三重積分概念三重積分的概念三重積分的計(jì)算1baf

(

x)dx

I

iinlimf

(

)x

0

i

1被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量[a,b]積積分上限積分下限積分和2f

(x)在閉區(qū)間上的定積分積分區(qū)域Df

(

x,

y)dn

i

i

if

(

,

)

lim

0

i

1積分和被積函數(shù)積分變量面積元素

f

(

x,

y,

z)dv

lim

f

(i

,i

,

i

)vi

0

i

1f

(x,y,z)在空間閉區(qū)域上的三重積分nf

(x,y)在平面閉區(qū)域D上的二重積分3i

i

i(

,

,

),i

i

i

in

f

(i

,i

,

i

)vi

.

如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值i

1作乘積4①f

(

,

,

)v

(i

1,2,n),③并作和④設(shè)f

(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域Ω上的有界函數(shù).將閉區(qū)域Ω任意分成n個(gè)小閉區(qū)域v1

,

v2

,vn其中vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的體積.②在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)9.3.1

三重積分的定義1.三重積分的定義Ωn5

趨于零時(shí)這和的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)

f

(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上的三重積分.記為

f

(x,y,z)dvΩ即

f

(x,y,z)dv

lim

f

(i

,i

,

i

)vi

0

i

1體積元素V

1

dv三重積分存在性當(dāng)f

(x,y,z)的三重積分存在性時(shí),稱f

(x,y,z)在Ω上是可積的.連續(xù)函數(shù)一定可積三重積分的幾何意義設(shè)被積函數(shù)

f

(x,y,z)

1,則區(qū)域Ω的體積為nlim

f

(i

,i

,

i

)vi

0

i

16的密度函數(shù)4.三重積分的物理意義則空間的質(zhì)量為

(

x,

y,

z)dv

M設(shè)

(

x,

y,

z)

0

為空間nlim

(i

,i

,

i

)vi

0

i

15.三重積分的性質(zhì)與定積分和二重積分相同79.3.2

三重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下計(jì)算柱坐標(biāo)系下計(jì)算球坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分化為三次定積分計(jì)算891.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為x

f

(

x,

y,

z)dv

f

(

x,

y,

z)dxdydzy在直角坐標(biāo)系中,如果用平行于坐標(biāo)面的z平面的來劃分

,

則dv

dxdydz.Odydz

dx在直角坐標(biāo)系化為三次定積分的方法：3

1

2

2

1先一后二法（如先z后xy）先二后一法（如先xy后z）定限口訣后積先定（投影而定）上,下限均為常數(shù)先積后定（平行而定）

進(jìn)是下限,出是上限.10yzxyDS1z

z1

(

x,

y)S2z

z2

(

x,

y)(

x,

y)1.先一后二法（如先z后xy）11如圖,閉區(qū)域

在xOy面上的投影為閉區(qū)域

Dxy(

x,

y)

Dxy過該點(diǎn)作直線

平行于z

軸,

Of

(

x,

y,

z)dzx

f

(

x,

y,

z)dxdydz

dxdyDxyz1

(

x,

y)2z

(

x,

y)

12xyDz

(

x

,

y

)2z1

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dzdxdy同理：f

(

x,

y,

z)dxdydz先y后xz

xzDy

(

x

,z

)2y1

(

x

,z

)f

(

x,

y,

z)dydxdz先x后yz先z后xy

yzDx

(

y

,z

)x2

(

y

,z

)1f

(

x,

y,

z)dxdydzf

(

x,

y,

z)dxdydzf

(

x,

y,

z)dxdydz

Ω

2

Ω

(

x,

y,

z)

0

x

1,

0

y

1,

0

z

.201dy1dx10例計(jì)算三重積分I

x

3

y4

cos

zdxdydz,其中Ω是長(zhǎng)方體yz0

20x3

y4

cos

zdz解(先z后xy)11xy013xyDxyD0I

dxdy

2

x3

y4

cos

zdz21x1104x

dx10302cos

zdzy

dy

O

即等于三個(gè)定積分的乘積.注14特殊地當(dāng)積分區(qū)域Ω為長(zhǎng)方體:a≤x≤b,c≤y≤d

,e≤z≤f且f

(

x,

y,

z)

f1

(

x)

f2

(

y)

f3

(z)則

f1

(x)f2

(y)f3

(z)dxdydz

ba

f1

(

x)dxcd

fef2

(

y)dy

f3

(z)dz

解由x2z

y2z

4a2

x2

y2dzV

dv

dxdy(先z后xy)xyDx2

y2所以,在xOy面的投影域Dxy

:x2

y2

2a24a2

x2

y2消z得:

x2

y2

2a2x2

y2

2a2yDxyxoxyz

x2

y2xyD4a2

x2

y2例

求曲面z

4a2

x2

y2

及z

x2

y2所圍

體積V

.

