第二章靜電場(二)大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修1大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用§2-2平行雙電軸法§2-3無限大導(dǎo)電平面的鏡像法§2-4球形導(dǎo)體面的鏡像§2-5無限大介質(zhì)交界平面的鏡像§2-6電容與電容的計(jì)算§2-7雙輸電線的電容§2-8多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容§2-9帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布§2-10虛位移法計(jì)算電場力

2大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用處理靜電問題總是根據(jù)一定條件去解泊松方程。靜電學(xué)中許多問題都涉及到有限空間區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)可以有電荷，也可以沒有電荷，但都具有確定的邊界條件?，F(xiàn)在有這樣一個(gè)問題：要使區(qū)域內(nèi)存在唯一的、合理的解，問適合泊松方程的邊界條件是什么？唯一性定理回答了這個(gè)問題。3大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修域Vi內(nèi)滿足泊松方程,并在V的邊界S上滿足給定的值?；蛟趦删鶆騾^(qū)域分界面上滿足邊值關(guān)系也就是說，在V內(nèi)存在唯一的解，它在每個(gè)均勻區(qū)5大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修如圖，設(shè)在某區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，扣除導(dǎo)體外表面內(nèi)所圍區(qū)域以后剩下的區(qū)域?yàn)閂’。設(shè)V’內(nèi)給定電介質(zhì)分布、給定自由電荷分布ρ，S上給定了二、有導(dǎo)體存在時(shí)的唯一性定理或當(dāng)有導(dǎo)體存在時(shí)，由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)我們知道，為了確定電場，所需要條件有兩種類型：一類是給定每個(gè)導(dǎo)體上的電位

；另一類是給定每個(gè)導(dǎo)體上的總自由電量Qi。6大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修對于有導(dǎo)體存在時(shí)的第二種類型的問題，可以證明，唯一性定理表述如下：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電介質(zhì)分布和自由電荷分布，給定各導(dǎo)體上的總自由電量Qi以及V的邊界S上的φ或?φ/?n值，則V’內(nèi)的電場唯一地確定。當(dāng)每個(gè)導(dǎo)體上的電位φi給定時(shí)（即給出了V’所有邊界上的φ或?φ/?n值），由唯一性定理可知，V’內(nèi)的電場唯一地被確定。7大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修在第i個(gè)導(dǎo)體上滿足總自由電荷條件：和等勢面條件：以及在V的邊界S上具有給定的φ|S或(?φ/?n)|S值。也就是說，存在唯一的解，它在導(dǎo)體以外滿足泊松方程在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關(guān)系(這里的法向指導(dǎo)體表面的外法向)常量8大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修1、如果V內(nèi)有閉合的等位面，或者有不閉合的等位面和不被電位移線穿過的曲面組成的閉合曲面，并且這個(gè)閉合曲面內(nèi)（包括閉合曲面上）的總自由電量給定，或者電位移穿出這個(gè)閉合曲面或者它外面無限貼近它的閉合曲面的通量給定，那么V內(nèi)扣除這個(gè)閉合曲面內(nèi)所圍空間后剩余區(qū)域V′內(nèi)的電場唯一地確定。2、如果V的邊界面上、內(nèi)部以及內(nèi)部的導(dǎo)體上沒有一處給定電位，那么V內(nèi)的電場強(qiáng)度唯一地確定，但電位φ不能完全確定，可以相差一個(gè)常量。補(bǔ)充說明：在上述前提條件下：10大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修三、唯一性定理的意義更重要的是它具有十分重要的實(shí)用價(jià)值。無論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程、邊值關(guān)系和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對于許多具有對稱性的問題，可以不必用繁雜的數(shù)學(xué)去求解泊松方程，而是通過提出嘗試解，然后驗(yàn)證是否滿足泊松方程、邊值關(guān)系和邊界條件。滿足即為唯一解，若不滿足，可以加以修改。

唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求電場強(qiáng)度指明了方向。12大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修因?yàn)檫@樣處理之后：1.它保持了另一側(cè)場的邊界形狀及介質(zhì)分布不變,且對另一側(cè)場而言,邊界仍為等位面。填充導(dǎo)電媒質(zhì)后,邊界上的總自由電荷量等于填充導(dǎo)電媒質(zhì)前邊界上所穿過的總電位移通量,即,亦即邊界條件沒有變化。2.它保持了另一側(cè)場的自由電荷分布不變。因而根據(jù)唯一性定理，另一側(cè)的場沒有變化。由于這一方法是沿等位面填充導(dǎo)電介質(zhì)，因而稱之為等位面法。14大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修例2-1

靜電場唯一性定理在解釋靜電屏蔽現(xiàn)象中的應(yīng)用。解在物理學(xué)中，已知靜電屏蔽現(xiàn)象：(1)接地的封閉導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場；(2)封閉導(dǎo)體殼無論是否接地，殼內(nèi)的電場都不受殼外電荷的影響。作為唯一性定理的應(yīng)用，我們來討論上述結(jié)論。圖2-6(a)表示一種情形。設(shè)封閉導(dǎo)體殼的外表面為S1，對于殼外區(qū)域而言，它是一個(gè)邊界面。無論殼內(nèi)電荷q1在數(shù)量上增減或作位置上的移動(dòng)，由于導(dǎo)體殼接地，恒有，始終沒有改變殼外區(qū)域邊界面上的邊界條件。因此在這種情況下，殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場。圖2-6例2-1圖15大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-6(b)表示第二種情形。設(shè)封閉導(dǎo)體殼的內(nèi)表面為S2，對于殼內(nèi)區(qū)域而言它是一個(gè)邊界面。首先，S2是一個(gè)等位面。其次，若在殼內(nèi)緊貼S2作一高斯面S，則有即電位移矢量

的通量為q1。因此以S2作為導(dǎo)體殼內(nèi)電場的一個(gè)邊界面，通過它的電通量僅僅決定于導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷，而與殼外的電荷分布是無關(guān)的。根據(jù)唯一性定理，當(dāng)導(dǎo)體殼內(nèi)帶電導(dǎo)體都是給定電荷量時(shí)，電位函數(shù)可以相差一個(gè)常數(shù)，但是電場強(qiáng)度是唯一確定的。它不受導(dǎo)體殼外電荷q2的影響。如果導(dǎo)體殼接地，這時(shí)甚至殼內(nèi)的電位函數(shù)也是唯一確定的?？傊?，在第二種情況下，導(dǎo)體殼內(nèi)的電場不受殼外電荷的影響。16大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修如圖2-7所示，兩平行輸電線表面電荷分布是不均勻的。為了計(jì)算它們在周圍空間激發(fā)的電場，人們找到了平行雙電軸法?！?-2平行雙電軸法平行雙電軸電場法圖2-7兩平行輸電線表面電荷分布圖2-8兩電軸外任意一點(diǎn)P的電場平行雙電軸電場是一個(gè)平行平面場，在垂直于電軸的各個(gè)平面上，場有完全相同的分布圖形。17大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修設(shè)介質(zhì)電容率為ε0的空間有兩無限長平行電軸，兩電軸所帶有的電荷線密度分別為(2-1)(2-2)由高斯定理可得兩電軸分別產(chǎn)生的電場強(qiáng)度表達(dá)式為圖2-8兩電軸外任意一點(diǎn)P的電場18大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-9平行雙電軸電場等位線的分布規(guī)律

