第七講立體幾何中的向量方法第3課時(shí)利用向量知識(shí)求空間二面角第八章第七講立體幾何中的向量方法第八章掌握利用向量方法解決面面的夾角的求法．重點(diǎn)：二面角與向量夾角的關(guān)系．難點(diǎn)：如何用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)表達(dá)線面角和二面角．掌握利用向量方法解決面面的夾角的求法．重點(diǎn)：二面角與向量夾角溫故知新1．回顧復(fù)習(xí)二面角及其平面角的定義，求法．思維導(dǎo)航2．怎樣用空間向量來(lái)求二面角的大小？知識(shí)點(diǎn)：二面角溫故知新知識(shí)點(diǎn)：二面角3．用向量方法求二面角平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，<n1，n2>＝θ，則二面角α－l－β為θ或π－θ．設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝__________＝__________．|cosθ||cosθ|利用向量法求二面角的兩種方法

(1)若AB,CD分別是兩個(gè)平面α,β內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則兩個(gè)平面的夾角的大小就是向量與的夾角,如圖①.

(2)設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小,如圖②利用向量法求二面角的兩種方法

(1)若AB,CD分別是兩個(gè)平例題講解：正方體ABEF-DCE′F′中,M,N分別為AC,BF的中點(diǎn)(如圖),求平面MNA與平面MNB所成角的余弦值.

例題講解：正方體ABEF-DCE′F′中,M,N分別為AC【解析】方法一：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A(1，0，0)，B(0，0，0)．取MN的中點(diǎn)G，連接BG，AG，則

因?yàn)椤鰽MN，△BMN為等腰三角形，

所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB為

二面角的平面角或其補(bǔ)角．

因?yàn)?/p>

所以

【解析】方法一：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BE故所求兩平面所成角的余弦值為

方法二：設(shè)平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．令x＝1，解得y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一個(gè)法向量n2＝(1，－1，－1)．所以

cos〈n1，n2〉=故所求兩平面所成角的余弦值為故所求兩平面所成角的余弦值為

方法二：設(shè)平面AMN的法向練習(xí)：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，BC的中點(diǎn)．

(1)求證：PA⊥EF.

(2)求二面角D-FG-E的余弦值．

練習(xí)：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)證明：由于＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，則＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，所以PA⊥EF.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xy(2)易知＝(0，0，1)，＝(1，0，0)，＝(－2，1，－1)，

設(shè)平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，

則解得

令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一個(gè)法向量．

(2)易知＝(0，0，1)，＝(1，0，0)，設(shè)平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一個(gè)法向量．因?yàn)閏os〈m，n〉＝設(shè)二面角D-FG-E的平面角為θ，由圖可知θ＝π－〈m，n〉，所以cosθ＝所以二面角D-FG-E的余弦值為.設(shè)平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，課后訓(xùn)練：(1)在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個(gè)二面角的余弦值為(

)(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝求二面角A-PB-C的余弦值．課后訓(xùn)練：課堂小結(jié)：利用空間向量求二面角的方法(1)若AB,CD分別是兩個(gè)平面α,β內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則兩個(gè)平面的夾角的大小就是向量與的夾角。。。。

(2)設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小。課堂小結(jié)：利用空間向量求二面角的方法第七講立體幾何中的向量方法第3課時(shí)利用向量知識(shí)求空間二面角第八章第七講立體幾何中的向量方法第八章掌握利用向量方法解決面面的夾角的求法．重點(diǎn)：二面角與向量夾角的關(guān)系．難點(diǎn)：如何用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)表達(dá)線面角和二面角．掌握利用向量方法解決面面的夾角的求法．重點(diǎn)：二面角與向量夾角溫故知新1．回顧復(fù)習(xí)二面角及其平面角的定義，求法．思維導(dǎo)航2．怎樣用空間向量來(lái)求二面角的大小？知識(shí)點(diǎn)：二面角溫故知新知識(shí)點(diǎn)：二面角3．用向量方法求二面角平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，<n1，n2>＝θ，則二面角α－l－β為θ或π－θ．設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝__________＝__________．|cosθ||cosθ|利用向量法求二面角的兩種方法

(1)若AB,CD分別是兩個(gè)平面α,β內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則兩個(gè)平面的夾角的大小就是向量與的夾角,如圖①.

(2)設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小,如圖②利用向量法求二面角的兩種方法

(1)若AB,CD分別是兩個(gè)平例題講解：正方體ABEF-DCE′F′中,M,N分別為AC,BF的中點(diǎn)(如圖),求平面MNA與平面MNB所成角的余弦值.

例題講解：正方體ABEF-DCE′F′中,M,N分別為AC【解析】方法一：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A(1，0，0)，B(0，0，0)．取MN的中點(diǎn)G，連接BG，AG，則

因?yàn)椤鰽MN，△BMN為等腰三角形，

所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB為

二面角的平面角或其補(bǔ)角．

因?yàn)?/p>

所以

【解析】方法一：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BE故所求兩平面所成角的余弦值為

方法二：設(shè)平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．令x＝1，解得y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一個(gè)法向量n2＝(1，－1，－1)．所以

cos〈n1，n2〉=故所求兩平面所成角的余弦值為故所求兩平面所成角的余弦值為

方法二：設(shè)平面AMN的法向練習(xí)：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，BC的中點(diǎn)．

(1)求證：PA⊥EF.

(2)求二面角D-FG-E的余弦值．

練習(xí)：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)證明：由于＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，則＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，所以PA⊥EF.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xy(2)易知＝(0，0，1)，＝(1，0，0)，＝(－2，1，－1)，

設(shè)平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，

則解得

令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一個(gè)法向量．

(2)易知＝(0，0，1)，＝(1，0，0)，設(shè)平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一個(gè)法向量．因?yàn)閏os〈m，n〉＝設(shè)二面角D-FG-E的平面角為θ，由圖可知θ＝π－〈m，n〉，所以cosθ＝所以二面角D-FG-E的余弦值為.設(shè)平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，課后訓(xùn)練：(1)在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個(gè)二面角的余弦值為(

)(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