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）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知條件直接利用正弦定理求解即可【詳解】解：在中，因為，，，所以由正弦定理得，即，所以，故選：C2．（2021·江蘇連云港·高一期末）已知輪船和輪船同時離開島，船沿北偏東的方向航行，船沿著正北方向航行．若船的航行速度為，后，船測得船位于船的北偏東的方向上，則此時，兩船的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖所示：由題意可知：，，由正弦定理可知：，故選：A3．（2021·江蘇常州·高一期末）在中，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理把已知的等式化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦化簡，求出，進(jìn)一步求得，即可得解．【詳解】解：由，結(jié)合正弦定理可得：，，可得：，，則的形狀為等腰三角形．故選：．4．（2021·江蘇·南京市建鄴高級中學(xué)高一期末）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，滿足，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理將已知等式角化邊，再利用余弦定理即可求解．【詳解】在中，由正弦定理可化成，，由余弦定理可得：，故選：．5．（2021·江蘇徐州·高一期末）在中，AC=1，，BC=3，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用余弦定理求出AB邊所對角的余弦，進(jìn)而求出其正弦即可作答.【詳解】在中，由余弦定理得：，而，于是得，所以的面積為.故選：B6．（2021·江蘇淮安·高一期末）在中，角，，所對的邊分別是，，，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合余弦定理求出即可得解.【詳解】在中，因，由余弦定理得，而，所以.故選：D7．（2021·江蘇蘇州·高一期末）如圖，某偵察飛機沿水平直線勻速飛行，在A處觀測地面目標(biāo)P，測得俯角，飛行3分鐘后到達(dá)B處，此時觀測地面目標(biāo)P，測得俯角，又飛行一段時間后到達(dá)C處，此時觀測地面目標(biāo)P，測得俯角的余弦值為，則該偵察飛機由B至C的飛行時間為（

）A．2分鐘 B．2.25分鐘 C．2.5分鐘 D．2.75分鐘【答案】B【解析】【分析】利用解三角形的指數(shù)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的恒等變換，即可求解.【詳解】設(shè)分級的飛行速度為，根據(jù)分級的飛行圖形，測得俯角為，飛行3分鐘后到達(dá)B處觀測地面目標(biāo)P，測得俯角，所以為直角三角形，過點作于點，則，可得，設(shè)，由，可得，則，又由，解得.故選：B.二、多選題8．（2021·江蘇·南京市建鄴高級中學(xué)高一期末）在中，．若，則的值可以等于（

）A． B． C．2 D．3【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化簡等式，結(jié)合因式分解法，運用正弦定義和正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】，因此或，當(dāng)時，因為，所以，而，所以，當(dāng)時，，故選：AD9．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期末）在中內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的大小可能為（