由平面幾何可知，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比R2/R1=K(常數(shù))，則它的軌跡為圓。圓的半徑和圓心位置由K和兩個(gè)定點(diǎn)間的距離決定。圓心位置在兩定點(diǎn)連線的延長線上。K>1和K<1的圓分別包圍不同的定點(diǎn)。故在雙電軸的電場中，等位面是兩組偏心的圓柱面簇。通常稱零電位面為中性面，它對應(yīng)于K=1

。20大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修設(shè)某個(gè)等位圓的半徑為R0，等位圓圓心至中性面距離為x0，電軸至中性面的距離為D/2，則R0、x0與D三者間的關(guān)系，可通過簡單幾何關(guān)系求得。在等位圓上選擇特殊點(diǎn)A及B，令R2/R1=R2′/R1′=K(常數(shù))，則有圖2-10兩平行同半徑圓柱的等效電軸位置(2-6)(2-7)分子為R2分母為R1分子為R’2分母為R’1解得21大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-11兩平行同半徑圓柱體的幾何中心軸與等效電軸的位置具有相同半徑R0的平行雙輸電線。設(shè)每根導(dǎo)線單位長度上所帶的電荷量分別為+τ及-τ，求電場分布?？烧J(rèn)為導(dǎo)線的圓截面是沿某待求的雙電軸所形成的等位圓填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得，根據(jù)等位面法，此問題轉(zhuǎn)化為求解雙電軸的電場，而由式(2-7)，可以容易地求得雙電軸的位置。平行雙電軸法(2-8)電軸位置圓心位置圓的半徑該公式對于平行雙電軸周圍的任意一個(gè)等位圓柱面都成立。23大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修由式(2-9)及式(2-10)可求得(2-11)(2-10)(2-9)對于相互平行但半徑不同的帶電圓柱導(dǎo)體，半徑R0′與R0″以及兩圓柱體軸心距離d已知，由(2-8)得(2-12)圖2-12兩不同半徑的平行圓柱體的等效電軸的位置由x0′或x0″,可確定中性面位置。再算出D/2，可定出兩電軸的位置。另外，24大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-13兩個(gè)偏心圓柱套筒的等效電軸的位置可確定兩電軸的位置。平行電軸法在求解雙輸電線電容及偏心圓柱套筒等的電容問題中被廣泛運(yùn)用。再由由x0′或x0″,可確定中性面位置。26大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修例2-2空中兩根互相平行、無限長的導(dǎo)體圓柱上帶有等量異號電荷。設(shè)單位長度的電量τ=10-8C/m，圓柱的半徑各為R0′=15cm,R0″=20cm，兩圓柱的幾何軸線間距離為d=50cm。試求電軸的位置、零位(中性)面的位置。解對于兩半徑不等的平行導(dǎo)體圓柱，根據(jù)式(2-11)可確定中性面到半徑為R0′的圓柱面的幾何中心的距離為27大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修電軸到中性面的距離為中性面到半徑R0″的圓柱面的幾何中心的距離為負(fù)電軸到O′軸的距離為正電軸到O〞軸的距離為28大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-15地面下方h處置一鏡象電荷-q代替大地影響另一種解釋：地平面的電位為零。+q和-q在邊界面激發(fā)的電位也等于零，所以上半空間的電場不變。對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷(感應(yīng)電荷)已知為-q。設(shè)想將無限大地平面撤去，而將下半場域亦充以電容率為ε0的媒質(zhì)，且以地平面為鏡面，在電荷q的鏡像位置，放置一點(diǎn)電荷-q。對于上半場域，其內(nèi)部未作任何變更，邊界條件也沒有改變。所以這樣做不會改變上半空間的電場。30大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-16大地對點(diǎn)電荷電場的影響也可用等位面法分析：填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，電荷-q即轉(zhuǎn)移至無限大地平面上，根據(jù)等位面法，上半域的電場仍保持不變，即上半域的電場完全可以作為兩點(diǎn)電荷電場進(jìn)行求解。導(dǎo)電平面鏡像問題的特點(diǎn)：鏡像電荷必在被研究場域邊界外，所處位置與場源電荷以平面對稱。鏡像電荷的電量與邊界面原有總電荷量相等，與場源電荷量絕對值相等、符號相反，而被研究場域邊界電位值為零。圖2-17用鏡像電荷代替大地的影響31大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修無限大導(dǎo)電平面鏡像法的應(yīng)用應(yīng)用(1)：圖2-18夾角為直角的兩相聯(lián)導(dǎo)電平面的鏡像(a)直角區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)電荷；(b)圖(a)的鏡像電荷應(yīng)用（2）：圖2-19夾角為α的兩相聯(lián)無限大導(dǎo)電平面的鏡像(a)特殊角(2π/α偶數(shù))區(qū)域的點(diǎn)電荷；(b)圖(a)的鏡像電荷32大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修應(yīng)用（3）：圖2-20長直圓柱導(dǎo)體對導(dǎo)電平面的鏡像(a)大地上方h處平行放置長直圓柱導(dǎo)體；(b)圖(a)的鏡像此時(shí)要求2π/α＝偶數(shù)，否則無法將整個(gè)空間劃分為同一大小的均勻區(qū)域，從而不能保證被研究場域的邊界電位值為零。33大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修例2-3

帶電的云與地面之間形成一均勻向下的電場E0，如圖所示。由于大氣電場的影響將導(dǎo)致高度為l處的高壓輸電線A的電位升高。若在A的上方又架設(shè)有架空地線G，半徑為r0，G是經(jīng)過支架接地的，則在架空地線G上感應(yīng)出負(fù)電荷，地面上感應(yīng)出正電荷。將這些感應(yīng)電荷的電場疊加到大氣電場以后可以降低A處的電位。工程上采用這種方法使得高壓輸電線免受雷擊，試求由于架空地線的屏蔽作用而導(dǎo)致A處電位的變化。圖2-21例2-3圖34大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修解設(shè)架空地線單位長度上的感應(yīng)負(fù)電荷為-τ。地面上的感應(yīng)正電荷可視為-τ感應(yīng)所致，它在大氣中產(chǎn)生的電場可以用-τ的鏡象電荷+τ來代替，如圖所示。因?yàn)榧芸盏鼐€的半徑r0較之它與鏡象之間的距離2h小得多，可以認(rèn)為電軸與幾何軸線重合，根據(jù)式(2-5)，架空地線的電位為故得因?yàn)榻拥兀栽诖髿怆妶鲋屑芸盏鼐€的電位為35大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修因此，高壓輸電線A處的電位由原來的降低為架空地線的重要作用，是使其自身表面造成很大的場強(qiáng)，其值可達(dá)大氣電場場強(qiáng)的幾十倍至幾百倍，因此當(dāng)大氣的場強(qiáng)很高發(fā)生雷電時(shí)，可以引導(dǎo)輸電線附近的閃電偏向于架空地線，從而保護(hù)高壓輸電線免受直接的雷擊。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相對值為36大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修§2-4球形導(dǎo)體面的鏡像

