巖石力學(xué)反分析1緒論2有限元法正分析簡(jiǎn)要3線彈性位移反分析巖石力學(xué)反分析1緒論11緒論巖石力學(xué)中的反分析最早由Kavangh（1973）、Gioda和Maier（1980）等人提出，Sakurai（1983）完成了巖體彈性模量和初始地應(yīng)力的線彈性有限元位移反分析，此后又發(fā)展了彈塑性、粘彈性、粘塑性等非線性位移反分析，并引入了誤差分析、優(yōu)化技術(shù)等一些手段，以求獲得非線性反分析中的最佳值。1.1發(fā)展歷史1緒論巖石力學(xué)中的反分析最早由21.2正分析與反分析1正分析2反分析①②1.2正分析與反分析1正分析2反分析①②3巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初始地應(yīng)力和位移量測(cè)值，求巖體物理力學(xué)參數(shù);已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)和位移量測(cè)值，求初始地應(yīng)力;已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)、初始地應(yīng)力和位移量測(cè)值，求開(kāi)挖空間最佳幾何形狀；已知初始地應(yīng)力和位移量測(cè)值，求巖體的本構(gòu)模型及模型參數(shù)，即系統(tǒng)辨識(shí)。3反分析問(wèn)題的特點(diǎn)多解性、無(wú)解性、不穩(wěn)定性。巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初41.3反分析中的幾個(gè)要素1模型模型是“原型”的一種“類似”，任何模型都不能反映出原型的一切特征。模型的表達(dá)形式可以是概念的、物理的或數(shù)學(xué)的，用數(shù)學(xué)描述形式建立的模型為數(shù)學(xué)模型。2參數(shù)和狀態(tài)參數(shù)是系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量，反映了系統(tǒng)的本質(zhì)，是不可測(cè)量的；狀態(tài)是系統(tǒng)的外部表現(xiàn)，是可以測(cè)量的。1.3反分析中的幾個(gè)要素1模型5在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變均為外部狀態(tài)變量，彈性模量、泊松比、內(nèi)粘結(jié)力等均為參數(shù)。3準(zhǔn)則函數(shù)由于模型的近似性和量測(cè)誤差的存在，在已知量和待求量之間對(duì)等的情況下，求出的結(jié)果往往不能很好地反映系統(tǒng)的本質(zhì)?？尚械姆椒ň褪窃黾右阎康臄?shù)量，求待求量的最優(yōu)值，為此需要引入一個(gè)準(zhǔn)則函數(shù)。準(zhǔn)則函數(shù)有兩類：以量測(cè)值為基礎(chǔ)的第一類準(zhǔn)則函數(shù)；以量測(cè)誤差及其統(tǒng)計(jì)特性為基礎(chǔ)的第二類準(zhǔn)則函數(shù)。常用準(zhǔn)則函數(shù)。在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變6①常規(guī)最小二乘法②高斯——馬爾可夫估計(jì)③最大似然估計(jì)④貝葉斯估計(jì)①常規(guī)最小二乘法②高斯——馬爾可夫估計(jì)③最大似然估計(jì)④71.4反分析求解方法1逆法將模型輸出表達(dá)成待求量的顯函數(shù)，與量測(cè)值構(gòu)成準(zhǔn)則函數(shù)直接求解。2正法當(dāng)模型輸出不能表達(dá)成待求量的顯函數(shù)時(shí)，先給出待求量的初值，計(jì)算出模型的輸出，與量測(cè)值一起代入準(zhǔn)則函數(shù)求出準(zhǔn)則函數(shù)值，按一定的路徑取待求量的值，可計(jì)算出一系列準(zhǔn)則函數(shù)值，使得準(zhǔn)則函數(shù)值達(dá)到最小的待求量值即為最優(yōu)值。該方法是由一系列正算過(guò)程構(gòu)成，故名正法。其適用范圍較逆法更廣。1.4反分析求解方法1逆法將模型輸出表達(dá)成待8正法中要用到最優(yōu)化方法，最常用的有模式搜索法、變量輪換法、單純形法、鮑威爾法。正法中要用到最優(yōu)化方法，最常用的有模式搜索法、變量9巖石力學(xué)反分析1緒論2有限元法正分析簡(jiǎn)要3線彈性位移反分析巖石力學(xué)反分析1緒論102.1有限單元法的基本思路將連續(xù)求解域離散為有限個(gè)、按一定方式相互連接在一起的單元組合體，在每個(gè)單元內(nèi)用一假設(shè)的位移函數(shù)來(lái)表示待求的未知位移場(chǎng)函數(shù)，而假設(shè)的位移函數(shù)用單元節(jié)點(diǎn)上的未知位移來(lái)表示，以此可導(dǎo)出單元內(nèi)以未知節(jié)點(diǎn)位移所表示的應(yīng)力、應(yīng)變，最后通過(guò)最小勢(shì)能原2有限元法正分析簡(jiǎn)要2.1有限單元法的基本思路將連續(xù)求解域離散11理導(dǎo)出單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個(gè)求解域所有節(jié)點(diǎn)平衡方程將構(gòu)成一方程組，通過(guò)求解該方程組可求得各節(jié)點(diǎn)上的位移，從而求得單元內(nèi)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變?？