1第四章空間力系2靜力學(xué)

空間力系—各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系。空間力系是最一般的力系?？煞譃?/p>

(a)空間匯交力系；(b)空間力偶系；

(c)空間任意力系（特例：空間平行力系）。迎面風(fēng)力側(cè)面風(fēng)力c第四章空間力系3靜力學(xué)§4-1空間匯交力系一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影與分解上述方法稱為直接投影法。力在直角坐標(biāo)軸上的投影為4靜力學(xué)

當(dāng)力與各坐標(biāo)軸正向間的夾角不易確定時(shí)，可先將F投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即上述方法稱為間接投影法。5靜力學(xué)

將力F沿直角坐標(biāo)軸分解，其分量分別為，則：FxFyFz

若已知力F的三個(gè)投影X、Y、Z，則力沿坐標(biāo)軸分解：6靜力學(xué)

1、幾何法：與平面匯交力系的合成方法相同，也可用（空間）

力多邊形方法求合力。二、空間匯交力系的合成由于，代入上式，得合力即：合力等于各分力的矢量和，且合力的作用線通過匯交點(diǎn)。2、解析法：7靜力學(xué)

于是合力的大小和方向余弦為三、空間匯交力系的平衡

此即空間匯交力系的平衡方程。解析法：平衡充要條件為幾何法：平衡充要條件為該力系的力多邊形自行封閉。空間匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：8靜力學(xué)[例]

直桿AB、AC鉸接于A點(diǎn)，自重不計(jì)，其下懸掛一物體重W＝1000N，并用繩子AD吊住，如圖(a)所示。已知AB與AC等長且互相垂直，∠OAD＝30o

，圖中O、B、A、C在同一水平面上，B、C處均為球鉸鏈，求桿AB和AC及繩子AD所受的力。9靜力學(xué)解得

解

取銷釘A為研究對(duì)象，受力如圖

b)，為空間匯交力系。10[例]

物塊G重為10kN，掛在D點(diǎn)，如圖所示。A、B、C三點(diǎn)用鉸鏈固定，試求DA、DB、DC桿所受的力。

靜力學(xué)11解：取結(jié)點(diǎn)D為研究對(duì)象。因三桿均為二力桿，設(shè)均受拉力，則D點(diǎn)受力如圖所示，列平衡方程：靜力學(xué)

SC=33.5kN，SA=SB=－26.4kN(受壓)解得：12靜力學(xué)

在研究空間力系時(shí)，力對(duì)點(diǎn)的矩有三個(gè)要素：力矩的大小、轉(zhuǎn)向及力矩的作用面。這三個(gè)要素可以用一個(gè)矢量表示。§4-2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩一、力對(duì)點(diǎn)的矩—力矩矢即：力對(duì)點(diǎn)的矩矢等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。注意：力矩矢的始端必須在矩心，不可任意挪動(dòng)，為定位矢量。13靜力學(xué)

若以矩心O為原點(diǎn)作空間坐標(biāo)系Oxyz，并記力作用點(diǎn)為A（x，y，z），力的投影為X、Y、Z，則此即力矩矢的解析表達(dá)式。力矩矢在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為14靜力學(xué)定義：為代數(shù)量。符號(hào)規(guī)定：從z軸正端看，+–?；虬从沂致菪▌t。二、力對(duì)軸的矩結(jié)論：力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。此外，由力矩的解析表達(dá)式有同理：以上三式即力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式。15靜力學(xué)即：三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系[證]由幾何關(guān)系：所以：16靜力學(xué)

定理：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的任意軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。

由于則力對(duì)點(diǎn)O之矩的大小及方向?yàn)椋鹤⒁猓褐苯亲鴺?biāo)軸x，y，

z通過O點(diǎn)。17靜力學(xué)§4-3空間力偶系

由于空間力偶除大小、轉(zhuǎn)向外，還須確定力偶的作用面，所以空間力偶矩必須用矢量—力偶矩矢表示。 一、力偶矩用矢量表示—力偶矩矢力偶矩矢的指向與力偶轉(zhuǎn)向服從右手螺旋法則。注意：①可以證明，空間力偶對(duì)空間任一點(diǎn)的矩矢都等于力偶矩矢，與矩心位置無關(guān)。（或：從力偶矩矢末端看去，力偶轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針。）②力偶矩矢無需確定矢的初端位置，為自由矢量。18故力偶矩矢是空間力偶作用效果的唯一度量。靜力學(xué)