點(diǎn)電荷q的電場中，置有一半徑為R的接地導(dǎo)體球(其電位為零)，球心至點(diǎn)電荷的距離為d。求球外空間的電場分布：如果在點(diǎn)電荷的電場中，引入一中性導(dǎo)體球后，球面兩側(cè)將分別出現(xiàn)等量而異號的感應(yīng)電荷+q′與-q′。球面感生的負(fù)電荷(或正電荷)，其數(shù)值必較電荷q為小，即q>q′。接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡像圖2-22接地導(dǎo)體球鄰近點(diǎn)電荷時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電荷37大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-23接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡像若此時(shí)將球與地聯(lián)接，則球面所感應(yīng)的正電荷將受電場力的作用而流入地中，球體凈剩分布于其表面的感應(yīng)負(fù)電荷，球面電位為零。按鏡象法原理將導(dǎo)體球撤去，使整個(gè)空間充以電容率為ε0的同一媒質(zhì)，并在距球心b處，置一虛擬的集中鏡象電荷-q′，來代替球面分布電荷的作用。若此時(shí)仍能保持球面的電位為零，則球面以外的電場，可視為點(diǎn)電荷q及-q′所共同產(chǎn)生的電場，運(yùn)用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式及疊加原理，即可求解。38大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-15)設(shè)球面電位為零，因而在截取的平面上，對于以R為半徑的圓周上的任意點(diǎn)P，其電位表達(dá)式為

R2及R1分別為點(diǎn)P至點(diǎn)電荷-q′及q的距離。由于點(diǎn)電荷q為確定值，q′亦必為確定值，故有

在圓上選取兩特殊點(diǎn)C及D(常數(shù))(2-16)(2-18)

(2-17)解上式得b=R2/d39大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-19)可以驗(yàn)證在點(diǎn)電荷q和-q′的共同作用下，原導(dǎo)體球面上任一動(dòng)點(diǎn)P處的電位為零。這樣在求得q′與b值之后，就可解決求解導(dǎo)體球外部電場的問題。分析：（1）當(dāng)距離d一定時(shí)導(dǎo)體球半徑R愈大則鏡象電荷q′亦愈大。這是因?yàn)榘霃接髸r(shí)，球面愈大，它離點(diǎn)電荷q愈近，所受電場力愈大，因而球面上感應(yīng)電荷亦愈多。同理，當(dāng)R一定時(shí)d愈大，球面離點(diǎn)電荷距離愈遠(yuǎn)，球面所受電場力亦愈小，故球面感應(yīng)電荷愈小。由式(2-16)進(jìn)一步可得40大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修（2）當(dāng)導(dǎo)體球半徑愈大時(shí)，靠近點(diǎn)電荷q一側(cè)的導(dǎo)體球面其所感應(yīng)的電荷愈密集，因而與球面感應(yīng)電荷相等效的鏡象電荷q′的位置將愈靠近點(diǎn)電荷q之一側(cè)，亦即b愈大；當(dāng)點(diǎn)電荷q遠(yuǎn)離導(dǎo)體球時(shí)，球面感應(yīng)電荷的密集程度減少，整個(gè)球面上感應(yīng)電荷面密度愈來愈均勻，因而鏡象電荷將愈靠近導(dǎo)體球心，即b隨距離d的增大而減小。（3）若運(yùn)用等位面法考慮上述問題時(shí)，可以認(rèn)為圖2-22乃是圖2-23沿等位球面填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得。當(dāng)沿等位球面填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，電荷q′即轉(zhuǎn)移至導(dǎo)體球表面，此時(shí)導(dǎo)體球外側(cè)的電場仍保持不變，亦即球外的電場，可以視為兩點(diǎn)電荷(-q′及q)的電場進(jìn)行求解。b=R2/d

41大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修不接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡像若引入點(diǎn)電荷場中的導(dǎo)體球不接地，可知導(dǎo)體表面的邊界條件:ⅰ)球面為等位面；ⅱ)因?qū)w球原不帶電，引入電場后，其所感應(yīng)的正電荷量與負(fù)電荷量相等，故球面總電荷量為零。若在前面所討論的基礎(chǔ)上，于球心O處放置一點(diǎn)電荷q′，則能滿足上述的邊界條件。這樣導(dǎo)體球外的電場，即可看為由點(diǎn)電荷q、q′及-q′三者所共同激發(fā)的電場。圖2-24不接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡像42大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修例2-4空氣中有一內(nèi)外半徑分別為R11和R22的導(dǎo)體球殼原不帶電，其內(nèi)腔介質(zhì)為ε0，若于殼內(nèi)距球心為b處放置點(diǎn)電荷q，求球殼內(nèi)外的電場強(qiáng)度和電位。解點(diǎn)電荷q在球殼的內(nèi)、外表面上感應(yīng)電荷分別為-q和q?？梢宰C明球殼外表面的電荷q是均勻分布的。殼外的電場完全由這些均勻分布的感應(yīng)電荷所激發(fā)，因此得到殼外的電場強(qiáng)度圖2-25例2-4圖外43大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修電位為(R≥R22)，其中R為球心到場點(diǎn)的距離，為單位矢量。球殼內(nèi)表面作不均勻分布的感應(yīng)電荷-q和點(diǎn)電荷q只在球殼內(nèi)部激發(fā)電場，殼內(nèi)的電場使得半徑為R11的內(nèi)球面為等位面和從空腔進(jìn)入內(nèi)球面的電位移的通量為q。仿照求解導(dǎo)體球外電場時(shí)在球內(nèi)設(shè)置鏡象電荷的方法求解球面內(nèi)的電場，在內(nèi)球面外設(shè)置鏡象電荷-q′，如圖(b)所示。外44大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修由式(2-18)、式(2-19)，令則點(diǎn)電荷-q′和q使得半徑為R11的球面電位為零，滿足等位面的要求，并且沒有改變進(jìn)入內(nèi)球面的電位移的通量。所以球面外鏡象電荷-q′可以代替分布的感應(yīng)電荷，它們在球面內(nèi)任一點(diǎn)P所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為內(nèi)45大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修式中，R1、R2分別是點(diǎn)電荷q、-q′到場點(diǎn)P的距離，