z2a

z

15V

dv

dxdyx2

y2

)dxdy

( 4a2

x2

y2

Dxy2a00

r

)rdr(

4a2

r

22d

8

(2

2

)a3

.3xyDx2

y24a2

x2

y2dzx2

y2

2a2xyxy

D極坐標(biāo)16z解計(jì)算

xy

dxdydz,其中為錐面z2

x2

y2與平面z

1所圍成的區(qū)域在第一卦限內(nèi)的部分.yzO

xydzzdxdyxyDx2

y211DxyyxOzxydxdydz

xy[2z

]1

dxdyx

2

y2x2

y2

]dxdyDxy

2

xy[1

4Dxy(先z后xy)11x171DxyyxO

2

xy[1

4x2

y2

]dxdyDxy36

1

.極坐標(biāo)r

)rdr181020sin

(1

r

cosd21

x2

dxdydz計(jì)算三重積分

y其中Ω由曲面

y

1

x2

z2

,

y

1,y

1

x2

z2y

1yxox2

z2

1z1y

1

x2

z2x2

z2

1

所圍成.yy

1xzox2

z2

1191111

x2

dxdydz計(jì)算三重積分

y其中Ω由曲面

y

1

x2

z2

,

y

1,解x2

z2

1所圍成.(先y后xz)y

1

x2

z2y

1yxzox2

z2

1y

1

x

dy

dxdz2xzD

1

x2

z21

z2

1x2zxzxD

y1

x2

dxdydz120dx221

z

)dz1

x2

(

x2

111

x

21

x

2dx322z311

x

1

x11

x2

(

x2

z

)

|1112132845(1

x2

2

x4

)dx

dxdzy

1

x2

dyxzD

1

x2

z21

xzDdxdz1

x1

(1

x2

z2

)2

2

z2

1x2zDxzx(先z后x)21

22xyDz

(

x

,

y

)z2

(

x

,

y

)1f

(

x,

y,

z)dzdxdyf

(

x,

y,

z)dxdydz

不畫圖的定限口訣含z消z與無z方程共圍Dxy含z上下面例計(jì)算三重積分z

I

Dxy1

x2

y0xdzdxdy解（先z后xy）

Dxy

:由x

0,y

0,x

2

y

1圍成.且當(dāng)(x,y)

Dxy時(shí),0

z

1

x

2

y,12xy1

x(1

x

2

y)dxdyDxyDxy0含z消z與無z方程共圍Dxy

含z上下面其中為x=0,y=0,z=0及x+2y+z=1所圍成

z

1

x

2

y23I

xdxdyd

z

0

I

Dxy1

x2

y0xdzdxdy

x(1

x

2

y)dxdyDxy10201

xx(1

x

2

y)dy

dx120xy104

14811(

x

2

x

2

x

3

)dx

(先y后x)121x24yz1Ox

2

y

z

1為x=0,y=0,z=0及x+2y+z=1所圍成的區(qū)域.解化三重積分I

f

(x,y,z)dxdydz

為三次積分,其中積分區(qū)域?yàn)橛汕?/p>

z

x2

2

y2

及z

2

x2所圍成的閉區(qū)域.由2z

2

xz

x2

2

y2,D

:x2

y2

1,xy且當(dāng)(

x,

y)

Dxy時(shí),

x2

2

y2

z

2

x2

,xOyz

2

x2z

z

x2

2

y225f

(

x,

y,

z)dzI

f

(

x,

y,

z)dxdydz11

x

2

2

x

2f

(

x,

y,

z)dz.1

1

x

2

dyx

2

2

y

2dxDxy

:x

y

1,2

2xy且當(dāng)(

x,

y)

D

時(shí),

x2

2

y2

z

2

x2

,x2

y2

1x2

2

y2

dxdy2

x2x2

y2

1xyxy

D1260

2d2r

2

cos2

0

r

2

r

2

sin2

f

(r

cos

,

r

sin

,

z)dz.rdr或步驟(1)

把積分區(qū)域向z軸投影,得投影區(qū)間[c1

,c2

];(2)

對(duì)z

[c1

,c2

]用過z且平行xOy的平面去截,z得截面D

;(紅色部分)xz

oyc1c2zDz272.先二后一法（如先xy后z）

f

(

x,

y,

z)dv

dz

f

(

x,

y,

z)dxdyc1c2Dz類似的有：先xz后y和先yz后x解1

先xy后z

zdxdydz

dz

zdxdy例計(jì)算三重積分

zdxdydz,其中為z)

dz21210z

(1

241111xy三個(gè)坐標(biāo)面及平面x

y

z

1所圍成的閉區(qū)域.zOx

y

z

1zD0281zDy0DzzDdxdyzdz10x

y

1

zx1

z1

zzdzDxy1

x

y計(jì)算三重積分

zdxdydz,其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x

y

z

1所圍成的閉區(qū)域.