傊?，有限單元法就是將連續(xù)無(wú)限自由度問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍箅x散的有限自由度問(wèn)題，將偏微分方程組的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解。理導(dǎo)出單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個(gè)求解域12對(duì)求解連續(xù)體的邊值問(wèn)題，有限單元法是一種近似方法，近似的程度隨單元?jiǎng)澐旨用芏岣撸珪?huì)帶來(lái)計(jì)算工作量的增加。2.2有限單元法求解的一般過(guò)程2.2.1計(jì)算模型的建立確定計(jì)算域，以工程建設(shè)影響不到的地方作為計(jì)算模型的邊界。劃分單元，靠近開(kāi)挖區(qū)域單元化分密些，遠(yuǎn)離開(kāi)挖區(qū)域單元化分疏些。單元邊長(zhǎng)盡可能相近。以平面四節(jié)點(diǎn)的等參單元為例。對(duì)求解連續(xù)體的邊值問(wèn)題，有限單元法是一種近似方13巖石力學(xué)反分析課件142.2.2計(jì)算方法第一步計(jì)算初始地應(yīng)力場(chǎng)；第二步將釋放荷載轉(zhuǎn)化成等效節(jié)點(diǎn)力施加在開(kāi)挖邊界上，計(jì)算相應(yīng)的應(yīng)力、位移；第三步將前兩步應(yīng)力疊加即為開(kāi)挖引起的應(yīng)力，第二步的位移即為開(kāi)挖引起的位移。2.2.3平面有限元法基本公式①位移模式2.2.2計(jì)算方法第一步計(jì)算初始地應(yīng)力場(chǎng)；2.15其中：②幾何方程其中：其中：②幾何方程其中：16（i=1、2、3、4）根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：（i=1、2、3、4）根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：17得：其中：得：其中：18③本構(gòu)方程其中：③本構(gòu)方程其中：19④單元?jiǎng)菽芊治鯽單元應(yīng)變能④單元?jiǎng)菽芊治鯽單元應(yīng)變能20令則b體積力勢(shì)能設(shè)體積力則體積力勢(shì)能為：令則b體積力勢(shì)能設(shè)體積力則體積力勢(shì)能為：21c表面力勢(shì)能設(shè)面力則面力勢(shì)能為：c表面力勢(shì)能設(shè)面力則面力勢(shì)能為：22d集中力勢(shì)能設(shè)集中力則集中力勢(shì)能為：d集中力勢(shì)能設(shè)集中力則集中力勢(shì)能為：23e單元總勢(shì)能將所有單元?jiǎng)菽墀B加得系統(tǒng)總勢(shì)能根據(jù)最小勢(shì)能原理，真實(shí)解應(yīng)使系統(tǒng)勢(shì)能最小e單元總勢(shì)能將所有單元?jiǎng)菽墀B加得系統(tǒng)總勢(shì)能根據(jù)最小勢(shì)能原24即由此得系統(tǒng)總平衡方程引入位移邊界條件，得最終求解方程：即由此得系統(tǒng)總平衡方程引入位移邊界條件，得最終求25巖石力學(xué)反分析1緒論2有限元法正分析簡(jiǎn)要3線彈性位移反分析巖石力學(xué)反分析1緒論263線彈性位移反分析3.1反分析基本公式以隧道開(kāi)挖平面應(yīng)變問(wèn)題為例。設(shè)開(kāi)挖邊界上的初始地應(yīng)力為：將該初始地應(yīng)力轉(zhuǎn)化開(kāi)挖邊界上的等效節(jié)點(diǎn)力：或?qū)懗桑?線彈性位移反分析3.1反分析基本公式以隧道27在整個(gè)求解域上：根據(jù)有限元求解基本方程：令：則：假定量測(cè)點(diǎn)與有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)重合，則可把節(jié)點(diǎn)位移分成已知和待求量部分：在整個(gè)求解域上：根據(jù)有限元求解基本方程：28相應(yīng)的平衡方程寫(xiě)為：將未知位移消去：其中：相應(yīng)的平衡方程寫(xiě)為：將未知位移消去：29上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為：其中：因?yàn)闇y(cè)量都是兩點(diǎn)相對(duì)位移，絕對(duì)位移與相對(duì)位移之間轉(zhuǎn)化關(guān)系：上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為：其中：因?yàn)闇y(cè)量都30巖石力學(xué)反分析課件31巖石力學(xué)反分析課件32[T]為轉(zhuǎn)換矩陣：則：其中上式中待求量為3個(gè)，若量測(cè)值剛好為3個(gè)，則可從上式中求出唯一的。