為相應(yīng)的單位矢徑。球內(nèi)點(diǎn)P處的電位應(yīng)由此兩點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位，及導(dǎo)體球殼電位疊加而成。內(nèi)46大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修§2-5無限大介質(zhì)交界平面的鏡像設(shè)有電容率分別為ε1及ε2的媒質(zhì)區(qū)域，區(qū)域交界處為無限大平面，若在媒質(zhì)ε1中，離界面高度h處，置一點(diǎn)電荷q，欲求此時(shí)上、下半無限大場域的電場。求解上半場域時(shí)，將下半場域媒質(zhì)，換成電容率為ε1的媒質(zhì)，且在邊界外點(diǎn)電荷q的鏡像位置處，放置一未知點(diǎn)電荷q′，以期代替交界面上的束縛電荷對上半空間的影響。圖2-26介質(zhì)交界面外的點(diǎn)電荷圖2-27交界面上束縛電荷用鏡像電荷q′來代替47大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修求解下半場域時(shí)，將上半場域的媒質(zhì)換成電容率為ε2的媒質(zhì)，在邊界外點(diǎn)電荷q處，置換一未知鏡像點(diǎn)電荷q″，以期代替q和交界面上的束縛電荷對下半空間的影響。圖2-28交界面上的束縛電荷和原電荷用q″來代替圖2-26介質(zhì)交界面外的點(diǎn)電荷并考慮到無限遠(yuǎn)電位為零的條件()，就能運(yùn)用點(diǎn)電荷公式，求得緊貼交界面的任意點(diǎn)處的場量。對于（圖2-27）媒質(zhì)ε1中緊貼界面的點(diǎn)P有48大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-20)(2-21)對于圖2-28媒質(zhì)電容率為ε2中的緊貼界面的點(diǎn)P′有(2-22)(2-23)根據(jù)邊值關(guān)系：得(2-24)(2-25)49大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修聯(lián)立求解式(2-24)和式(2-25)得(2-27)圖2-28交界面上的束縛電荷和原電荷q用q″來代替圖2-27交界面上束縛電荷用鏡像電荷q′來代替圖2-29介質(zhì)交界面上的極化電荷(2-26)50大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修從上兩式可以求出鏡像電荷，且有唯一確定的值，可分別用來求解上半場域與下半場域的電場φ。容易理解，此解φ在上半空間和下半空間都滿足泊松方程，在無限遠(yuǎn)處滿足邊界條件,在分界面處滿足邊值關(guān)系，。根據(jù)唯一性定理，在邊界面上只要有一處給出了電位φ，那么同時(shí)滿足泊松方程、邊值關(guān)系和邊界條件的函數(shù)φ=φ(x,y,z)就是唯一正確的解,而不用管我們是通過何種方式構(gòu)造出這個(gè)函數(shù)的。所以我們通過上述方法得出的φ=φ(x,y,z)就是唯一正確的解。51大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-30平行于介質(zhì)交界面的線分布電荷圖2-31線分布電荷在兩種不同介質(zhì)中的電場當(dāng)ε1＝ε2時(shí)，q′=0，q″=q，整場域變?yōu)榫鶆蛎劫|(zhì)場域，束縛電荷將不復(fù)存在。如圖例2-30所示無限大介質(zhì)平面上，置有一帶電長直導(dǎo)線的電場，即可運(yùn)用上述方法求解。52大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修解比照點(diǎn)電荷對無限大介質(zhì)分界平面的鏡象，將式(2-27)推廣到線電荷的情形。由于R<<h

，可將導(dǎo)線表面電荷視為集中到幾何軸線上的線電荷。求水中電場時(shí)，將上半空間的媒質(zhì)換為80ε0，而導(dǎo)線的電荷τ連同交界面上分布的極化電荷可等效為τ〞。圖2-32例2-5圖例2-5離河面高度為h處，有一輸電線經(jīng)過，導(dǎo)線單位長度的電荷量τ，且導(dǎo)線半徑R<<h。設(shè)河水的電容率為80ε0，求水中的電場強(qiáng)度。水很深，且P點(diǎn)到水面的距離遠(yuǎn)小于水的深度。53大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修故水中任一點(diǎn)P(x，y)的電場強(qiáng)度54大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2)孤立導(dǎo)體電容的定義：當(dāng)空間僅存有一孤立導(dǎo)體時(shí)，可設(shè)另一導(dǎo)體在無限遠(yuǎn)處，因而孤立導(dǎo)體的電容即是導(dǎo)體所帶的電量與其電位之比。即

電容(1)雙導(dǎo)體電容的定義：設(shè)空間僅有兩導(dǎo)體，若兩導(dǎo)體分別帶有等值而異號的電荷，此電荷的量值q與兩導(dǎo)體間電壓U之比，定義為兩導(dǎo)體間的電容，通常以C表示

(2-28)(2-29)§2-6電容與電容的計(jì)算55大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修式中：R為孤立導(dǎo)體球的半徑；ε0為空間媒質(zhì)的電容率。在國際單位制中電容的單位為法拉(F)。1F是一個(gè)非常大的量。由孤立圓球的電容計(jì)算得，地球的電容量等于萬分之七F。實(shí)用中常采用微法(10-6F或表為μF)或皮法(10-12F或表為pF)。

在線性媒質(zhì)中，兩導(dǎo)體間的電容僅決定于兩導(dǎo)體本身幾何尺寸、相互位置和空間媒質(zhì)的電容率的量，而與兩導(dǎo)體所帶的電量以及兩導(dǎo)體間電壓的數(shù)值無關(guān)。孤立導(dǎo)體球的電容計(jì)算公式(2-30)可看到上述特征。(2-30)56大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修電容的求解方法從電容的定義式可知，欲求兩導(dǎo)體間電容，可先賦予兩導(dǎo)體以等值而異號的電量±q，再求在其作用下，兩導(dǎo)體間的電壓U，然后按定義式(2-28)即可求得兩導(dǎo)體間電容C。此時(shí)兩導(dǎo)體間電壓可通過積分式求得。(2-31)根據(jù)電容的定義式，也可先賦予兩導(dǎo)體以電壓U，再求在此情況下，每導(dǎo)體所具有的電量q，同樣按式(2-28)求得兩導(dǎo)體間電容C。每導(dǎo)體所具有的電量，可通過積分式求得。(2-32)57大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修即，那么滿足要求的球形電容器的半徑比R2/R1≥101。例2-6球形電容器的內(nèi)球殼外半徑為R1，外球殼的內(nèi)半徑為R2,介質(zhì)的電容率為ε0。要使得這一電容器的電容與空氣中半徑為R1的孤立導(dǎo)體球的電容之差不超過后者的1%，試確定球形電容器的內(nèi)外半徑比(R2/R1)。解設(shè)球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體球的電荷為q，則電容器中的電場強(qiáng)度為(R1<R<R2)內(nèi)外球之間的電壓為根據(jù)電容的定義，在式中令R2→∞，得到半徑為R1的孤立導(dǎo)體球的電容要使得58大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-33)(2-34)根據(jù)以上兩式可得圓柱形電容器內(nèi)外圓筒間電壓為雙層媒質(zhì)圓柱形電容器的電容設(shè)有內(nèi)外半徑分別為R1、R3的同軸圓柱形電容器，其中配置有電容率分別為ε1及ε2的雙層媒質(zhì)，媒質(zhì)分界面半徑為R2。若分別給定內(nèi)外圓筒單位長度上的正、負(fù)電量±τ后，因?yàn)?/p>