zdxdydz

dxdy011xyz1x

y

z

11

x0210(1

x

y)

dydx

1.24xyD2

1

(1

x

y)2

dxdy1y0xDx

y

1x1O解2

先z后xy法29Dz

f

(

x,

y,

z)dv

dz

f

(

x,

y,

z)dxdyc2c1說明當(dāng)被積函數(shù)僅與變量z有關(guān),且截面Dz的面積

時(shí),

用上公式簡(jiǎn)便.30的體密度為:

1內(nèi)點(diǎn)(x,y,z)處質(zhì)量x2

y2

z2b2

c2cadv22

b2

x2

y2

z2

M

xa2

dv2yb2

dv2zc2

dv2

求,橢球的質(zhì)量.31zx2

y2

2a2

b2

c2解例

已知橢球Ω

:a2cdz2

c

2

dv

dxdyDz

ccz2先xy后z法z

2Dzzxyoc

c2

1.222

c

z2

b

1

y2c

z2

a

1

x2Dz

:dxdyDz2c2

ab(1

z

)

z2

z2a

1

b

1c2

c2

1

:x2

y2

z2c2z2a2

b2a2

b2

c2x2

y2zD

:

1

x2M

a2

dvy232

b2

dvz

2

c2

dv同理15

4

abc

x

2

y2因此5

4

abc.所以z2Dzdxdy

ab(1

c2

)

a2

dv

b2

dv

154

abccdv2z

2cdz2c

z

2cDzdxdycc)dz2z22c2cz

(1

abxM

yb2

dv2

2a2

dv

z33c2

dv2三重積分的奇偶對(duì)稱性(1)若域

關(guān)于xy坐標(biāo)面(z

0)對(duì)稱,則

f

(x,y,z)dvf

(

x,

y,

z)dv,z的偶函數(shù)

0,

f為z的奇函數(shù)f為21Ω其中1為在xy

坐標(biāo)面的上半部區(qū)域.f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z)f

(

x,

y,z)

f

(

x,

y,

z)34(2)若域

關(guān)于

yz坐標(biāo)面(x

0)對(duì)稱,則

f

(x,y,z)dv

0,

f為x的奇函數(shù)f

(x,y,z)dv,f為x的偶函數(shù)2

1Ω其中1為在yz

坐標(biāo)面的前半部區(qū)域.f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z)f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z)35(3)若域

關(guān)于xz坐標(biāo)面(y

0)對(duì)稱,則

f

(x,y,z)dvf

(

x,

y,

z)dv,

0,

f為y的奇f為y的偶函數(shù)21Ω其中1為在xz

坐標(biāo)面的右半部區(qū)域.f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z)f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z)36關(guān)于xz坐標(biāo)面對(duì)稱37例設(shè)域?yàn)閤2

y2

z2

a2

,

x

2

y2

zdv

0f

(x,y,z)

x2

y2

z

為z的奇函數(shù)關(guān)于xy坐標(biāo)面對(duì)稱

yz

2dv

0f

(

x,

y,

z)

yz2為y的奇1設(shè)空間區(qū)域

：x2

y2

z2

R2

,z

0,1(B)

ydv

4

ydv;1

2

(

D)

xyzdv

4

xyz

d

v.則(

C

)成立.(

A)

xdv

4

xdv;1

2(C

)

zdv

4

zdv;1

22

：x2

y2

z2

R2

,

x

0,

y

0,

z

0例RxyzOR2R38輪換性質(zhì)39

f

(

x,

y,

z)dxdydz

xyzx

y,

y

z,

z

x

f

(

y,

z,

x)dydzdx

yzx稱Ω滿足輪換對(duì)稱性若

xyz若f

(x,y,z)稱f(x,y,z)滿足輪換對(duì)稱性可利用Ω或f(x,y,z)的輪換對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算例計(jì)算三重積分I

(

x

y

z)2

dxdydz解1

(

x,

y,

z)

0

x

1,

0

y

1,

0

z

1.

01

110

02dy

(

x

y

z)

dzdxI

1010331[(

x

y

1)

(

x

y)3

]dydx1041211

1)

(

x

1)4

]dx[(

x

104121[(

x

1)

x4

]dx26040

(3

2

)

2(2

1

)

1

55

5

5

5例計(jì)算三重積分I

(

x

y

z)2

dxdydz解2

(

x,

y,

z)

0

x

1,

0

y

1,

0

z

1.輪換性質(zhì)xyz函數(shù)具有輪換對(duì)稱性

(

x,

y,

z)

0