第二講極限1.導(dǎo)數(shù)定義x0

x

lim

yx

x)

f

(

x0

)

lim

f

(

x0x0h

h)

f

(

x0

)

lim

f

(

x0h0函數(shù)

y

f

(

x)在

x

x0處可導(dǎo)000f

(

x

)

limx

xf

(

x)

f

(

x

)x

x0x03

3x2(B)

4 (C

)

1

(

D)

4例.

設(shè)

lim

[

f

(

x)

f

(0)]sin

3

x

4,

則

f

(0)等于

(

D)(

A)

3x2x0解：lim

[

f

(

x)

f

(0)]sin

3

x

lim

f

(

x)

f

(0)

sin

3

x

3x

3

xx0

3

f

(0)

43

f

(0)

4練習(xí)二(選講)一.(1)

f

(

x)

(

x2

x

2)

x3

x

不可導(dǎo)的點(diǎn)為

x

分析函數(shù)f

(x)|

x

|在x

0

不可導(dǎo).而函數(shù)f

(x)

x

|

x

|

在x

0

可導(dǎo).解:f

(

x)

(

x2

x

2)

x3

x

(

x

2)

[(

x

1)

|

x

1

|]

|

x

|

|

x

1

|所以不可導(dǎo)的點(diǎn)為x

0

及x

1.若函數(shù)

f

(

x)

x(

x

1)(

x

2解

:

f

(n)

lim

f

(

x)

f

(n)x

nx

n

lim

[

x(

x

1)(

x

n

1)(

x

n

1)(

x

2n)]x

n

n(n

1)(n

n

1)(n

n

1)(n

2n)

(1)n

(n!)2一.(2)一.(4)若f

(x0

)

1,x0

f

(

x0

2

x)

f

(

x0

5

x)則

lim

x

解

:

由于xlim

f

(

x0

2

x)

f

(

x0

5

x)x0x

lim

f

(

x0

2

x)

f

(

x0

)

f

(

x0

)

f

(

x0

5

x)x0

lim

f

(

x0

2

x)

f

(

x0

)

f

(

x0

5

x)

f

(

x0

)x0

x

x

2

x

5

x

(2)

lim

f

(

x0

2

x)

f

(

x0

)

5

lim

f

(

x0

5

x)

f

(

x0

)x0x0

2

f

(

x0

)

5

f

(

x0

)

7所以

1limx0

f

(

x0

2

x)

f

(

x0

5

x)

7x五.設(shè)對任意實(shí)數(shù)x

均有f

(1

x)(a

,b

為非零常數(shù)),證明f

(x)在x

1點(diǎn)處可導(dǎo)，并求f

(1).且f

(0)

b證明:當(dāng)x

0

時f

(1)

a

f

(0),lim

f

(1

x)

f

(1)

lim

a

f

(

x)

a

f

(0)x0x

xx0xf

(

x)

f

(0)

a f

(0)

a

b

a

limx0所以f

(1)

ab六.

若對一切實(shí)數(shù)x

,

y,

有

f

(

x

y)

e

x

f

(

y)

e

y

f

(

x)且f

(0)

1，證明當(dāng)x

0f

(x)也可導(dǎo)，且f

(

x)

ex

f

(

x).證明:令x

0,y

0,有

f

(0)

f

(0)

f

(0),得f

(0)

0.f

(

x

x)

f

(

x)

limx0xe

x

f

(x)

ex

f

(

x)

f

(

x)limx0ex

1xx

f

(x)

f

(0)x

lim

ex0x

f

(

x)

ex

f

(0)

f

(

x)

ex

f

(

x)所以

x

0

時，

f

(

x)

也可導(dǎo)，且

f

(

x)

ex

f

(

x).x

R1)定義3)

連續(xù)性5)

非零因子先求極限7)

根號有理化2)

充要條件4)

四則運(yùn)算法則6)

兩個重要極限8)

等價無窮小代換10)冪指函數(shù)指數(shù)對數(shù)法12)

遞推公式兩邊取極限14)

導(dǎo)數(shù)定義9)

定理11)

單調(diào)有界定理13)

作變換求極限時多種方法結(jié)合使用。2.數(shù)列極限和函數(shù)極限lim

g(

x)

xa

xa自測題練習(xí)三:三、若lim

f

(x)

A

0,試從定義出發(fā)證明：lim[f

(x)

g(x)]

xa證明：M

|

A

|

1

1,1

0,當(dāng)0

|

x

a

|

1

時，有|

g(x)|

MM

M2

2對

1

，

0,

當(dāng)0

|

x

a

|

時，有|

f

(

x)

A

|

1M即|

f

(

x)

|

|

A

||

f

(

x)

