第四章線性方程組一綜述線性方程組是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一.本章完滿解決了關(guān)于線性方程組的三方面的問題,即何時(shí)有解、有解時(shí)如何求解、有解時(shí)解的個(gè)數(shù),這在理論上是完美的.作為本章的核心問題是線性方程組有解判定定理（相容性定理）,為解決這個(gè)問題,從中學(xué)熟知的消元法入手,分析了解線性方程組的過程的實(shí)質(zhì)是利用同解變換,即將方程的增廣矩陣作行變換和列的換法變換化為階梯形（相應(yīng)得同解方程組）,由此相應(yīng)的簡化形式可得出有無解及求其解.為表述由此得到的結(jié)果,引入了矩陣的秩的概念,用它來表述相容性定理.其中實(shí)質(zhì)上也看到了一般線性方程組有解時(shí),也可用克萊姆法則來求解（由此得所謂的公式解——用原方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)表示解）.內(nèi)容緊湊,方法具體.其中矩陣的秩的概念及求法也比較重要,也體現(xiàn)了線性代數(shù)的重要思想（標(biāo)準(zhǔn)化方法）.線性方程組內(nèi)容的處理方式很多,由于有至少五種表示形式,其中重要的是矩陣形式和線性形式,因而解線性方程組的問題與矩陣及所謂線性相關(guān)性關(guān)系密切；本教材用前者（矩陣）的有關(guān)問題討論了有解判定定理,用后者討論了（有無窮解時(shí)）解的結(jié)構(gòu).實(shí)際上線性相關(guān)性問題是線性代數(shù)非常重要的問題,在以后各章都與此有關(guān).另外,從教材內(nèi)容處理上來講,不如先講矩陣及線性相關(guān)性,這樣關(guān)于線性方程組的四個(gè)問題便可同時(shí)討論.二要求掌握消元法、矩陣的初等變換、秩、線性方程組有解判定定理、齊次線性方程組的有關(guān)理論.重點(diǎn)：線性方程組有解判別法,矩陣的秩的概念及求法.4.1消元法教學(xué)思考本節(jié)通過具體例子分析解線性方程組的方法——消元法,實(shí)質(zhì)是作方程組的允許變換（同解變換）化為標(biāo)準(zhǔn)形,由此得有無解及有解時(shí)的所有解.其理論基礎(chǔ)是線性方程組的允許變換（換法、倍法、消法）是方程組的同解變換.而從形式上看,施行變換的過程僅有方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)參與,因而可用矩陣（線性方程組的增廣矩陣）表述,也就是對（增廣）矩陣作矩陣的行（或列換法）初等變換化為階梯形,進(jìn)而化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形,其體現(xiàn)了線性代數(shù)的一種重要的思想方法——標(biāo)準(zhǔn)化的方法.二內(nèi)容要求主要分析消元法解線性方程組的過程與實(shí)質(zhì),以及由同解方程組討論解的情況（存在性與個(gè)數(shù)）,為下節(jié)作準(zhǔn)備,同時(shí)指出引入矩陣的有關(guān)問題（初等變換等）的必要性,矩陣的初等變換和方程組的同解變換間的關(guān)系.三教學(xué)過程1．引例：解方程組2占+—電+5x3=2（1）定義：我們把上述三種變換叫做方程組的初等變換,且依次叫換法變換、倍法變換、消法變換.2．消元法的理論依據(jù)TH4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組（即線性方程組的初等變換是同解變換.）3．轉(zhuǎn)引在上面的討論中,我們看到在對方程組作初等變換時(shí),只是對方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了運(yùn)算,而未知數(shù)沒有參加運(yùn)算,也就是說線性方程組有沒有解以及有什么樣的解完全決定于它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),因此在討論線性方程組時(shí),主要是研究它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).因而消元法的過程即用初等變換把方程組化為階梯形方程組,來解決求解問題,此可轉(zhuǎn)用另一種形式表述.為此引入：4．矩陣及其初等變換1）概念定義1由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)列（數(shù)）表叫做一個(gè)列（或）矩陣.

