專題50解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化思想【高考地位】復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，也是高考考查重點(diǎn)之一。它具有熔代數(shù)、三角、幾何于一爐特點(diǎn)，應(yīng)用廣泛。復(fù)數(shù)問(wèn)題可化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題,可與三角、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，在教學(xué)(復(fù)習(xí))中可縱橫聯(lián)系，不僅有助于學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí),提高解決問(wèn)題的能力，而且有益于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、思維能力與創(chuàng)新意識(shí)。在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，其試題難度屬低中檔題.方法實(shí)數(shù)化法萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景求復(fù)數(shù)問(wèn)題解題模板第一步首先觀察復(fù)數(shù)的形式；第二步然后根據(jù)分母實(shí)數(shù)化并由復(fù)數(shù)的概念對(duì)其進(jìn)行求解；第三步得出結(jié)論.例1.【海南省2021屆高三年級(jí)第二次模擬考試】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.例2、已知，其中是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則__________．【答案】【解析】由題意，，則，所以。例3、【江西省五市九校協(xié)作體2021屆高三第一次聯(lián)考】【變式演練1】【陜西省榆林市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次高考模擬測(cè)試】若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且，則（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故選：D.【變式演練2】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】復(fù)數(shù)，在平面里對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為故結(jié)果為B?！咀兪窖菥?】若復(fù)數(shù)滿足，是虛數(shù)單位，則的虛部為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：由有，所以有，虛部為,選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)基本運(yùn)算.【變式演練4】設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：,,故選C.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算；2.復(fù)數(shù)的模.【高考再現(xiàn)】1．（2021·浙江高考真題）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.2．（2021·全國(guó)高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.3．（2021·北京高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：.故選：D.4．（2021·全國(guó)高考真題）已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故故選：C.5．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.6．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)2】若，則 （）A．B．C．D．【答案】C【思路導(dǎo)引】先根據(jù)將化簡(jiǎn)，再根據(jù)向量的模的計(jì)算公式即可求出．【解析】∵，∴，故選C．【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．7．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)1】若，則 （）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【思路導(dǎo)引】由題意首先求得的值，然后計(jì)算其模即可.【解析】由題意可得：，則，故，故選D.【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．8．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)2】 （）A．B．4 C．D．【答案】A【思路導(dǎo)引】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解析】．故選A．【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．9．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)2】復(fù)數(shù)，則 （）A．B．C．D．【答案】D【思路導(dǎo)引】先利用除法運(yùn)算求得，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念得到即可.【解析】因?yàn)?，所以，故選：D【專家解讀】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．10．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)2】復(fù)數(shù)的虛部是 （）A．B．C．D．【答案】D【思路導(dǎo)引】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z即可．【解析】∵，∴復(fù)數(shù)的虛部為，故選D．【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．11．【2020年高考浙江卷2】已知，若（為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則 （）A． B． C． D．【答案】C【思路導(dǎo)引】根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)概念列式求解即可．【解析】由條件可知，即，故選C．【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)概念，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．12．【2020年高考北京卷2】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則 （）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意z=1+2i,iz=-2+i,故選B.【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．13．【2020年高考山東卷2】 （）A．B．C． D．【答案】D【思路導(dǎo)引】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算.【解析】，故選：D?！緦＜医庾x】本題考查了復(fù)數(shù)除法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．14．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)15】設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】【思路導(dǎo)引】令，，根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得，代入復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式中即可得到結(jié)果.【解析】，可設(shè)，，，，兩式平方作和得：，化簡(jiǎn)得：.故答案為：.【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確正確計(jì)算復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．15．【2020年高考江蘇卷2】已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是.【答案】【思路導(dǎo)引】本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即得復(fù)數(shù)的實(shí)部.【解析】，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為.【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．16．【2020年高考天津卷10】是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．【答案】【思路導(dǎo)引】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【解析】.故答案為：.【專家解讀】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)。17．【2020年高考上海卷3】已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則.【答案】【解析】，故答案為：?！緦＜医庾x】本題考查了復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．【反饋練習(xí)】1．【陜西省西安市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)文科】若i為虛數(shù)單位，（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算可求出結(jié)果．【詳解】.故選：D.2．【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】已知為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若為純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為純虛數(shù)，令求解.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，則，∴，則，故選：B3．【陜西省寶雞市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期高考模擬檢測(cè)】已知復(fù)數(shù)，，則的虛部為（）A． B．4 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以的虛部?故選：C4．【陜西省寶雞市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期高考模擬檢測(cè)】已知復(fù)數(shù)，，則為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得，則.故選：C.5．【安徽省淮北市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試】復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：B.6．【安徽省淮北市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試】若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分析出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡，然后將的最大值轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大值問(wèn)題并完成求解.【詳解】因?yàn)楸硎疽渣c(diǎn)為圓心，半徑的圓及其內(nèi)部，又表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到的距離，據(jù)此作出如下示意圖：所以，故選：D.7．【河南省鄭州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)】已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先化簡(jiǎn)，以及求得，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷選項(xiàng).【詳解】，則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D8．【四川省涼山州2020-2021學(xué)年高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）】復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算性質(zhì)，把復(fù)數(shù)化為最簡(jiǎn)形式，得到其實(shí)部和虛部的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，解題思路如下：（1）利用復(fù)