若大于3個(gè)，則的最小二乘估計(jì)：[T]為轉(zhuǎn)換矩陣：則：333.2實(shí)例3.2實(shí)例34根據(jù)圍巖內(nèi)部位移求得：根據(jù)圍巖收斂變形求得：隧道埋深400m，可求得：則：根據(jù)圍巖內(nèi)部位移求得：根據(jù)圍巖收35巖石力學(xué)反分析1緒論2有限元法正分析簡(jiǎn)要3線彈性位移反分析巖石力學(xué)反分析1緒論361緒論巖石力學(xué)中的反分析最早由Kavangh（1973）、Gioda和Maier（1980）等人提出，Sakurai（1983）完成了巖體彈性模量和初始地應(yīng)力的線彈性有限元位移反分析，此后又發(fā)展了彈塑性、粘彈性、粘塑性等非線性位移反分析，并引入了誤差分析、優(yōu)化技術(shù)等一些手段，以求獲得非線性反分析中的最佳值。1.1發(fā)展歷史1緒論巖石力學(xué)中的反分析最早由371.2正分析與反分析1正分析2反分析①②1.2正分析與反分析1正分析2反分析①②38巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初始地應(yīng)力和位移量測(cè)值，求巖體物理力學(xué)參數(shù);已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)和位移量測(cè)值，求初始地應(yīng)力;已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)、初始地應(yīng)力和位移量測(cè)值，求開(kāi)挖空間最佳幾何形狀；已知初始地應(yīng)力和位移量測(cè)值，求巖體的本構(gòu)模型及模型參數(shù)，即系統(tǒng)辨識(shí)。3反分析問(wèn)題的特點(diǎn)多解性、無(wú)解性、不穩(wěn)定性。巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初391.3反分析中的幾個(gè)要素1模型模型是“原型”的一種“類似”，任何模型都不能反映出原型的一切特征。模型的表達(dá)形式可以是概念的、物理的或數(shù)學(xué)的，用數(shù)學(xué)描述形式建立的模型為數(shù)學(xué)模型。2參數(shù)和狀態(tài)參數(shù)是系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量，反映了系統(tǒng)的本質(zhì)，是不可測(cè)量的；狀態(tài)是系統(tǒng)的外部表現(xiàn)，是可以測(cè)量的。1.3反分析中的幾個(gè)要素1模型40在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變均為外部狀態(tài)變量，彈性模量、泊松比、內(nèi)粘結(jié)力等均為參數(shù)。3準(zhǔn)則函數(shù)由于模型的近似性和量測(cè)誤差的存在，在已知量和待求量之間對(duì)等的情況下，求出的結(jié)果往往不能很好地反映系統(tǒng)的本質(zhì)?？尚械姆椒ň褪窃黾右阎康臄?shù)量，求待求量的最優(yōu)值，為此需要引入一個(gè)準(zhǔn)則函數(shù)。準(zhǔn)則函數(shù)有兩類：以量測(cè)值為基礎(chǔ)的第一類準(zhǔn)則函數(shù)；以量測(cè)誤差及其統(tǒng)計(jì)特性為基礎(chǔ)的第二類準(zhǔn)則函數(shù)。常用準(zhǔn)則函數(shù)。在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變41①常規(guī)最小二乘法②高斯——馬爾可夫估計(jì)③最大似然估計(jì)④貝葉斯估計(jì)①常規(guī)最小二乘法②高斯——馬爾可夫估計(jì)③最大似然估計(jì)④421.4反分析求解方法1逆法將模型輸出表達(dá)成待求量的顯函數(shù)，與量測(cè)值構(gòu)成準(zhǔn)則函數(shù)直接求解。2正法當(dāng)模型輸出不能表達(dá)成待求量的顯函數(shù)時(shí)，先給出待求量的初值，計(jì)算出模型的輸出，與量測(cè)值一起代入準(zhǔn)則函數(shù)求出準(zhǔn)則函數(shù)值，按一定的路徑取待求量的值，可計(jì)算出一系列準(zhǔn)則函數(shù)值，使得準(zhǔn)則函數(shù)值達(dá)到最小的待求量值即為最優(yōu)值。