§2一維質點動力學§2-1保守力和勢，運動積分，簡諧勢，簡諧運動§2-2有心力勢§2-3周期勢，受迫振動§2-4速度勢，阻尼振動§2-5阻尼受迫振動§2-6微擾論初步§2-7單擺運動§2-1保守力和勢，運動積分，

簡諧勢，簡諧運動一、保守力與保守勢作用力僅依賴于位置坐標而不明顯依賴速度和時間。牛頓第二定律：d(mv)/dt=F(x)→d(mv2/2)/dt=F(x)v→d(mv2/2)/dt-F(x)dx/dt=0→d[mv2/2-∫x1x2F(x)dx]/dt=dE/dt=0記E=mv2/2-∫x1x2F(x)dx=T+U(x)T=mv2/2

U(x)=-∫x1x2F(x)dx§2-1保守力和勢，運動積分，

簡諧勢，簡諧運動二、運動積分1、保守力作用：

dE/dt=0

能量守恒2、合外力為零：

dP

/dt=0動量守恒2、合外力矩為零：

dL

/dt=0角動量守恒§2-1保守力和勢，運動積分，

簡諧勢，簡諧運動三、簡諧勢簡諧運動簡諧勢：U(x)=kx2/2（保守力：F(x)=-kx）牛頓第二定律：

d(mv2/2+kx2/2)=0→mvdv/dt+kxdx/dt=0→d2x/dt2+kx/m=0→d2x/dt2+ωo2x=0簡諧運動：圓頻率

ωo2=k/m運動方程：x(t)=Acos(ωot

+φ)§2-2有心力勢F

=-dU(r)/dter

(其中單位矢量er=r/r)一、有心力矩和角動量守恒角動量定理：dL

/dt=M

=r×F

∵r

∥F

→

M

=0

→

dL

/dt=0∴L

=

r×P=常矢量→角動量守恒二、有心力場中的運動1、運動方程2、比耐公式例：已知引力作用F(r)=-GMm/r2

ro

，求運行軌跡。解：比耐公式h2u2(d2u/dθ2+u)=GM/r2=GMu2

→

d2u/dθ2+u=μ/h2

(μ=GM)軌跡方程:u=1/r=C1

cosθ+C2sinθ+μ/h2

齊次解非齊次解取近日點(r極小值)的θ為零.r極小值條件:dr/dθ=0,d2r/dθ2>0.∵d(1/u)/dθ=-(1/u2)du/dθ│θ=0

=(1/u2)(C1sinθ-C2cosθ)│θ=0=0→C2=0∴r=(C1cosθ+μ/h2)-1=p/(1+ecosθ)其中p=h2/μ(正焦弦長度一半),e=C1h2/μ(偏心率)。這是一原點在焦點上的圓錐曲線，力心位于焦點上。e<1

橢圓e=1

拋物線e>1

雙曲線補充作業(yè):求e

與能量E

的關系，即證明：并討論E

與圓錐曲線型的關系.OAρφoψ2、粒子散射問題設有心力場的力心在O

點，由于有心力場對力心是中心對稱的，所以軌道對OA是軸對稱的。設無窮遠處質點速率為v∞，瞄準距離為ρ。從圖有散射要考慮一束速度相同的全同粒子群。假設粒子束在其截面內(nèi)密度均勻，而各個粒子有不同的瞄準距離，相應有不同的散射角ψ。

假定n

為單位時間內(nèi)通過垂直于束的單位截面積的粒子數(shù)，單位時間內(nèi)落入散射角ψ到ψ+dψ內(nèi)的粒子數(shù)為dN

，則定義散射的有效截面為dσ=

dN/n，

dN個粒子可能來自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)區(qū)間內(nèi)的粒子，即dN=2πnρdρ，所以

dσ=2πρdρ=2πρ│dρ/dψ│dψφ到φ+dφ對應的立體角為

dΩ=2πsinψdψ因而

dσ=(ρ/sinψ)│dρ/dψ│dΩdρρ例：盧瑟福公式的推導，即帶電粒子在U(r)=a/r場中.例：盧瑟福公式的推導，即帶電粒子在U(r)=a/r場中.§2-3周期勢，受迫振動一質點受內(nèi)力勢作用：外力勢作用：Cωωoωotcosωotsinωotxωotωot§2-4速度勢，阻尼振動xe-λttxt§2-5阻尼受迫振動系統(tǒng)受阻力和周期性外力作用,振動方程為:§2-6微擾論初步微擾論的基本思想：

非線性方程中的線性部分是嚴格可解，而非線性部分相對線性部分來說只是一個小的擾動?！?-7單擺運動力學中討論過無阻尼、小擺幅，現(xiàn)討論大