第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值第一課時(shí)函數(shù)的極值教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值；3.體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系.二、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)求函數(shù)極值.2、教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.三、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入教師：觀察圖（1），當(dāng)時(shí)，高臺跳水運(yùn)動員距水面的高度最大.那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么變化規(guī)律？圖（1）我們帶著問題開始本節(jié)課的學(xué)習(xí).（二）探索新知探究一：函數(shù)的極值放大附近函數(shù)的圖象，如圖（2）.可以看出，；在的附近，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，.這就是說，在附近，函數(shù)值先增（當(dāng)時(shí)，）后減（當(dāng)時(shí)，）.這樣，當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過a時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有.圖（1）圖（2）提問：對于一般的函數(shù)，是否也有同樣的性質(zhì)呢？如圖，函數(shù)在等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律？以兩點(diǎn)為例，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè).類似地，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè).總結(jié)：我們把a(bǔ)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì).例1求函數(shù)的極值.解：因?yàn)?，所?令，解得或.當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表所示.x2＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為.探究二：函數(shù)極值的求法教師：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？學(xué)生：思考回答.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).例如，對于函數(shù)，我們有.雖然，但由于無論，還是，恒有，即函數(shù)是增函數(shù)，所以0不是函數(shù)的極值點(diǎn).一般地，函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件.總結(jié)：一般地，可按如下方法求函數(shù)的極值：解方程，當(dāng)時(shí)：（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值.例2函數(shù)在上()A.有極小值 B.有極大值C.既有極小值又有極大值 D.無極值答案：A解析：，由，得.由，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上有極小值，無極大值.故選A.（三）課堂練習(xí)1.函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案：A解析：由題意知，令，則，令，得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，由此可知，所以函數(shù)不存在極值點(diǎn)，故選A.2.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為()A.-1 B. C. D.1答案：A解析：因?yàn)?，，所以，所以?令，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為.故選A.3.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. B.C. D.答案：C解析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).，求導(dǎo)，得，令，得或.要使有三個(gè)極值點(diǎn)，則有三個(gè)互不相等的實(shí)根，即方程有兩個(gè)不等于1的實(shí)根.，令，則，令，得.易知，且，；，，所以當(dāng)時(shí)，方程即有兩個(gè)不等實(shí)根.又，所以，即.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選C.4.已知函數(shù)，若在處取得極小值，則a的取值范圍是()A. B. C. D.答案：D解析：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)且時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不滿足題意.故