該方法是由一系列正算過(guò)程構(gòu)成，故名正法。其適用范圍較逆法更廣。1.4反分析求解方法1逆法將模型輸出表達(dá)成待43正法中要用到最優(yōu)化方法，最常用的有模式搜索法、變量輪換法、單純形法、鮑威爾法。正法中要用到最優(yōu)化方法，最常用的有模式搜索法、變量44巖石力學(xué)反分析1緒論2有限元法正分析簡(jiǎn)要3線彈性位移反分析巖石力學(xué)反分析1緒論452.1有限單元法的基本思路將連續(xù)求解域離散為有限個(gè)、按一定方式相互連接在一起的單元組合體，在每個(gè)單元內(nèi)用一假設(shè)的位移函數(shù)來(lái)表示待求的未知位移場(chǎng)函數(shù)，而假設(shè)的位移函數(shù)用單元節(jié)點(diǎn)上的未知位移來(lái)表示，以此可導(dǎo)出單元內(nèi)以未知節(jié)點(diǎn)位移所表示的應(yīng)力、應(yīng)變，最后通過(guò)最小勢(shì)能原2有限元法正分析簡(jiǎn)要2.1有限單元法的基本思路將連續(xù)求解域離散46理導(dǎo)出單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個(gè)求解域所有節(jié)點(diǎn)平衡方程將構(gòu)成一方程組，通過(guò)求解該方程組可求得各節(jié)點(diǎn)上的位移，從而求得單元內(nèi)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變?？傊?，有限單元法就是將連續(xù)無(wú)限自由度問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍箅x散的有限自由度問(wèn)題，將偏微分方程組的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解。理導(dǎo)出單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個(gè)求解域47對(duì)求解連續(xù)體的邊值問(wèn)題，有限單元法是一種近似方法，近似的程度隨單元?jiǎng)澐旨用芏岣?，但?huì)帶來(lái)計(jì)算工作量的增加。2.2有限單元法求解的一般過(guò)程2.2.1計(jì)算模型的建立確定計(jì)算域，以工程建設(shè)影響不到的地方作為計(jì)算模型的邊界。劃分單元，靠近開(kāi)挖區(qū)域單元化分密些，遠(yuǎn)離開(kāi)挖區(qū)域單元化分疏些。單元邊長(zhǎng)盡可能相近。以平面四節(jié)點(diǎn)的等參單元為例。對(duì)求解連續(xù)體的邊值問(wèn)題，有限單元法是一種近似方48巖石力學(xué)反分析課件492.2.2計(jì)算方法第一步計(jì)算初始地應(yīng)力場(chǎng)；第二步將釋放荷載轉(zhuǎn)化成等效節(jié)點(diǎn)力施加在開(kāi)挖邊界上，計(jì)算相應(yīng)的應(yīng)力、位移；第三步將前兩步應(yīng)力疊加即為開(kāi)挖引起的應(yīng)力，第二步的位移即為開(kāi)挖引起的位移。2.2.3平面有限元法基本公式①位移模式2.2.2計(jì)算方法第一步計(jì)算初始地應(yīng)力場(chǎng)；2.50其中：②幾何方程其中：其中：②幾何方程其中：51（i=1、2、3、4）根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：（i=1、2、3、4）根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：52得：其中：得：其中：53③本構(gòu)方程其中：③本構(gòu)方程其中：54④單元?jiǎng)菽芊治鯽單元應(yīng)變能④單元?jiǎng)菽芊治鯽單元應(yīng)變能55令則b體積力勢(shì)能設(shè)體積力則體積力勢(shì)能為：令則b體積力勢(shì)能設(shè)體積力則體積力勢(shì)能為：56c表面力勢(shì)能設(shè)面力則面力勢(shì)能為：c表面力勢(shì)能設(shè)面力則面力勢(shì)能為：57d集中力勢(shì)能設(shè)集中力則集中力勢(shì)能為：d集中力勢(shì)能設(shè)集中力則集中力勢(shì)能為：58e單元總勢(shì)能將所有單元?jiǎng)菽墀B加得系統(tǒng)總勢(shì)能根據(jù)最小勢(shì)能原理，真實(shí)解應(yīng)使系統(tǒng)勢(shì)能最小e單元總勢(shì)能將所有單元?jiǎng)菽墀B加得系統(tǒng)總勢(shì)能根據(jù)最小勢(shì)能原59即由此得系統(tǒng)總平衡方程引入位移邊界條件，得最終求解方程：即由此得系統(tǒng)總平衡方程引入位移邊界條件，得最終求60巖石力學(xué)反分析1緒論2有限元法正分析簡(jiǎn)要3線彈性位移反分析巖石力學(xué)反分析1緒論613線彈性