線必須連續(xù)，而且由于電荷在柱面上分布均勻，故

線的分布應(yīng)該仍然是徑向?qū)ΨQ的，這樣由高斯定理可得兩媒質(zhì)中任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度表達(dá)式分別為59大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-38)按電容定義，得單位長度雙層媒質(zhì)圓柱形電容器的電容為顯然上式右端第一、第二項(xiàng)分別為媒質(zhì)ε1及ε2所承受的電壓，即圖2-33填充兩層不同媒質(zhì)的圓柱形電容器圖2-34雙層不同媒質(zhì)的圓柱形電容器內(nèi)的電場60大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修從圖2-34觀察可以認(rèn)為，雙層媒質(zhì)圓柱形電容器，可視為兩個(gè)單一媒質(zhì)圓柱形電容器串聯(lián)而成。圖2-33填充兩層不同媒質(zhì)的圓柱形電容器圖2-34雙層不同媒質(zhì)的圓柱形電容器內(nèi)的電場取長度為l的一段，設(shè)其電容為C，那么61大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修如果希望兩處場強(qiáng)最大值相等，則應(yīng)有由于R1＜R2，因而應(yīng)使內(nèi)層絕緣媒質(zhì)的電容率較大，而外層絕緣媒質(zhì)的電容率較小，這樣每一絕緣層所承受的電壓將比較均勻，而且絕緣材料也使用得最為有效。高壓電纜與高壓套管的有關(guān)設(shè)計(jì)中都采用這一原理。(2-39)研究一下雙層媒質(zhì)圓柱形電容器的電場是很有意義的。從式(2-33)、(2-34)可以看出，電容率為ε1的媒質(zhì)中，最大電場強(qiáng)度在導(dǎo)體表面處。電容率ε2的媒質(zhì)中，最大電場強(qiáng)度在兩媒質(zhì)交界處，它們分別為62大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-35兩平行輸電線圖2-36兩平行輸電線的等效電軸§2-7雙輸電線的電容

本節(jié)首先研究在不考慮地面影響（即忽略大地的鏡像效應(yīng)）的情況下雙輸電線之間的電容。求解兩導(dǎo)體間的電容實(shí)際上主要是求解兩導(dǎo)體的電場問題。對于雙輸電線電場的求解，前面已經(jīng)有了定量的結(jié)果。設(shè)有半徑為R0的兩平行輸電線A與B，其間距離為d(見圖2-35)。63大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修給定兩輸電線電荷的線密度分別為+τ及-τ。若兩線間距離遠(yuǎn)大于導(dǎo)線半徑，在忽略電荷沿導(dǎo)線表面圓周分布不均勻的情況下，可視導(dǎo)線的幾何中心軸與導(dǎo)線的等效電軸重合。則可得導(dǎo)線A與B表面處點(diǎn)1及點(diǎn)2的電位為參考：雙電軸的電位公式64大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修故得兩導(dǎo)線間電壓(2-43)(2-44)按電容的定義，可得單位長度兩導(dǎo)線間的電容65大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-45)因，上式還可簡化為當(dāng)軸線間的距離不遠(yuǎn)大于圓柱半徑時(shí)，兩平行圓柱導(dǎo)體間的電容(圖2-36)，可仿上述方法求得，有參考：雙電軸的電位公式66大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修按電容的定義，則單位長度兩圓柱導(dǎo)體間電容兩柱體間電壓其中電軸偏離圓柱軸線的距離b可通過式(2-8)的關(guān)系進(jìn)一步求出。67大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-37例2-7圖例2-7兩根平行細(xì)長導(dǎo)線位于與地面平行的平面內(nèi)，導(dǎo)線半徑為R0，軸線間距離為d。當(dāng)導(dǎo)線至地面的高度不低于多大值時(shí)，忽略地面的影響，導(dǎo)線電容計(jì)算值的誤差才不致超過1%。解圖示A、B為兩細(xì)長導(dǎo)線，令單位長度上分別帶電荷+τ，-τ

下面研究在考慮地面影響的情況下細(xì)的雙輸電線之間的電容。電線細(xì)的意思是導(dǎo)線半徑遠(yuǎn)小于導(dǎo)線之間的距離，也遠(yuǎn)小于導(dǎo)線到地面的距離。68大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修因?qū)Ь€很細(xì)，可視導(dǎo)線的幾何軸與電軸重合，故得導(dǎo)體A、B的電位分別為先求兩者之間的電壓。考慮地面的影響，則對應(yīng)地設(shè)置鏡像A′的電荷為-τ，鏡像B′的電荷為+τ。由式(2-5)，任一點(diǎn)P的電位為69大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修故得兩導(dǎo)線間電壓為按電容的定義，可得考慮地面影響時(shí)單位長度兩導(dǎo)線間的電容為70大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修對于導(dǎo)線間距d=1m，導(dǎo)線的半徑R0＝4mm時(shí)，算得h≥1.46m。代入C0和C0′可求得導(dǎo)線距地面高度h必須滿足若要求兩種情況下，電容值的誤差不超過1%，即同式(2-45)比較，可見考慮地面影響時(shí)，導(dǎo)線間電容C0′>C0，在上式中，令h→∞，同樣可以得到忽略地面影響的電容計(jì)算式(2-45)。(2-45)71大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修部分電容的概念在實(shí)際問題中常常要遇到帶電的多導(dǎo)體系統(tǒng)(如三芯電纜)，此時(shí)每兩帶電導(dǎo)體間均有所謂部分電容存在。圖2-39繪出了外殼接地的三芯電纜的部分電容情況，其中C11、C22、C33分別為導(dǎo)體1、2、3對地的自部分電容。C12為導(dǎo)體1、2間的互部分電容,C23為導(dǎo)體2、3間的互部分電容，而C31則為導(dǎo)體3、1間的互部分電容?！?-8多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容圖2-38三芯電纜圖2-39三芯電纜的部分電容示意圖72大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修大地影響的雙輸電線系統(tǒng)及三相輸電系統(tǒng)也都是一個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)。前者的互部分電容和自部分電容表示在圖2-40中。圖2-41中繪出了考慮大地影響時(shí)，三相輸電線的部分電容情形。在帶電的多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體的電位與所有帶電導(dǎo)體的電荷都是相關(guān)的。圖2-41三相輸電線的部分電容圖2-40雙輸電線部分電容73大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修設(shè)在電容率為ε的線性媒質(zhì)空間有三個(gè)導(dǎo)體，當(dāng)給定導(dǎo)體1電荷量為q1，其它導(dǎo)體不給電荷時(shí)，2、3導(dǎo)體將僅有感應(yīng)電荷。雖然此時(shí)每導(dǎo)體表面電荷密度不為零，但2、3每一導(dǎo)體的總電荷應(yīng)為零。如果將導(dǎo)體1上的電荷量由q1增加至Ｋq1，則導(dǎo)體1上各處的電荷密度，均將同時(shí)增加至K倍。這是因?yàn)閷?dǎo)體所帶的總電荷量與其表面電荷密度間存在著線性關(guān)系。多導(dǎo)體系統(tǒng)中導(dǎo)體電荷與電位的線性關(guān)系圖2-42給定導(dǎo)體1的電荷量在導(dǎo)體2、3上感應(yīng)的電荷圖2-43感應(yīng)電荷量與引起感應(yīng)的電荷成比例74大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修