）．A．30° B．150° C．60° D．120°【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】因為，所以.又因為，.所以或.故選：CD三、填空題10．（2021·江蘇省天一中學(xué)高一期末）在中，，，，則其外接圓的面積為______.【答案】【解析】【分析】先求出，由余弦定理解出BC，再通過正弦定理即可求出答案.【詳解】解：在中，，，，故，由余弦定理可得，，則利用正弦定理可得：的外接圓的直徑為，∴，故的外接圓的面積為.故答案為：.11．（2021·江蘇·金陵中學(xué)高一期末）如圖，在中，點在邊上，，，，，則的長為_______.．【答案】【解析】【分析】在中先利用余弦定理求出，然后在利用余弦定理求出，從而可得的值，進(jìn)而可求出的長【詳解】解：，，，所以，所以，所以，故，又，所以.故答案為：四、解答題12．（2021·江蘇省天一中學(xué)高二期末）在凸四邊形中，，且，對角線．（1）若，且為銳角，求的大??；（2）若，求．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理求出，即可得解；（2）在中由余弦定理求出，再利用誘導(dǎo)公式求出，最后在中利用余弦定理計算可得；【詳解】解：（1）在中，，即，因為為銳角，所以，因為，所以（2）在中由余弦定理可得因為，所以在中，由余弦定理可得即，解得或（舍去）13．（2021·江蘇常州·高一期末）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）設(shè)，，延長到點使，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而得，從而得解；（2）根據(jù)正弦定理解得，再根據(jù)同角關(guān)系和，得，再由可得解.【詳解】（1）∵.由正弦定理，可得，∴可得：，可得：，化簡可得：，∵，∴.（2）由，可得，可得，，所以，可得.14．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期末）如圖所示，有一段河流，河的一側(cè)是一段筆直的河岸l，河岸l邊有一煙囪不計B離河岸的距離，河的另一側(cè)是以O(shè)為圓心，半徑為12米的扇形區(qū)域OCD，且OB的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點為經(jīng)測量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點C，點O和點E處測得煙囪AB的仰角分別為，，和.（1）求煙囪AB的高度；（2）如果要在CE間修一條直路，求CE的長.【答案】（1）米；（2）米.【解析】（1）設(shè)AB的高度為，利用直角三角形中的特殊角函數(shù)值及即可求的值.（2）由（1）確定的長度，結(jié)合余弦定理求，進(jìn)而求CE的長.【詳解】（1）設(shè)AB的高度為在中，，有.在中，因為，可得.由題意得，解得.（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，所以在中，，得CE=.答：AB的高為米，CE的長為米.15．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）若，的面積等于，求c；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）；（2）12．【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再由三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式可得，從而可得，由三角形的面積公式可得，由余弦定理即可求解.（2）利用正弦定理可得，，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值，進(jìn)而可得周長的最大值.【詳解】解析：（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，，∵的面積等于，∴∴，∵，∴，，由余弦定理可得，∴．（2）∵，∴，∵，∴，由正弦定理可得，，∴，∵，∴∴．∴周長的最大值為．一、單選題1．（2021·江蘇·高郵市臨澤中學(xué)高一期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理可得，再由余弦定理可得，從而得到，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡要求的式子，可得結(jié)果.【詳解】因為中，，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，所以,，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角式子化簡求值問題，涉及到的知識點有正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.2．（2021·江蘇無錫·高一期末）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】已知等式切化弦后由三角函數(shù)恒等變換變形后由正弦定理化角為邊，得邊角關(guān)系表示出，由平方關(guān)系得，再由余弦定理表示，從而可得邊的關(guān)系，最終三角形面積可表示一個邊長函數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)知識可得最大值．【詳解】解：，，即，，，由正弦定理知，，，即，，由余弦定理知，，化簡得，面積，當(dāng)時，有最大值為．故選：A．3．（2021·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)高一期末）若鈍角三角形中有一角等于，且最大邊長與最小邊長的比值為，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)為鈍角，，則，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)為鈍角，，則，因此最大邊長為，最小邊長為.所以，由得，則，所以，故的范圍是.故選：D.4．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）在銳角中，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可得A,B的關(guān)系，結(jié)合銳角三角形條件可求A,B的范圍，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求.【詳解】因為及，所以，由正弦定理:，所以，整理得：,即，所以，即，由題意得解得:，故,，則，因為，所以，令,則，在上單調(diào)遞增，又f(1)=3,，故f(t)∈.故選:B5．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）在中，設(shè)角，，對應(yīng)的邊分別為，，，記的面積為，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理和面積公式得，換元利用二次函數(shù)求最值【詳解】由題意知，，整理得，因為，代入，整理得，令，則，當(dāng)時取得最大值所以，所以，故的最大值為.故選:．二、多選題6．（2021·江蘇省天一中學(xué)高一期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．在中，若，則B．在中，若，則是銳角三角形C．若，則三角形為等腰三角形D．在銳角三角形中，【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理及三角形性質(zhì)判斷A，由余弦定理判斷B，由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C，利用銳角△ABC這個條件,可得，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可判斷D．【詳解】在中，由，故A正確；若，則，又因為，所以為銳角，但不一定為銳角三角形，故B錯誤；∵，∴或，∴或，所以三角形為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；在銳角三角形中，∵，∴，即，同理：，∴，故D正確，故選：AD.7．（2021·江蘇·南京市中華中學(xué)高一期末）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有滿足，且，請運用上述公式判斷下列命題正確的是（

）A．周長為 B．C．的外接圓半徑為 D．中線的長為【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理角化邊可得三邊比例關(guān)系，代入三角形面積公式可求得三邊長，由此得到三角形周長，即可判斷A；利用余弦定理可求得，即可判斷B；利用正弦定理，可求得外接圓直徑長，即可判斷C；利用中線定理求得中線長，即可判斷D.【詳解】由正弦定理，得，設(shè)，，所以，解得的周長為，故A錯誤；由余弦定理,得，又，所以，故B正確；由正弦定理知，外接圓直徑為，外接圓半徑為，故C正確；由正弦定理得，所以，又，所以，所以為銳角，所以，在中，由余弦定理，得，所以，故D錯誤.故選：BC8．（2021·江蘇·高一期末）在中，角所對的邊分別為的面積為S，若，則（

