第二節(jié)動量守恒定律§3.2動量守恒定律一、線動量Linear

Momentum質(zhì)點的線動量定義為它的質(zhì)量m和它的速度v

的乘積，以P

表示。P

=mv線動量是一個矢量，它的方向與速度相同，它又簡稱動量，在SI中，動量的單位是公斤·米/秒(kg·m/s)。我們現(xiàn)在可以將慣性定律重述如下：對一個慣性觀察者而言，質(zhì)點以一定的動量運動。二、動量守恒定律1、系統(tǒng)Isolated

System系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點之間有相互作用，而與外界沒有任何作用。2、動量守恒

Conservation

定律一個

的質(zhì)點系統(tǒng)的總動量是恒定的Ｐ=Ｐ1+Ｐ2

+Ｐ3

+=Ｐi=恒矢量慣性定律可以看作是動量守恒定律的一個特例（系統(tǒng)只有一個

質(zhì)點）。三、慣性質(zhì)量Inertial

Mass

的定義在△t時間內(nèi)質(zhì)點動量的改變?yōu)椤鱌

=△(mv)=m△v（假設(shè)m與速度無關(guān)）m2

/m1

=△v1

/△v2上式表明質(zhì)點的速度改變與質(zhì)量的大小成反比。因為質(zhì)量越大的物體我們越不容易改變其運動狀態(tài)，故我們可用質(zhì)量來度量物體的慣性，所以我們把這種定義的質(zhì)量稱為慣性質(zhì)量。質(zhì)量單位為公斤（kg）四、1、第二定律和第三定律第二定律

Newton’s Second

Law兩個質(zhì)點系統(tǒng)：在時間間隔△t=t’-t

內(nèi)，質(zhì)點1和質(zhì)點2的動量變化之間的關(guān)系△P1/△t

=

-△P2/△t上式表示在時間間隔△t內(nèi)，兩質(zhì)點動量(矢量)的平均變化率大小相等而方向相反。如果令△t→0時，dP1/dt=-dP2/dt力的定義：

F

=

dP

/

dt即為

第二定律。2、因為第三定律

Newton’s ThirdLawdP1/dt

=

-

dP2/dt利用力的定義

F1

=

-

F2式中F1

=dP1/dt是質(zhì)點2對質(zhì)點1的作用力F2

=dP2/dt是質(zhì)點1對質(zhì)點2的作用力結(jié)論：當兩個質(zhì)點相互作用時，作用在一個質(zhì)點上的力與作用在另一個質(zhì)點上的力大小相等而方向相反。這就是

第三定律。n

個質(zhì)點對質(zhì)點m的作用dP1/dt=

F1+

F2

+

F1+

F1+

F1在

SI

中，力的單位為

(N)。評論：大小相同、方向相反；同時出現(xiàn)、同時

。１、同時出現(xiàn)：隱含相互作用以無限大速度

。２、大小相同：如果相互作用是非接觸的，例如：引力、電力、磁力等通過“場”作用，則大小可以不相同。因此，近代物理學往往不采用第三運動定律，而直接應(yīng)用動量守恒定律。３、作用力于反作用力屬于同一性質(zhì)的力。五、常見力和基本力常見力：１、重力：物體受地球的吸引作用。

２、彈力：發(fā)生形變的物體企圖恢復原狀，對與它接觸的物體產(chǎn)生作用。例如：正壓力、張力、彈力等３、摩擦力：fs

max

=μs

N（１）靜摩擦（２）滑動摩擦

fk

=μk

N一般來說

μk

＜

μs＜１基本力：１、萬有引力Gravitational

force２、電磁力Electromagnetic

force３、強力４、弱力類型Strong

interactionWeak

interaction源

相對強度作用距離萬有引力質(zhì)量10-38長（無限）弱力所有粒子10-15短（10-17

m）電磁力電荷10-2長（無限）強力強子1短（10-15

m）例3-1

火箭的運動(假定地球是一個慣性參考系)mv-dm

v′火箭Rocket

是一種，靠火箭內(nèi)的燃燒室里所產(chǎn)生的氣體不斷噴出而獲得連續(xù)的推動力。設(shè)v

為火箭相對于地球的速度，v′為噴出氣體相對于地球的速度，于是噴出氣體相對于ve

=v′-

vt

時刻：火箭m、v、P

=mvt+dt時刻：火箭m+dm、v

+dv-

dm、

v′注意：火箭質(zhì)量在減少，dm是負值。P′=

(m+dm)(v+dv)