顯然，此時(shí)由導(dǎo)體1所發(fā)出的電力線，其密度亦將在原有基礎(chǔ)上增加至K倍，2、3導(dǎo)體上每一導(dǎo)體處感應(yīng)電荷的面密度亦將同時(shí)增加至K倍。由面分布電荷電位計(jì)算式(1-8)，并運(yùn)用疊加原理可知：場中所有電荷分布處，當(dāng)各點(diǎn)電荷面密度同時(shí)增加至K倍時(shí)，場中所有點(diǎn)的電位(包括導(dǎo)體表面點(diǎn))亦增加至K倍。這就說明：其它導(dǎo)體所帶電荷量為零時(shí)，當(dāng)導(dǎo)體1的電荷(或電位)增加至K倍時(shí)，場中所有點(diǎn)的電位(或電荷)亦將增加至K倍。更一般的說法是：在線性媒質(zhì)空間的多導(dǎo)體系統(tǒng)中，場中所有點(diǎn)(包括導(dǎo)體表面點(diǎn))的電位，與每一導(dǎo)體的電荷量間具有線性關(guān)系。75大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修多導(dǎo)體系統(tǒng)中的電位系數(shù)設(shè)在電容率為ε的線性媒質(zhì)空間有1、2、3三個(gè)導(dǎo)體，若給導(dǎo)體1以電荷q1，而第2、3兩導(dǎo)體不給電荷(其上有感應(yīng)電荷，每導(dǎo)體總電荷量為零)，則根據(jù)電位與電荷的線性關(guān)系，場中點(diǎn)A的電位式中：

為導(dǎo)體1對點(diǎn)A的電位系數(shù)，電位系數(shù)的單位為伏特每庫侖(V/C)。同理當(dāng)導(dǎo)體2、3分別帶有電荷q2、q3時(shí)其在空間點(diǎn)A所產(chǎn)生的電位為式中：

、

分別為導(dǎo)體2及導(dǎo)體3對點(diǎn)A的電位系數(shù)。(2-50)根據(jù)疊加原理，此時(shí)場中點(diǎn)A的電位76大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修如將所觀察的點(diǎn)A，分別選取在導(dǎo)體1、2、3上，則得三導(dǎo)體的電位

方程表明：線性媒質(zhì)空間中各導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體電荷間的線性關(guān)系。具有相同下標(biāo)的電位系數(shù)稱之為導(dǎo)體的自電位系數(shù)，具有不同下標(biāo)的電位系數(shù)、、、、、則稱之為兩導(dǎo)體的互電位系數(shù)，它們都具有明顯的物理意義。（2-54）77大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修

——僅給導(dǎo)體1以單位電荷時(shí)導(dǎo)體1本身所具有的電位數(shù)值。此時(shí)若以無限遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn)，則當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為正時(shí)，其自身的電位應(yīng)為正，因而為正。若當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為負(fù)時(shí)，其自身的電位亦應(yīng)為負(fù)，因而比例常數(shù)仍為正，故知自電位系數(shù)恒為正。、同理。

——僅給導(dǎo)體1以單位電荷時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電位數(shù)值。當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為正時(shí)，導(dǎo)體2所具有的電位為正，當(dāng)導(dǎo)體上1所給電荷為負(fù)時(shí)，導(dǎo)體2所具有的電位亦為負(fù)，故互電位系數(shù)亦恒為正。同理可以推及其它具有不同下標(biāo)電位系數(shù)的物理意義，及其恒為正的屬性。78大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-44導(dǎo)體1給定正電荷時(shí)的電位梯度方向圖2-45導(dǎo)體1給定負(fù)電荷時(shí)的電位梯度方向

無論是自電位系數(shù)或互電位系數(shù)，它們的數(shù)值將決定于每一導(dǎo)體的幾何形狀、導(dǎo)體與導(dǎo)體間的相互位置以及空間媒質(zhì)電容率。無論是空間媒質(zhì)的改變，或是任一導(dǎo)體的形狀與位置的改變，都將影響所有電位系數(shù)的數(shù)值。79大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-55)多導(dǎo)體系統(tǒng)的靜電感應(yīng)系數(shù)在實(shí)際問題中，常常已知多導(dǎo)體系統(tǒng)中各導(dǎo)體的電位，此時(shí)如果要求各導(dǎo)體的電荷，則可對式(2-54)所示諸方程進(jìn)行求解。式中(2-56)表示把行列式中的i行j列劃掉后剩下的行列式。80大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-57)其中β11、β22、β33稱為導(dǎo)體的自靜電感應(yīng)系數(shù)，β12、β13、β21、β23、β31、β32則為導(dǎo)體間的互靜電感應(yīng)系數(shù)，單位為庫侖每伏特(C/V)。(2-58)(2-57)可以改寫成81大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修

β11——僅給導(dǎo)體1以單位電位其余導(dǎo)體聯(lián)接并接地時(shí)，導(dǎo)體1上所具有的電荷值。當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為正時(shí)，其上電荷亦為正，β11應(yīng)為正。當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為負(fù)時(shí)，其上電荷亦為負(fù)，因而β11仍應(yīng)為正，故β11恒為正。

