第34煉向量的模長問題幾何法第34煉向量的模長問題幾何法第34煉向量的模長問題幾何法第34煉向量的模長問題——幾何法一、根基知識(shí)：1、向量和差的幾何意義：向量a,b，那么有：〔1〕假定a,b共起點(diǎn)，那么利用平行四邊形法那么求ab，可得ab是以a,b為鄰邊的平行四邊形的對角線〔2〕假定a,b首尾相接，那么利用三角形法那么求出ab，可得ab，a,b圍成一個(gè)三角形2、向量數(shù)乘的幾何意義：關(guān)于a〔1〕共線〔平行〕特色：a與a為共線向量，此中0時(shí)，a與a同向；0時(shí)，a與a反向〔2〕模長關(guān)系：aa3、與向量模長問題有關(guān)的定理：〔1〕三角形中的有關(guān)定理：設(shè)ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c①正弦定理：abcsinAsinBsinC②余弦定理：a2b2c22bccosA〔2〕菱形：對角線垂直均分，且為內(nèi)角的角均分線特其他，關(guān)于底角60的菱形，此中一條對角線將此菱形切割為兩個(gè)全等的等邊三角形。〔3〕矩形：假定四邊形ABCD的平行四邊形，那么對角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長的條件：條件中的向量運(yùn)算可組成特別的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段有關(guān)，那么可考慮利用條件中的幾何知識(shí)辦理模長二、典型例題：例1：〔2021屆北京市要點(diǎn)中學(xué)高三8月開學(xué)測試數(shù)學(xué)試卷〕向量a,b的夾角為45，且a1,2ab10，那么b〔〕A.2B.2C.22D.32思路：本題利用幾何圖形可解，運(yùn)用向量加減運(yùn)算作出以下列圖形：可知AB2,B,AC10，只要利用余弦定理求出BC即可。4解：如圖可得：bBC，在2AB22ABC中，有：ACBC2ABBCcosB即：104222BCcosBC4232或BC22BC60解得BCBC2〔舍〕因此b32，答案：選D例2：假定平面向量a,b,c兩兩所成的角相等，且ab1,c3，那么abc等于〔〕A.2B.5C.2或5D.2或5思路：第一由a,b,c兩兩所成的角相等可判斷出存在兩種狀況：一是a,b,c同向〔如圖1，此時(shí)夾角均為0〕，那么abc為5，另一種狀況為兩兩夾角2〔如圖2〕，以ab13為打破口，由平行四邊形法那么作圖獲得ab與a,b夾角相等，aba1〔底角為60的菱形性質(zhì)〕，且與c反向，從而由圖獲得abc2，選C答案：C例3：向量a,b，且a1,b2，那么2ba的取值范圍是〔〕A.1,3B.2,4C.3,5D.4,6思路：先作出a，即有向線段AB，考慮2ba，將2b的起點(diǎn)與A重合，終點(diǎn)C繞A旋轉(zhuǎn)且AC2b4，那么2ba即為BC的長度，經(jīng)過察看可得C與A,B共線時(shí)2ba達(dá)到最值。因此2ba5,2ba3，且2ba連續(xù)變化，因此2ba的取值范maxmin圍是3,5答案：C例4：設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，且abab2，那么ab_______思路：可知a,b,ab為平行四邊形的一組鄰邊和一條對角線，由abab2可知知足條件的只好是底角為60，邊長a2的菱形，從而可求出另一條對角線的長度為3a23答案：23例5：a,b為平面向量，假定ab與a的夾角為，ab與b的夾角為，那么a〔〕34bA.3B.6C.5D.63433思路：可知ab,a,b為平行四邊形的一組鄰邊及對角線，通過作圖和平行四邊形性質(zhì)得：在ABD中，ABa,ADb,ABD,ADB，由正弦定理34ABsinADBsin6a6可得：4，即ADsinABDsin33b3答案：D例6：a,b是單位向量，且a,b的夾角為3，假定向量c知足|ca2b|2，那么|c|的最大值為〔〕A.23B.23C.72D.72思路：本題已知a,b模長且夾角特別，經(jīng)過作圖可得2ba為模長為3，設(shè)mc2ba，那么可得m2且cm2ba，而m可視為以2ba共起點(diǎn)，終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上。經(jīng)過數(shù)形聯(lián)合可得c的最大值為23〔此時(shí)m的終點(diǎn)位于A點(diǎn)〕答案：A例7：在ABC中，B6,AB33,BC6，設(shè)D是AB的中點(diǎn)，O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且3OA2OBOC0，那么DO的值是〔〕A.1B.1C.3D.22思路：本題的要點(diǎn)在于確立O點(diǎn)的地點(diǎn)，從而將DO與線段找到聯(lián)系，將3OA2OBOC0考慮變形為3OA2OBOC3OAOBOBOCCB，即OAOB1CB，設(shè)3OEOAOB，那么O,D,E三點(diǎn)共線，且OE∥BC，因此由平行四邊形性質(zhì)可得：OD1OE1CB126答案：B例8：向量ae,e1，對隨意的tR，恒有ateae，那么eae的值為________思路：本題以ateae作為打破口，經(jīng)過作圖設(shè)ABa,ACe，D為直線l上一點(diǎn)，那么有ADte。從而可得aeBC,ateBD，即BDBC，因此C點(diǎn)為直線l上到B距離最短的線段，由平面幾何知識(shí)可得最短的線段為B到l的垂線段。因此BCl，即eae，因此有eae0答案：0小煉有話說：本題假定用圖形解決，找到ate,ae在圖上的地點(diǎn)和兩個(gè)向量的聯(lián)系是要點(diǎn)例9：平面向量a,b,c知足a1,b2，且ab1，假定向量ac,bc的夾角為60，那么c的最大值是_________C思路：由a,b條件可得a,b夾角的余弦值Dcosab1120，假定用代數(shù)方法辦理夾角60ab2的條件，那么運(yùn)算量較大。因此考慮利用圖形，設(shè)ABABa,ADb,ACc，那么CDb,cCB，a即cDCB60，從而DCB180，可判斷A,B,C,D四點(diǎn)共圓，那么AC的最大值為四邊形ABCD外接圓的直徑，即ABD的直徑。在ABD中，由余弦定理可得：BD2227，因此BD7，由正弦定理可得：ABAD2ADABcosd2RBD221221，即cmaxsinBAD33221答案：小煉有話說：假定條件中向量的夾角為特別角且很難用數(shù)目積，模進(jìn)步行計(jì)算時(shí)，可考慮找尋幾何圖形進(jìn)行求解。例10：〔2021年，浙江，16〕平面向量,0,知足=1，且與的夾角為120，那么的取值范圍是___________思路：本題很難找到與數(shù)目積有關(guān)的條件，那么考慮利用圖形協(xié)助求解。從圖中可察看到,