作用在同一剛體上的兩個(gè)空間力偶，若其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。

三、空間力偶系的合成與平衡

可以證明，任意個(gè)空間力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。即將上式分別向x、y、z軸投影，有二、空間力偶等效定理19靜力學(xué)則有：

顯然，空間力偶系平衡的充要條件是：該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有各力偶矩矢的矢量和等于零。為空間力偶系的平衡方程（三個(gè)獨(dú)立方程）。即空間力偶系平衡的充要條件是：該力偶系中所有各力偶矩矢在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。20靜力學(xué)應(yīng)用力的平移定理，同樣可以把空間任意力系向一點(diǎn)簡化?！?-4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢與主矩

設(shè)作用在剛體上有空間一般力系

向O點(diǎn)簡化(O點(diǎn)為任選）。Ⅰ.空間任意力系向一點(diǎn)的簡化21靜力學(xué)①根據(jù)力的平移定理，將各力平行移到O點(diǎn)得到一空間匯交力系和附加的空間力偶系。其中，②由于空間力偶是自由矢量，故均可平移至O點(diǎn)。22靜力學(xué)③合成 得主矢，即（主矢通過簡化中心O，其大小、方向與O點(diǎn)的選擇無關(guān)）合成 得主矩，即（主矩與簡化中心O有關(guān)）23靜力學(xué)

空間任意力系向一點(diǎn)簡化得一主矢和一主矩，下面針對(duì)主矢、主矩的不同情況分別加以討論：1、若 ,則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。2、若 ，則力系合成為一合力偶，其矩等于原力系對(duì)于簡化中心的主矩，此時(shí)主矩與簡化中心的位置無關(guān)。3、若 ,則力系可合成為一合力，合力的作用線通過簡化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。Ⅱ.空間任意力系的簡化結(jié)果分析24靜力學(xué)1）

2）3）R′不垂直也不平行M0

4、若 ，此時(shí)又分三種情況。即：由于①

將MO變成(R''

,R)且使R''＝－R'

，則R'與R''抵消只剩下R。故

R＝R'

，但其作用線離簡化中心O的距離為d。25靜力學(xué)

空間任意力系向O點(diǎn)簡化后得主矢R‘和主矩MO,若R’MO，則可進(jìn)一步合成為一個(gè)作用在點(diǎn)O'的合力R。空間任意力系的合力矩定理將上式投影到通過O點(diǎn)的z軸，得26靜力學(xué)力螺旋：由一力和一力偶組成的力系，其中力垂直于力偶的作用面（例：擰螺絲）。力螺旋的力作用線稱為力螺旋的中心軸。②

——

為力螺旋的情形。''27靜力學(xué)M使主矢R'平移，平移的距離：

對(duì)M//，因?yàn)槭亲杂墒噶?，故可將M//

平移到O‘處，所以在O’點(diǎn)處形成一個(gè)力螺旋，其中心軸不在簡化中心O?？梢?，一般情形下空間任意力系可合成為力螺旋。③

R′不垂直也不平行M0

，成一般的任意角在此種情況下，<1>首先把MO

分解為M和M//<2>然后將M按①處理。28靜力學(xué)

一、空間任意力系的平衡方程所以空間任意力系的平衡方程（六個(gè)）為：§4-5空間任意力系的平衡方程特例：空間平行力系的平衡方程則空間平行力系只有三個(gè)方程，即空間任意力系平衡的充要條件是：取z軸//各力線，由于29靜力學(xué)二、空間約束

判斷空間約束力的基本方法：

觀察被約束物體在空間可能的六種運(yùn)動(dòng)中（沿三軸的移動(dòng)和繞三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)），哪幾種運(yùn)動(dòng)被約束所阻礙。阻礙移動(dòng)的為約束力，阻礙轉(zhuǎn)動(dòng)的為約束力偶。