）A． B．的最大值為1C．的最大值為 D．【答案】ABC【解析】【分析】由面積公式可得，再由正弦定理化簡即可判斷A；由根據(jù)可判斷B；利用余弦定理可得，進(jìn)而得出可判斷C；由已知結(jié)合余弦定理即可判斷D.【詳解】，即，由正弦定理可得，，，即，由正弦定理可得，故A正確；，，,則當(dāng)時，取得最大值為1，故B正確；由余弦定理得，，，其中，則可得的最大值為，故C正確；由，聯(lián)立可得，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查正余弦定理的運用，解題的關(guān)鍵是利用面積公式和正弦定理將已知化簡得出.三、填空題9．（2021·江蘇徐州·高一期末）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了"勾股圓方圖"，亦稱"趙爽弦圖"(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成)．類比"趙爽弦圖"，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)若，則λ-μ的值為___________【答案】【解析】【分析】令A(yù)F=1，延長AD交BC于M，求出AB，BM，DM，再借助平面向量基本定理即可作答.【詳解】因，令A(yù)F=1，則有，中，，由余弦定理得，延長AD交BC于M，如圖，由正弦定理得，則有，，，中，由正弦定理得，而，因此得，，于是有，，，，因，由平面向量基本定理得，所以.故答案為：【點睛】思路點睛：用向量基本定理解決問題是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．10．（2021·江蘇南京·高一期末）在中，，，，D、E在邊所在直線上，且滿足，．則_______．【答案】【解析】【分析】在中，利用正弦，余弦定理求出，，，進(jìn)而求出，在中，由余弦定理求出，得到，利用二倍角公式求出，最后解直角三角形即可．【詳解】解：如圖，由余弦定理可得，，，，在中，由正弦定理得，，，，在中，由余弦定理得，，，，，在中，，，．故答案為：．11．（2021·江蘇·南京市建鄴高級中學(xué)高一期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)、早隔離．現(xiàn)某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的圓O的內(nèi)接四邊形區(qū)域，沿著四邊形邊界用固定高度的板材圍成一個封閉的隔離區(qū)．其中，，，(單位：米)，則=___________；四邊形的面積為__________________（平方米）．【答案】

【解析】【分析】連接，由題意可得，利用誘導(dǎo)公式，余弦定理可得，解得的值，進(jìn)而可求，可得的值，求得，的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解四邊形的面積．【詳解】如圖，連接，由題意可得，可得，由余弦定理可得，即，解得：，所以，所以，可得，，所以四邊形的面積（平方米）．故答案為：，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用誘導(dǎo)公式得到，再利用余弦定理求解是解題的關(guān)鍵.四、解答題12．（2021·江蘇南京·高一期末）杭州市為迎接2022年亞運會，規(guī)劃修建公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，運動員的公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障，可以從本隊的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車輪或賽車等，也可在固定修車點上進(jìn)行．還需要運送一些補給物品，例如食物、飲料，工具和配件．所以項目設(shè)計需要預(yù)留出BD，BE為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），ED，DC，CB，BA，AE為賽道，．（1）從以下兩個條件中任選一個條件，求服務(wù)通道BE的長度；①；②（2）在（1）條件下，應(yīng)該如何設(shè)計，才能使折線段賽道BAE最長（即最大），最長值為多少？【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.選①：先由三角形的內(nèi)角和可得∠BDC=，從而知為直角三角形，然后由勾股定理，得解;選②：在中，由余弦定理可得關(guān)于BE的方程，解之即可.(2)在中，結(jié)合余弦定理和基本不等式，即可得解.【詳解】（1）在中，由正弦定理知，，解得，選①：，，，在中，；若選②，在中，由余弦定理知，，化簡得，解得或（舍負(fù)），故服務(wù)通道BE的長度；（2）在中，由余弦定理知，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，的最大值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查解三角形的實際應(yīng)用，還涉及利用基本不等式解決最值問題，熟練掌握正弦定理、余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.13．（2021·江蘇·海安市曲塘中學(xué)高三期末）如圖，在直角三角形中，，分別在線段上，且為的中點，，設(shè)．(1)求(用表示)；(2)求三角形面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，，進(jìn)而根據(jù)計算即可；（2）結(jié)合題意得，，再結(jié)合三角形面積公式和輔助角公式得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.(1)解：在直角三角形中，，所以，；因為，所以，即；在中，因為(2)在直角三角形中，因為，所以；在中，因為，所以由正弦定理得，，即；在直角三角形中，，其中，且；又因為在線段上，所以，且；故當(dāng)時，．14．（2021·江蘇徐州·高一期末）①；②；③．這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題．在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知___________（1）求角A﹔（2）已知，求的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】選擇見解析；（1）；（2）．【解析】【分析】（1）若選擇①：由正