A

|

1取

min(

1

,

2

),

當(dāng)0

|

x

a

|

時，M|

f

(

x)

g(

x)

||

g(

x)

|

|

f

(

x)

|

M

|

A

|

1

M

|

A

|

1

lim[

f

(

x)g(

x)]

xa（仍是任意正數(shù)）1即|

f

(

x)

||

A

|

M單側(cè)極限的應(yīng)用xe|x|

1x0例.求lim

的結(jié)果是（D）（B）

1（A）1

（C）0（D）不存在x0e|x|

1

e

x解：lim

limxx0xe|x|

1

1

1limx0x

xe

x

limx0

1

1所求極限不存在。xe|x|

1

limx0求

limsin

n

1

sin

n

。解nsin

n

1

sin

nn

1

n21n

sinn

1

2cos2n

1

2(

n

1

n

)2n

sin

2

cos

limsin

n

1

sin

n

0n

0122(

n

1

n

)n

1, lim

sinn

1

cosn三角恒等式(半角公式,積化和差…)十七(1)四則運(yùn)算x

x例.lim(

x

sin

six0（B）1（A）

1

（C）f

(x)

0 （D）不存在x

x

x

xx0

x0x0解：lim(x

sin

1

1

sin

x)

lim

x

sin

1

lim

sin

x

0

1

1Ax2

sin

1x0

x

sin

2x例.求lim

x

(

A)31（A）0

（B）（C）（D）不存在,但不為xx

sin

1x2

sin

1x0

sin

2

x1

x0

x

sin

2

x解：lim

x

lim

x

01

20例.當(dāng)x

x0，結(jié)論正確的是（C

）（A）f

(x)g(x)當(dāng)x

x0時必?zé)o極限（B）f

(x)g(x)當(dāng)x

x0時必有極限（C）f

(x)g(x)當(dāng)x

x0時可能有極限（D）f

(x)g(x)當(dāng)x

x0時有極限，則極限必為零。解：x

0,

f

(

x)

x

0,

g(

x)

1

無極限x排除(A),(D)f

(

x)g(

x)

1x2若f

(

x)

x,

g(

x)

1x0xx0lim

f

(x)g(x)

lim

1

不存在排除(B)與

(x)

(x)是等價無窮小。0

(

x

)

e

(

x

)x

x

時,e

(x)

(x)

0.

證明當(dāng)例.設(shè)當(dāng)x

x0時，

(

x),

(

x)是無窮小，且x

x0

(

x)

(

x)解：lime

(

x

)

e

(

x

)

(

x)

(

x)e

(

x

)

(e

(

x

)

(

x

)

limx

x01

1)

10

當(dāng)x

x

時，e

(x

)

e

(x

)與

(x)

(x)是等價無窮小等價無窮小概念用等價無窮小求待定參數(shù)解lim

cos

x

1

lim

cos

x

1

x0

Axk

(x0Axk

cos

x

1)1lim

x2

k

12

2

A

x0

2

k

0

1

1,4A4

A

1

,

k

2

4

例.當(dāng)x

0時，若cos

x

1

~

Ax

k，則A

k

2

1無窮小的比較1

x(x)與

(x)是等價無窮小(x)是比

(x)高階的無窮小

(x)是比(x)高階的無窮小(x)與

(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小

1

lim

1

x

(1

3

x

3

x

2

)1

xx

6

x1

1

xx1

3

331

x例.設(shè)

(

x)

1

x

，

(

x)

3

3

3

x

,

則當(dāng)x

1時（D）x1

(

x)解：lim

(x)

lim2

1

1例.設(shè)f

(x)

x有（D）（A）f

(

x)

o(

g(

x))（B）g(

x)

o(

f

(

x))（C）f

(

x)

~

g(

x)（D）f

(x)和g(x)同階，但不是等價解：

lim

f

(

x)

limx0

g(

x)

x0

cos(2

x)

1x

sin

2

x2x

2

x

limx0

1

(2

x)2

1

1根式有理化x0

x

ln(1

x)cos

x例.求lim

1

x0

x

ln(1

x)cos

x解：lim

1

x

x

1

cos

x

lim

1

cos

x

1x02

x0

x

x1

x

2

1

lim

24

16

x

x

2x3

3

作變換例.求lim

(x

3)

sinx6

x

x2x3

3

解：lim

(x

3)sinx令x

3

u3

9

u2u0lim

usin(3

u)9

u2

)u2

lim

usinu

(3

u0

6例

:

計(jì)算極限

lim

arccos

x

.1

xx1arccos

x

) 1

xx1

(

解

:

原式

lim

arccos

x

1

xsin(arccos

x)1

lim

sin(

arccos

x)x12

11

xlimx12

11

x1

x2limx12

122

lim 1

x

x1x

1x1例2:計(jì)算極限lim

4arctan

x

.