幾種常見的空間約束的類型及其相應(yīng)的約束力，如教材88頁的表4－1所示。三、空間力系平衡問題舉例

空間任意力系共有6個(gè)獨(dú)立的平衡方程，其形式可不限于標(biāo)準(zhǔn)形式（力矩平衡方程的數(shù)目可取3～6個(gè)）。

為解題方便，每個(gè)平衡方程中最好只含一個(gè)未知力。因而選投影軸時(shí)應(yīng)盡量與其余未知力垂直；在選取矩的軸時(shí)應(yīng)盡量與其余未知力平行或相交。30靜力學(xué)解：取正方形板為研究對(duì)象，知DE桿為二力桿，板受力分析如圖所示。選取坐標(biāo)軸如圖，列平衡方程：

[例]

正方形板ABCD重為P，由蝶形鉸鏈A和B固定在墻上，并用斜桿ED支承，使正方形板ABCD成水平面位置，設(shè)正方形的邊長為a，試求鉸鏈A、B的約束反力以及桿ED所受的力。31靜力學(xué)解得：XA=－P/2ZA=0XB=0ZB=P/232靜力學(xué)[例]如圖勻質(zhì)矩形平板，重為P=800N，用三條鉛垂繩索懸掛在水平位置，一繩系在一邊的中點(diǎn)A處，另兩繩分別系在對(duì)邊距各端點(diǎn)均為邊長的B、C點(diǎn)上，求各繩所受的拉力。解得：解：取正方形板為研究對(duì)象，作受力圖，選取坐標(biāo)如圖，列平衡方程：33靜力學(xué)

平行力系中心:同方向（空間）平行力系合力的作用點(diǎn)?！?-6平行力系的中心物體的重心一、平行力系中心如何確定平行力系中心C

的位置？

由合力矩定理：即：

平行力系中心的位置取決于各平行力的大小、作用點(diǎn)位置，而與各平行力的方向無關(guān)。34靜力學(xué)設(shè)各平行力方向的單位矢量為，則于是從而將上式投影到直角坐標(biāo)軸上，得35靜力學(xué)

設(shè)物體由幾個(gè)部分組成，其中第i

部分重為Pi，重心為（xi，yi，zi），則得重心坐標(biāo)計(jì)算公式為二、重心

作用在物體上的重力為一分布的空間平行力系，此平行力系的中心即重心。36靜力學(xué)

設(shè)第i個(gè)小部分每單位體積的重量（即容重）為i

，體積為△Vi，則，代入上式并取極限，得：式中 為物體的重量。上式為重心C坐標(biāo)的精確公式。對(duì)均質(zhì)物體，=常數(shù)，上式成為：式中V為物體的體積。這時(shí)物體的重心僅決定于物體的形狀，就是幾何中心（即形心）。37

解：由于對(duì)稱關(guān)系，該圓弧重心必在Ox軸，即yC=0。[例]求半徑為R，頂角為2的均質(zhì)圓弧的重心。O靜力學(xué)①簡單幾何形狀物體的重心：P95的表4－2，或按公式積分。三、確定物體重心的方法取微段38靜力學(xué)②用組合法求重心a)分割法b)負(fù)面積/體積法解：[例]求如圖組合截面的重心位置。39靜力學(xué)<2>稱重法③用實(shí)驗(yàn)方法測定重心的位置<1>懸掛法40靜力學(xué)第四章《空間力系》習(xí)題課

1、空間力偶及空間力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量。

2、空間力對(duì)軸之矩和平面力偶、平面力對(duì)點(diǎn)之矩是代數(shù)量。

3、空間力系合力投影定理：

4、空間力系的合力矩定理：

5、空間力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)軸之矩的關(guān)系：一、注意點(diǎn)：41靜力學(xué)二、平衡方程空間任意力系空間匯交力系空間力偶系空間∥Z

軸力系42靜力學(xué)[例]曲桿ABCD，已知