布圖進(jìn)行分析,可以分析出31例1建立一個(gè)簡(jiǎn)潔的函數(shù)關(guān)系式來(lái)描述某個(gè)地區(qū)人的身高和體重的對(duì)應(yīng)關(guān)系,數(shù)據(jù)見(jiàn)表7.4(p156).曲線特征是體重W隨身高H的增長(zhǎng)而單調(diào)增長(zhǎng)，但可以觀察到是非線性增長(zhǎng).身高－體重?cái)?shù)據(jù)散布圖例1建立一個(gè)簡(jiǎn)潔的函數(shù)關(guān)系式來(lái)描述曲線特征32練習(xí)試分析以下問(wèn)題1.氮施肥量N、磷施肥量P關(guān)于土豆產(chǎn)量的數(shù)據(jù)散布圖(P153例7.1.1).2.海浪潮高度x

隨時(shí)間t

的數(shù)據(jù)散布圖.練習(xí)試分析以下問(wèn)題1.氮施肥量N、磷施肥量P關(guān)于333）選擇函數(shù)關(guān)系形式

1.形式盡可能簡(jiǎn)潔,盡可能線性化；原則2.依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的精度要求,合乎實(shí)際規(guī)律.

續(xù)例7.2.1

選擇冪函數(shù)W=,描述身高體重關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)

此函數(shù)可以線性化.兩邊取對(duì)數(shù),有3）選擇函數(shù)關(guān)系形式1.形式盡可能簡(jiǎn)潔,盡可能線性化；34

變換為線性函數(shù)

例7.2.2

可選二次函數(shù)

注：其中b0=y(0)=15.18.

描述氮肥施肥量與土豆產(chǎn)量間的變量關(guān)系.關(guān)于磷肥施肥量和土豆產(chǎn)量的變量關(guān)系可選擇威布爾模型：變換為線性函數(shù)例7.2.2可選二次函數(shù)注：其中35合理性?3.

y是單調(diào)升函數(shù).

也可以選擇S

函數(shù)：

合理性?3.y是單調(diào)升函數(shù).也可以選擇S函數(shù)：36S函數(shù)也滿足：

3.y是單調(diào)升函數(shù)；

哪個(gè)模型更好？分析S模型所含參數(shù)更少,另外若令可得線性模型S函數(shù)也滿足：3.y是單調(diào)升函數(shù)；哪個(gè)模型更好？37

重要定理(維爾斯脫拉斯)若函數(shù)f(x)在有限閉區(qū)間上連續(xù),則存在一個(gè)多項(xiàng)式序列{Pn(x)}在有限閉區(qū)間[a,b]上一致收斂于f(x).稱f(x)在[a,b]上可由多項(xiàng)式函數(shù)逼近.

例6.2.3估計(jì)供水塔的水流量試用以下數(shù)據(jù)估計(jì)任意時(shí)刻(包括水泵正在輸水的時(shí)間內(nèi))從水塔流出的流量f(t),并估計(jì)一天的總用水量.重要定理(維爾斯脫拉斯)若函數(shù)f(x)在有限閉38時(shí)間(秒)水位(0.01英尺)時(shí)間(秒)水位(英尺)031754663633503316311049953326066353054539363167106192994572543087139372947605743012179212892645542927212402850