4u

4u

tan

u

1令uarctan

x解:原式lim4t4limt

0

tan

t

14令t

u

11

tan

t4t

limt

0

1

tan

t

lim

4t1

tan

t

22

tan

tt

0sin

xex

ex例1.limsin

xe

x

ex解：lim1sin

x

sinx

e

limx

e

xxx(sin

x)

(e

x

)

1x

1cos

e

e利用導(dǎo)數(shù)的定義可以求極限x

1x1arctan

x

解法二:

原式＝4

lim

4x

1＝4

lim

arctan

x

arctan1x1＝4arctan

x

2x1x

1x1例2:計(jì)算極限lim

4arctan

x

.用第二重要極限求冪指函數(shù)的極限

3

x

)

x1x1x

12x例.求lim(x13

xx1x11

x

1)

x1x

1解：lim(e323

e

212

x

x2

x

x2x0例.求lim(解2

)

x12

)

xlim(2

x

x2

x

x2x0)2

x2

2

x

2

x

x22

x

x2

2

x2x02

x

x22

x2

2

x

lim(1

e

1

e1例.設(shè)f

(0)

0,

f

(0)存在，當(dāng)x

0時f

(x)

0,sin

xln(1

f

2

(

x))1]xlim[1

x0

e，則f

(0)

(

C

)1]xx0sin

xln(1

f

2

(

x))2sin

xln(1

f

2

(

x

))

1sin

x

x(

x))]ln(1

f

2

(

x

))

sin

x

解：lim[1

lim[1

ln(1

fx0

e[

f

(0)]2

e1/

2(D)

e(C

)(B)

(

A)02222

limx0xf

(

x)

f

(0)

02當(dāng)x

0時f

(x)

0,

[

f

(0)]2

1x

0f

(

x)

f

(0)

limxf

(

x)

f

(0)f

2

(

x)

limsin

xln(1

f

2

(

x))

1limx02

limx x

0x0x0x021

f

(0)

,

故選（C）。解)321n2

3n

nn2

n2n2nn

3n

1

3n

2

3n

3n

3n

n1

2

n2

2

1

n(n

1)n2

3n

n1

2

n

an

2n

3n

1

2

3n

1n21

n(n

1)1

n

n

1)(n

n2

3n

n

2lim

2

1

,

1lim

21

n(n

1)n

n2

3n

1

2定理.n分析:和式一般適當(dāng)放大和縮小,然后用n

3n

n

3n

1

n

3n

2

n

3n

31

2

3222an

n2

2

1nn

lim

a定理二(6)

lim(1例

:

計(jì)算極限

lim

(1x

2

x

3

x

)

x

.x1

(1x

2

x解

:

3

(3

x

)

x1

1

1

3

x

)

x

(3

3

x

)

x

3

3

x

,1x且

lim

3

3

x

3,

3.由

定理,

得1x

xxxx其中a

0.1例:計(jì)算極限lim(1

a

x

)x

,x01

1x

(1

a

x

)

x

2

x

,

且

lim

2

x

1,x0解:當(dāng)0

a

1時,11x0

lim

(1

a

x

)

x

1.

2

x

a,1

(2a

x

)

x1

1x0且lim

2

x

a

a,當(dāng)a

1時,

a

(a

x

)

x

(1

a

x

)

x1

lim

(1

a

x

)

x

a.x0.1a,

a

11, 0

a

1

lim

(1

a

x

)x

x0自測題練習(xí)三:十五、解：據(jù)題設(shè)：f

(0)

0

f

(0)

0|x

|

|

x

||

x

|2xf

(

x) |

x

|由已知：

xx0lim

|

x

|

0

由極限存在的x

xf

'(0)

lim

f

(

x)

f

(0)

lim

f

(

x)

0x0x0對于函數(shù)f

(x),若存在

0,當(dāng)x

(

,

)時恒有

xx2

,f|試)(|利用極限存在的求f

(0)。準(zhǔn)則：nn例.當(dāng)

x

1時,

求lim(1

x)(1

x

2

)(1

x4

)(1

x

2

).解將分子、分母同乘以因子(1-x),則nn(1

x)(1

x)(1

x

2

)(1

x

4

)(1

x

2

)原式

lim1

xn

lim1

xn(1

x

2

)(1

x

2

)(1

x

4

)(1

x

2

)n

limn

n(1

x

2

)(1

x

2

)n1

x

1

x

limn11

x

2.1

x1nn1(當(dāng)x

1時,

lim

x2

0.)注意:

這里的x是常量,

變量是n.其他技巧:例8

設(shè)a10，an1

a1an證明：{an

}收斂11證明

已知a

0，an1a

a

1

(n

1，2，）nnn,

a

0nn1111aann1

aann1nnaaaa12

1a

a

a

1

0

a4

a3

0

a3

a2

0

a5

a4

0a2n1

a2n

00,a2n

a2n1{an

}不是單調(diào)數(shù)列nn222n