β21——僅給導(dǎo)體1以單位電位，其余導(dǎo)體聯(lián)接并接地時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電荷值。當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為正時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電荷為負(fù)，故β21為負(fù)。所給導(dǎo)體1的電位為負(fù)時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電荷為正，β21仍應(yīng)為負(fù)，故β21恒為負(fù)。按照同樣的方法，可推及其它自靜電感應(yīng)系數(shù)及互靜電感應(yīng)系數(shù)的正負(fù)屬性。82大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修如果互電位系數(shù)具有互換性質(zhì)的話，則互靜電感應(yīng)系數(shù)亦具有互換性質(zhì)，即β12=β21,β13=β31,β23=β32。當(dāng)所有靜電感應(yīng)系數(shù)，以及導(dǎo)體的電位已知時(shí)，由式(2-57)可求得各導(dǎo)體上的電荷。圖2-46導(dǎo)體1給定對地正電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷圖2-47導(dǎo)體1給定對地負(fù)電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷83大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修（2-62）(2-61)(2-60)(2-59)將以上三式代入式(2-57)中，并稍整理得多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容在工程實(shí)際問題中，多數(shù)情況下已知的是導(dǎo)體間電壓，因而有必要對式(2-57)進(jìn)行改寫。若令地(或某一導(dǎo)體、或無限遠(yuǎn)處)為參考導(dǎo)體，電位為零，則有84大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修（2-64）若令（2-63）（2-65）則由式(2-62)得85大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修

C11、C22、C33——導(dǎo)體的自部分電容，即各導(dǎo)體與參考導(dǎo)體間的部分電容；

C12、C13、C23、C31、C32——相應(yīng)兩導(dǎo)體間的互部分電容，單位法拉(F)。

C11——僅給導(dǎo)體1與地之間施以一單位電壓，而其它導(dǎo)體均與導(dǎo)體1相接時(shí)，導(dǎo)體1所具有的正電荷量，C11恒為正。

C12——除導(dǎo)體2外，包括導(dǎo)體1在內(nèi)的其余所有導(dǎo)體相聯(lián)并接地，再于導(dǎo)體1、2之間施以單位電壓(即U12＝1V)時(shí)，導(dǎo)體1上所具有的正電荷量，C12為正，當(dāng)所施電壓U12為負(fù)時(shí)，導(dǎo)體1上的電荷亦同時(shí)為負(fù)，而C12仍為正。故C12亦恒為正。同理可以推及其它自部分電容與互部分電容的物理意義及其均恒為正值的屬性。86大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修注意：上述關(guān)系中，電位系數(shù)、靜電感應(yīng)系數(shù)與部分電容，均只決定于體的幾何形狀與它們間相互位置以及空間媒質(zhì)的電容率，而與導(dǎo)體間電壓和導(dǎo)體所帶電壓量關(guān)。(2-66)按式(2-65)，作等效電容電路圖：自部分電容C11就是導(dǎo)體與地(參考導(dǎo)體)之間所具有的那一部分電容，自部分電容C11在整個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)中所擁有的電荷量，亦只是導(dǎo)體1所具有的總電荷q1中與地相關(guān)聯(lián)的那一部分電荷量q10；而互部分電容C12即是導(dǎo)體1、2之間所具有的那一部分電容，互部分電容C12在整個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)中所擁有的電荷量，亦只是導(dǎo)體1所具有的總電荷q1中，與導(dǎo)體2相關(guān)聯(lián)的那一部分電荷量q12?？梢宰C明，互電位系數(shù)、互靜電感應(yīng)系數(shù)和互部分電容的雙下標(biāo)均可以互換，即87大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修在引入部分電容概念之后，可以將帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場問題，等效為形象化的靜電電容電路問題來進(jìn)行求解。

靜電電路基爾霍夫第一定律為：聯(lián)結(jié)于任一節(jié)點(diǎn)的各電容器極板電量的代數(shù)和恒等于聯(lián)結(jié)這些極板之初所帶電量的代數(shù)和，即Σq=Σq0；靜電電路基爾霍夫第二定律為：沿某閉合回路，各支路電壓的代數(shù)和恒為零，即ΣU=0。部分電容可借助于電壓表及沖擊檢流計(jì)測得。88大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-48導(dǎo)體1、2、3并聯(lián)，對地接1V電源圖2-49導(dǎo)體1、3并聯(lián)接地對導(dǎo)體2加1V電源圖2-50三導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容89大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-51導(dǎo)體1對地總電容示意圖2-52導(dǎo)體1、2間總電容示意90大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修三相輸電線的一相工作電容在實(shí)際工作中，對于三相輸電線路或三相電力電纜，往往要計(jì)算其單位長度上的一相工作電容，其定義為

（2-67）式中：τ為一相導(dǎo)線或一相(電纜)芯線單位長度上的電荷量；φ為一相導(dǎo)線或一相芯線的電位。各相芯線位置對稱，故有C11＝C22＝C33=Ckk，C12=C23=C31=Cij，求每相單位長度上的工作電容。圖2-54(a)、(b)、(c)可以看出，三芯電纜每相單位長度的工作電容CP＝Ckk+3Cij。在求解一相導(dǎo)線單位長度的工作電容時(shí)，必須首先求解系統(tǒng)的部分電容，必須從求解電位系數(shù)入手，最終歸結(jié)為求解電場問題。91大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-53三芯電纜部分電容圖2-54三芯電纜三相電容示意3從三角連接到星形連接的變換92大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-55例2-8圖例2-8為了測定對稱的三芯電纜的各部分電容，將三根纜芯聯(lián)在一起，測得它們與電纜的鉛外殼間的電容為0.051μF。又將兩根纜芯與鉛外殼相聯(lián)，測得它們與另一纜芯間的電容為0.037μF。試計(jì)算：(1)電纜的各部分電容；(2)每一相的工作電容；(3)只用兩根纜芯時(shí)的工作電容。電纜的部分電容如圖2-55(a)所示。93大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修解電纜的三根纜芯由于幾何位置對稱，各自部分電容、互部分電容相等，即C11＝C22＝C33，C12=C22=C31(1)三根纜芯相聯(lián)時(shí)，與鉛外殼間的電容相當(dāng)于C11、C22、C33并聯(lián)的等效電容，3C11＝0.051μF，因此各自部分電容均為

C11＝0.017μF。兩根纜芯例如2、3與鉛外殼相聯(lián)時(shí)，它們與纜芯1之間的電容相當(dāng)C11、C12、C31的并聯(lián)等效電容，C11+2×C12=0.037μF，因此各互部分電容均為C12=0.01μF。94大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2)一相的工作電容一相的工作電容為電源加于該相與鉛外殼之間時(shí)的等效電容。各相間互部分電容構(gòu)成對稱三角形接法，運(yùn)用△-Y變換，。等效電路如圖（b）所示。一相的工作電容為95大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(3)只用兩根纜芯(例如1與2)時(shí)的工作電容將各自部分電容變換為等效三角形接法，等效電路如圖(c)所示。其中96大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修纜芯1、2間的工作電容為電源接于1、2時(shí)的等效電容可見纜芯1、2間的互部分電容僅是它們之間的電容的一部分，而這一工作電容是與導(dǎo)體系統(tǒng)的各部分電容有關(guān)的。97大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修平板電容器的電場能量與電場能量密度在普通物理學(xué)中，已知平行板電容器的電場能量密度計(jì)算式