,

組成

BCD

，

C

60

，從而可利用正余弦定理求出

即CD

的取值范圍解：在

BCD

中，由

正弦

定理可得：BD

CDsinC

sinDBC

sinC

sinDBCsinDBC1sinDBC2sinDBCsinC332而DBC0,2sinDBC0,12sinDBC0,23333答案：的取值范圍是0,233小煉有話說：例題中的局部問題也可采納模長平方的方式，從而轉(zhuǎn)變成為數(shù)目積求解。詳細(xì)解法以下：例1：解：2ab224ab24bcosa,b24ab4b10260，解得b32b22b例2：解：ab22222ab2bc2accabca,b,c夾角同樣當(dāng)a,b,c同向時(shí)，可得abc225，因此abc5a,b,c兩兩夾角2

2時(shí)，可得ab1,bc3,ac33222abc4，因此abc2綜上所述：abc2或5例3：解：2ba224ab2174abcosa,b178cosa,b4ba由于cosa,b1,12ba29,25即2ba3,5例4：解：abab2可得a2a22b4bb2a代入ab2得ab2222abab2ab12ab23例8：解：以B為原點(diǎn)，BC為x軸成立直角坐標(biāo)系。因此C933x,y,OC6x,那么OAx,y,OB22396x0x131333得：2