+

(-dm)v′=

mv

+

mdv

+vdm

+dmdv

-

vdm[dmdv=

0

]=

mv

+

mdv

-

(v′-

v

)dm=

mv

+

mdv

-

vedm在dtdP

=P′-P

=

mdv

-

vedmdP/dt=mdv/dt-vedm/dt=FF

是作用在火箭上的外力vedm/dt

常稱為火箭的推力Thrust

of

therocket假設(shè)ve為定值，略去空氣的阻力和重力隨高度的變化，則唯一的外力是火箭的重量

mg，火箭方程

mdv/dt

-

vedm/dt=

mg特例：設(shè)運動是豎直，v，ve

，g

火箭方程的標量形式：mdv/dt

+

vedm/dt

=-mg初始條件：t=0，v0

，m0；t

時刻，v

，mdv+ve

dm/m=-gdt

vdv

+

v

v0

e

m0

t0mdm/m=

-

g

t

dt得v

-

v0+

veln(m/mo)

=-

gtv

=

v0+

veln(m0/m)

-

gtv

=

v0+

ve

ln(m0/m)

-

g

t如果t

是用完全部所需的時間，于是上式中的m

就是最后的質(zhì)量，而v是火箭所能達到的最大速度。例如火箭的初始質(zhì)量為2.72×106

kg，用完后的質(zhì)量為

2.52×106kg，氣體的排出速度為

1290

kg/s，則用完

所需的時間

t=155s。如果我們假定噴出氣體的速度ve=55000

m/s，

v0

=0，則火箭的最大速度為：v =

55000ln(

2.72×106/2.52×106

)-

9.8×155=2681

m/s六、動量定理1、質(zhì)心Center

of

Mass考慮由質(zhì)量為m1，m2，……等若干質(zhì)點組成的系統(tǒng)，它們相對于慣性參考系的位矢分別為r1，r2，……，rc=∑miri/∑mi=∑miri/M其中M=∑mi是系統(tǒng)的總質(zhì)量。

2、質(zhì)心速度（系統(tǒng)速度）假定這些質(zhì)點的質(zhì)量與其速度無關(guān)，vc

=

drc/dt

=∑mi

dri

/dt

/

M=∑mi

vi

/

M

=∑Pi

/

M

=P

/

M3、質(zhì)心參考系我們可選一個參照坐標系Xc、Yc、Zc，其原點固連在一個系統(tǒng)的質(zhì)心上，則相對于此坐標系，質(zhì)心是

的(vc=0)。這個參考系稱為質(zhì)心參考系或C—參考系，相對于C—Pc=∑Pi=0

(在C—參考系中)C—參考系之所以重要是因為我們在實驗室或L—參考系中所作的許多實驗可以在

C—參考系內(nèi)得到更簡單的分析。4、動量定理孤立系：S

和S′內(nèi)力：S

系質(zhì)點之間的相互作用外力：S′系作用于S系質(zhì)點上的力S+S′孤立系統(tǒng)，動量守恒定律。P

=PS

+PS′=∑Pi

+∑Pj

=恒矢量dPi

/dt

=

Fi

+Fi1

+

Fi2

+

…=Fi

+∑j、i≠j

Fij其中Fi

為外力，F(xiàn)ij為質(zhì)點j

對質(zhì)點i

的內(nèi)力S研究對象：S系統(tǒng)S’d∑Pi

/dt

=∑

dPi/dt=∑Fi

+∑j

∑j、i≠j

Fij

=∑Fi=0動量定理的微分形式F外=-F外’dPs

/dt=F外dPS’/dt=F外’：(1)動量定理是矢量等式，三個分量等式。

(2)合外力分量僅對該系統(tǒng)分量的動量起作用，對其他分量是無貢獻。如果合外力在某方向上的分量為零，盡管系統(tǒng)動量不守恒，但在該分量的動量卻是守恒的。(3)

在有些場合，如發(fā)生碰撞，

等，系統(tǒng)所受外力顯然存在，但遠比系統(tǒng)內(nèi)力為小，它們可以忽略不計，對這些過程就可用動量守恒定律來處理?；蛘呖珊雎院贤饬υ谀骋环较蚍至康淖饔茫\用該方向動量守恒來解決。5、質(zhì)心定理因為vc=PS

/M

，所以F外=Mdvc

/dt=Mac

其中ac

是S

系的質(zhì)心加速度。此結(jié)果與質(zhì)點

第二定律比較可知：質(zhì)點系的質(zhì)心運動有如系統(tǒng)中的所有質(zhì)量集中于質(zhì)心在外力作用下的運動。例

3-2

水平地面上一輛

的車發(fā)射

彈，

車質(zhì)量為M，

身仰角為θ

，

彈質(zhì)量為

m，

彈剛出口時，相對于為

u，（1）求

彈剛出口時，身的速度車的反沖速度的大小VX

；（2）若

筒長為L，求發(fā)過程中

車移動的距離ΔX

。解：設(shè)