叫做這個(gè)矩陣的元素；常用大寫字母A、B等表示矩陣，有時(shí)為明確矩陣記為或.叫內(nèi)十&鳥十…一片產(chǎn).叫內(nèi)十&鳥十…一片產(chǎn)“上a、如為+3+…+3=電a\\ a\2 - aitt0K…樂*Aa ?*??ua a兄m2…。加用,用A表示；由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)作成的矩陣‘叫…明瓦'a2\…a2n與**■ *口*X*** 44用A定義補(bǔ)由線性方程組的系數(shù)作成的矩陣叫做線性方程組的系數(shù)矩陣,叫做線性方程組的增廣矩陣,表示.2）矩陣的初等變換定義2矩陣的（列）初等變換指的是對一個(gè)矩陣作下列變換（1）交換矩陣的兩行（列）； （換法變換）（2）用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（倍法變換）（3）用一個(gè)數(shù)乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法變換）3）線性方程組的同解變換與矩陣的初等變換的關(guān)系顯然,對一個(gè)線性方程組施行的同解變換即一個(gè)方程組的初等變換,相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行對應(yīng)的行初等變換；而化簡線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡它的增廣矩陣.因此將要通過化簡矩陣來討論化簡方程組的問題,這樣做不僅討論起來方便,而且能夠給予我們一種方法,就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來解這個(gè)線性方程組,而不必每次把未知量寫出（我國古代數(shù)學(xué)書《九章算術(shù)》（三世紀(jì)）中就是用這種方法解線性方程組的,成為算籌.）下面的問題是,化簡到什么形式、什么程度,理論上將給予解決.4）矩陣經(jīng)初等變換（行、列）化為階梯形矩陣TH4.1.2設(shè)A是個(gè)行列矩陣：,則A可經(jīng)過一系列行初等變換和第一種列初等變換化為如下形式:T*I* *?！?0i李… 半等… 豐000■■■1%■,**000---00-0■■■?金?rmA00■■■00■,,0

.其中表示不同的元素..其中表示不同的元素.f100…o%+1010…0Clr+\…C2n**■**■■??即■**■■■■■■()00-■■1…J(){)0… 00…0?**?#*1000…00…0)r>0,r <網(wǎng),"對5)用矩陣的初等變換解線性方程組對線性方程組：a內(nèi)卜/，工?…=a*內(nèi)1啊/［一■?+=%?mt-?以再-%工電4?…?+ .(1)由定理1其系數(shù)矩陣可經(jīng)過行初等變換和列換法變換化為<100…oGr+1…％J010…0勺山…C端喟#+000…1C"…。000…00…o00…00…0,；則對其增廣矩陣作同樣的初等變換可化為1°0…0clftl…?出、0…1%+L■■-Jn心0…00…0%+E■fi-fi!??■■0…000diftJi0,從而方程組（1）與7?所對應(yīng)的方程組3+%，」.%+］十….+ =<。=d…。乜（2）在某種意義上同解（此M，8，…，X的一個(gè)重新排序）.下面討論（2）的解的情況：情形1：當(dāng)且不全為零時(shí),因有矛盾式（2）無解,故（1）無解.情形2：當(dāng)時(shí),（2）直觀上無矛盾式,且與（3）.Vi+Q『+J川+.,?+〃.%=d\,>2+l'u+iMt+i十一.+亡次產(chǎn)附=k」FTC抨^441+.?.+'"」、=<同解.當(dāng)r=n時(shí)，（3）即為M=4y%~也有唯一解；當(dāng)r-<n時(shí)，（3）即為'k=4-"+尸… %,義、.*二d2—尸’11 C2^y?』.==-—-Ml J%,于是任給『r+T*,1凡一組值TOC\o"1-5"\h\z，可得（3）的一個(gè)解：\vi=&一川 舄|>12=必 5瓦J'.=dr_廣〃_止,+1 心3j"=M+】**■工品■兄=k.，這也是（1）的解，由4+1/"、亞昆的任意性（1）有無窮多解.例1解線性方程組修+2叫+ +x4=52G卜4x:—xA=-3—工[一2工w+5馬+2/=8/]+2x2-9馬一5%=-21解：對增廣矩陣作行初等變換：所原方程組與方程組同解,故原方程組的一般解為廣=一「2年+%

巧吟一亂.4.2矩陣的秩線性方程組可解判別法一教學(xué)思考1．本節(jié)在上節(jié)消元法對線性方程組的解的討論的基礎(chǔ)上,引入了矩陣的秩的概念,以此來表述有解判定定理,在有解時(shí)從系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)的個(gè)數(shù)間的關(guān)系可討論解的個(gè)數(shù),其中在有無數(shù)解時(shí)引入了一般解與通解的概念.2．矩陣的秩的概念是一個(gè)重要的概念,學(xué)生易出問題.定義的表述不易理解,應(yīng)指出秩是一個(gè)數(shù)（非負(fù)整數(shù)）r,其含義是至少有一個(gè)r階非零子式,所有大于r階（若有時(shí)）子式全為0.重要的是“秩”的性質(zhì)一一初等變換下不變，提供了求秩的另一方法——初等變換法.3．本節(jié)內(nèi)容與上一節(jié)和下一節(jié)互有聯(lián)系,結(jié)論具體,方法規(guī)范,注意引導(dǎo)總結(jié)歸納.二內(nèi)容要求內(nèi)容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理二教學(xué)過程1．矩陣的秩（1）定義1）在矩陣4xi中，任取k行k列（k<5J）位于這些行列交點(diǎn)處的元素構(gòu)成的k階行列式叫作矩陣A的一個(gè)k階子式.2）矩陣中,不等于零的子式的最大階數(shù)叫做矩陣A的秩；若A沒有不等于零的子式,認(rèn)為其秩為零.A的秩記為秩（A）或2．矩陣的秩的初等變換不變性TH4.2.1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.3．一般線性方程組解的理論對線性方程組：丹內(nèi)十注3十…十白""三力

