§14.導數知識要點導數導數導數的概念導數的運算導數的應用導數的幾何意義、物理意義函數的單調性函數的極值函數的最值常見函數的導數導數的運算法則1.導數（導函數的簡稱）的定義：設是函數定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數值也引起相應的增量；比值稱為函數在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.注：①是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.②以知函數定義域為，的定義域為，則與關系為.2.函數在點處連續(xù)與點處可導的關系：⑴函數在點處連續(xù)是在點處可導的必要不充分條件.可以證明，如果在點處可導，那么點處連續(xù).事實上，令，則相當于.于是⑵如果點處連續(xù)，那么在點處可導，是不成立的.例：在點處連續(xù)，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：函數在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為4.求導數的四則運算法則：（為常數）注：①必須是可導函數.②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.例如：設，，則在處均不可導，但它們和在處均可導.5.復合函數的求導法則：或復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數單調性：⑴函數單調性的判定方法：設函數在某個區(qū)間內可導，如果＞0，則為增函數；如果＜0，則為減函數.⑵常數的判定方法；如果函數在區(qū)間內恒有=0，則為常數.注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.7.極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數的極大值，極小值同理）當函數在點處連續(xù)時，①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那么是極大值；②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那么是極小值.也就是說是極值點的充分條件是點兩側導數異號，而不是=0①.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數在某一點附近的點不同）.注①：若點是可導函數的極值點，則=0.但反過來不一定成立.對于可導函數，其一點是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數，使=0，但不是極值點.②例如：函數，在點處不可導，但點是函數的極小值點.8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.注：函數的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數導數：I.（為常數）（）II.III.求導的常見方法：①常用結論：.②形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.③無理函數或形如這類函數，如取自然對數之后可變形為，對兩邊求導可得.導數知識點總結復習經典例題剖析考點一：求導公式。例1.SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的導函數，則SKIPIF1<0的值是?？键c二：導數的幾何意義。例2.已知函數SKIPIF1<0的圖象在點SKIPIF1<0處的切線方程是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。例3.曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程是。點評：以上兩小題均是對導數的幾何意義的考查?？键c三：導數的幾何意義的應用。例4.已知曲線C：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與曲線C相切于點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程及切點坐標。點評：本小題考查導數幾何意義的應用。解決此類問題時應注意“切點既在曲線上又在切線上”這個條件的應用。函數在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件，而不是必要條件?？键c四：函數的單調性。例5.已知SKIPIF1<0在R上是減函數，求SKIPIF1<0的取值范點評：本題考查導數在函數單調性中的應用。對于高次函數單調性問題，要有求導意識?？键c五：函數的極值。例6.設函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0及SKIPIF1<0時取得極值。（1）求a、b的值；（2）若對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求c的取值范圍。點評：本題考查利用導數求函數的極值。求可導函數SKIPIF1<0的極值步驟：①求導數SKIPIF1<0；②求SKIPIF1<0的根；③將SKIPIF1<0的根在數軸上標出，得出單調區(qū)間，由SKIPIF1<0在各區(qū)間上取值的正負可確定并求出函數SKIPIF1<0的極值?？键c六：函數的最值。例7.已知SKIPIF1<0為實數，SKIPIF1<0。求導數SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值和最小值。點評：本題考查可導函數最值的求法。求可導函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值，要先求出函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的極值，然后與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0進行比較，從而得出函數的最大最小值?？键c七：導數的綜合性問題。例8.設函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0為奇函數，其圖象在點SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0垂直，導函數SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0。（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0