因而平行板電容器的能量表達(dá)式可寫為

式中：V為電容器兩極板所轄空間的體積。上式說明，靜電場的能量，是以能量密度的形式，儲存于整個(gè)電場所遍及的空間，而不是附著于兩極板面有電荷處。它說明有電場處即有能量存在。上式可以推廣到非均勻的電場中去。§2-9帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布（2-69）（2-68）98大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-56給定電荷的n個(gè)導(dǎo)體的系統(tǒng)多個(gè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量為了研究問題簡便，請注意下面三項(xiàng)原則：1.基于場的物質(zhì)性，一定的物質(zhì)狀態(tài)，對應(yīng)唯一的能量狀態(tài)，因而電場能量確定于場的最終分布狀態(tài)，而不隨其建立方式與過程之不同而不同。2.電場所處空間為線性媒質(zhì)，因而各導(dǎo)體電位與各導(dǎo)體電荷具有線性關(guān)系，電場各量(、

、

、)適用疊加原理。

3.不考慮電場建立過程中媒質(zhì)的熱損耗及諸如輻射等等所帶來的不可逆能量損耗。99大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修設(shè)空間有且僅有n個(gè)帶電導(dǎo)體，其所帶電量分別為q1，q2，…，qk，…，qn，其相應(yīng)的電位分別為，，…，，…，

。在電場建立中的某一狀態(tài)，第一導(dǎo)體上電荷為xq1，則同一狀態(tài)，第2，第3，……，第n諸導(dǎo)體上的電荷亦分別為xq2，xq3…，xqk，…xqn。其中x為小于1的百分?jǐn)?shù)，電場建立開始時(shí)它為零，在電場建立終結(jié)時(shí)其值為百分之百。當(dāng)各導(dǎo)體電荷分別為xq1，xq2，…，xqk，…xqn時(shí)，各導(dǎo)體相應(yīng)的電位則分別為x，x，…，x，…，x。設(shè)電荷均由無限遠(yuǎn)處，按比例搬移至各導(dǎo)體，搬移過程中外力反抗電場力所做的功，均以電場能量的方式儲存于電場之中，而無其它損失。100大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修（2-70）設(shè)任一狀態(tài)，第一導(dǎo)體的電位為,此時(shí)其相應(yīng)的電荷量則為xq1。按電位的定義，當(dāng)從無限遠(yuǎn)處將電荷增量d(xq1)移至導(dǎo)體1時(shí)，外力反抗電場力所作的功為

xd(xq1)。同理，在此同一狀態(tài)，當(dāng)?shù)?，…，第k，…，第n諸導(dǎo)體上有電荷增量d(xq2)，…，d(xqk)，…，d(xqn)時(shí)，外力反抗電場力所作的功分別為xd(xq2)，…，xd(xqk)，…，xd(xqn)。在此微小過程中，外力反抗電場力所作的功的總和，等于電場在此微小過程中所獲得的電場能量。所以電場能量的增量101大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修式(2-72)說明，帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量，等于各導(dǎo)體電位與其所帶電量乘積之和的一半。當(dāng)n=1時(shí)，得孤立帶電導(dǎo)體的電場能量表達(dá)式；當(dāng)n=2，并且兩導(dǎo)體的電量等值異號時(shí)，則得我們熟知的電容器的電場能量表達(dá)式。（2-72）（2-71）亦即就整個(gè)電場建立的全過程而言，電場能量102大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修代入式(2-72)，得電場能量兩種方法所得到的結(jié)果相同，表明電能儲存于整個(gè)電場占據(jù)的空間。例2-9真空中的孤立帶電導(dǎo)體球帶有電荷q，半徑為R1，計(jì)算電場儲存的能量。解方法一：應(yīng)用式(2-69)計(jì)算。在R>R1空間里，電場強(qiáng)度，由式(2-69)，電場能量方法二：應(yīng)用式(2-72)計(jì)算。將導(dǎo)體球的電位103大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修§2-10虛位移法計(jì)算電場力基于功能守恒原理，電場力作功與電場能量的增量，應(yīng)該平衡于外部電源所作的功：

電場力所作的功＋電場能量的增量

=外部電源所作的功

所謂虛位移法，即是基于功能轉(zhuǎn)換過程而建立的。假設(shè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場中，某一被研究的帶電導(dǎo)體，在電場力的作用下，作一想象的微小位移，電場能量亦相應(yīng)存在想象的微小變化，根據(jù)功能守恒原理，即可求得該帶電導(dǎo)體所受的電場力。由于該方法中導(dǎo)體的位移是想象(虛構(gòu))的位移，故稱之為虛位移法。虛位移法104大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修(2-73)圖2-57給定電荷的平板電容器的虛位移設(shè)一橫軸坐標(biāo)g，其起算點(diǎn)在正極板處。并設(shè)想負(fù)極板在電場力fg的作用下，沿坐標(biāo)g方向移動(dòng)一微小距離dg，此時(shí)電場力所作的功為fgdg，平行板電容器相應(yīng)的電場能量變化量為dWe，外部電源所作的功為dW，則有平行板電容器電場力計(jì)算g105大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修1.先研究平行板電容器不與外界電源(如電池)相連接時(shí)的情況，即保持極板電荷q不變，此時(shí)其功能轉(zhuǎn)換僅在系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行，故有因在電場力作用下所作的功恒為正(力與位移的方向總是一致的)，即fgdg＞0，故當(dāng)fg＜0時(shí)，dg＜0，即電場力企圖使負(fù)極板向正極板方向移動(dòng)。故所求極板的力為吸引力。（2-77）平行板電容器的能量表達(dá)式為電容器極板所受的電場力為(2-75)或從而得常量常量106大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修圖2-58給定電位的平板電容器虛位移（2-78)電容器極板間電場能量的變化乃是由于電容器極板電荷增量dq所致。而電容器極板的電荷增量dq是電源將其由電源負(fù)極推向電源正極的結(jié)果。2．研究平行板電容器接有外界電源(電池)時(shí)，極板所受的電場力。令負(fù)極板接地，其電位為零。正極板的電位為電源正極的電位。設(shè)負(fù)極板在電場力fg作用下，位移一微小距離dg。由于兩極板與外部能源相聯(lián)，故電容兩極板電位保持不變。電容器電場能量的變化量為g107大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修此時(shí)電源所作的功為dq。根據(jù)前面所述的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系，則有