叫用+啊也+…+%，產(chǎn)%

,1時(shí)/14日盤心1…T。碗勺=后出(1)由上節(jié)知，對(1)的系數(shù)矩陣A-「知公…叫廣"上1 022 …/N星?? ??■修■?■■H［口川口皿2***"e舁/可經(jīng)過行初等變換和列換法變換化為f10 。一,0c\F-t-1 *Q1 0八-0C2r+i*? C2K■ ■■■t■***■ *?B()00---1%制.?J()0 0?，,00，,0■」中!l?-I- W? V?I；。0。-，00,■0,則對其增廣矩陣A作同樣的初等變換可化為「“Get…c["1.、，■■■AA*百=00…1…c'm400…0 0…0九、00…0 00必，'.則(1)與7?相應(yīng)的方程組同解；由上節(jié)討論知：當(dāng)r=m時(shí),即r(4)—r(/1)時(shí)（1）有解；當(dāng)不全為零時(shí),即，⑷<r(A)時(shí),（1）無解.總之：（1）有解r(/I)—r(A),且在（1）有解時(shí)：當(dāng),即r(A)—r(A)—n時(shí)有唯一解；當(dāng)r<n,即r(A)=r(A)<n時(shí)有無窮解.此即TH4.2.2-3線性方程組（1）有解TOC\o"1-5"\h\z<->r（A）— ，）;當(dāng)r=n，即 _r（A）—r（A）—n時(shí)有唯一解；當(dāng)r<n，即 _r（A）—r（A）<n時(shí)有無窮解.例1判斷方程組有無解？有解時(shí),求一般解.再+均+覆+X44-招=13拓+2兩十石+為-3/=一34+2工;+2x4+6x5=6

5x}+4/+3』+36一工§二一1例2對進(jìn)行討論,何時(shí)方程組有解,無解；有解時(shí)求一般解.丸C1十總十馬—1再4-/LjC3+/=A

百一x2+五工t=Z24.3線性方程組的公式解一教學(xué)思考1．本節(jié)在理論上解決了當(dāng)線性方程組有解時(shí),用原方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)將解表示出來——即公式解,結(jié)論的實(shí)質(zhì)是克拉默法則的應(yīng)用.其中過程是在有解判定的基礎(chǔ)上選擇r個(gè)適當(dāng)方程而得，可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇），內(nèi)容規(guī)范完整,理論作用較大,實(shí)用性較小.2．作為特殊的線性方程組——齊次線性方程組的解的理論有特殊的結(jié)果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區(qū)別,解的存在性、解的個(gè)數(shù)等）.二內(nèi)容要求1．內(nèi)容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解2．要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結(jié)論三教學(xué)過程1．線性方程組的公式解本節(jié)討論當(dāng)方程組為1巧十。二三Hh 二匕］+q第工二十一‘十"百土耳二九（1）有解時(shí),用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)把解表示出來的問題—-公式解.處理這個(gè)問題用前面的方法——消元法是不行的,因?yàn)檫@個(gè)過程使得系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)發(fā)生了改變,但其思想即化簡得同解線性方程組的思想是重要的,所以現(xiàn)今能否用其它方法把（1）化簡得同解方程組且系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)不變,才可能尋求公式解.為此看例,考察工?+2jt?-x3-2>gJ,2x,一3馬+Xj=3,（G2）鉆+士-三=7,（4）（2）顯然—間有關(guān)系=2G+G，此時(shí)稱a是G的結(jié)果（即可用GG線性表示）.則方程組（2）與x：+2x3-x3=2（G］）——3%+三=3（GJ同解.同樣地,把（1）中的個(gè)方程依次用表示,若在這個(gè)方程中,某個(gè)方程代是其它若干個(gè)方程的結(jié)果,則可把（i）中的舍去,從而達(dá)到化簡的目的.即現(xiàn)在又得到化簡（1）的方法：不考慮（1）中那些是其它若干個(gè)方程的結(jié)果,而剩下的方程構(gòu)成與（1）同解的方程組.現(xiàn)在的問題是這樣化簡到何種程度為止,或曰這樣化簡的方程組最少要保留原方程組中多少個(gè)方程.由初等變換法,若（1）的r[A}-r,則可把（1）歸結(jié)為解一個(gè)含有個(gè)方程的線性方程組.同樣TH4.3.1設(shè)方程組（1）有解，r（M）=r（A）=*0），則可以在（1）中的m個(gè)方程中選取r個(gè)方程,使得剩下的m-r個(gè)方程是這個(gè)方程的結(jié)果.因而解（1）歸結(jié)為解由這r個(gè)方程組成的方程組.下看如何解方程組：此時(shí)原方程組與同解.r-n時(shí)有唯一解,且上述方程組的系數(shù)行列式不等于0,由克拉