彈相對地面速度為v彈地車反沖速度為V車地相對速度公式：v彈地=u彈車+V車地x

umMθ1、水平方向內(nèi)力很大，可忽略地面摩擦的影響，因此水平方向動量守恒。水平速度分量：vx

=ucosθ+Vx水平動量守恒：0

=

MVx+

mvx

=

MVx+

m(ucosθ+

Vx

)故得：

Vx

=

-

mucosθ／(M

+m)負號表示向后退。x

umMθ2、以

u(t)表示發(fā)

過程中任一時刻

彈相對

身的速度，則該瞬時

車的速度應(yīng)為：Vx(t)=

-

mu(t)cosθ／(M

+

m)積分求

車后退距離：ΔX=

o

T

Vx(t)dt (

T發(fā)

過程所需時間)=-

mcosθ/(M

+

m)o

T

u(t)dt=-

mLcosθ/(M+m)負號表示向后退。x

umMθ例3-3

水力采煤就是利用在高壓下噴射出來的強力水柱沖去煤層而使煤層碎裂。設(shè)所用直徑為d=3×10-2m

，水速為v=60m/s，水柱與煤層表面垂直。求水柱施于煤層的作用力。解：建立坐標系Oxy，取dt時間內(nèi)噴出的水作為質(zhì)點系，該質(zhì)點系在沖擊煤層時受到兩個外力：煤層對它的反作用力和重力，重力略去不計。xyO在沖擊煤層前，dM為質(zhì)點系的總質(zhì)量，v為水柱在沖擊煤層前速度，ρ表示水的密度，總質(zhì)量可表示：dM=ρπd2vdt/4總動量：P1

=dMv

i

=ρv2πd2

dt

/4

iP2=0。所以該質(zhì)點系在沖出煤層前后總動量的變化為dP

=

P2

-

P1

-ρv2πd2

dt

/4

i煤層對該質(zhì)點系的反作用力F′：F′=

dP/dt

=

-ρv2πd2/4

i水柱作用于煤層的作用力：F

=

-

F′，故F

=-

F′=

ρv2πd2/4

i=

1000×602×3.14×0.032/4

i=2545

i6、沖量定理(1)質(zhì)點已知力只是時間函數(shù)F(t),試求質(zhì)點速度v(t)

和運動方程。初始條件：t=0,v

=vo第二定律:

F(t)

=d(mv)/dt∫otF(t)dt

=∫vov

d(mv)

=mv

-

mvo定義：

沖量I

=

∫otF(t)dt（

動量定理積分形式）I

=P

-

Pov

(t)

=

vo

+

I/mr(t)

=

ro

+

vo(t

-

to)

+∫otIdt

/

m(2)質(zhì)點系

I外

=∫otF外(t)dt

=

PS

-

PSO例3-4

一質(zhì)量為

2

kg的質(zhì)點，在xy

平面上運動，受到外力

F=4i

-24t2j

(SI)的作用，t=0時，它的初速度為vo=3

i+4

j

(m/s)，求t=1s時質(zhì)點受到的法向力Fn

的大小和方向。解：設(shè)質(zhì)點質(zhì)量m

=2kg，t=1s時，速度為vo

o動量定理：mv-mvo=

1

Fdt=

1

(4

i

-24t2

j)dtv

=

1

(2

i

-

12t2j)dt

+

vo

o=2

i

-

4

j

+3

i

+4

j=5

i

m/s即切向方向為i

，法向方向為j。所以t=1

s時質(zhì)點受到的法向力Fn=-24t2j|t=1=-24

j

(N)當力連續(xù)變化時沖量的幾何意義：沖量在數(shù)值上等于Fx

~

t圖線與坐標軸所圍的面積。I

=∫F

dtt

2t

10tt12tFx+yI

x

=∫I

=∫Fx

dtFy

dtt

1t

2t

1t

2zIz

=∫F

dtt

1t

2平均沖力：用平均沖力表示的動量原理為：mv

1xmv

1yt

1)

=

mv

2

xt

1)

=

mv2

yFx

(

t

2Fy

(

t

2t0

t

1

t

2FxFx(

t

t

)21xtt

12F

dt

=

Fx∫[

例1

]

質(zhì)量為一噸的蒸汽錘自1.5m高的地方落下，它與工件的碰撞時間為τ=0.01s，求：打擊的平均沖力。解一：對碰撞過程應(yīng)用動量原理=1.66

×10

6

+

0.03×106

(

N)2ghv

0

=Nmgh0mmv工件mτN

=

m

2gh

+

mg(

m

v0

)(N

mg

τ)

=

0解二：對整個過程應(yīng)用動量原理mg

τ)=

0

0mg

t

+(

NN

=

mg

(

tτ+1

)

=

1.69

×106

(

N)Nmghmv0m工件mvXNy

=

2mv

cosα

+

mg(Ny

mg

)Δ

t

=

mv

cosα(

mv

cosα

)Nx