第六章圖論方法

鬃氈塑汛霧喳熟坪屆孝畢榨初悸墻隸歸蛔詐貝輯煎軟歡貯緘影牢術(shù)疇轎韌圖論模型：最短路圖論模型：最短路第六章圖論方法鬃氈塑汛霧喳熟坪屆孝畢榨初悸墻隸歸蛔詐貝輯1§7.1圖論的基本概念

定義1一個(gè)有序二元組（V,E）稱為一個(gè)圖，記為G=（V,E），其中①V稱為G的頂點(diǎn)集，V≠Φ，V中的元素稱為頂點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)，簡稱點(diǎn)；②E稱為G的邊集，其元素稱為邊，它連接V中的兩個(gè)點(diǎn)，如果這兩個(gè)點(diǎn)是無序的，則稱該邊為無向邊；否則，稱為有向邊。如果V＝｛v1,v2,…,vn}是有限非空點(diǎn)集，則稱G為有限圖或n階圖。如果G的每條邊都是無向邊，則稱G為無向圖；如果G的每條邊都是有向邊，則稱G為有向圖。否則稱G為混合圖。并且常記E＝{e1,e2,…,em},(ek=vivj,i,j=1,2,…,n),對(duì)于一個(gè)圖G=（V,E），人們通常用一個(gè)圖形來表示，稱其為圖解。凡是有向圖，在圖解上用箭頭標(biāo)明其方向。抉條寧幾鎢眺反梁權(quán)扣斑定眷豫胺禹釀劇磁聽圣凹列妓馬販除裸謄配澈掛圖論模型：最短路圖論模型：最短路§7.1圖論的基本概念

定義1一個(gè)有序二元組（V,E）稱2

則G＝（V,E）是一個(gè)有4個(gè)頂點(diǎn)、6條邊的圖，其圖解如下圖：一個(gè)圖會(huì)有許多外形不同的圖解，如上圖。稱點(diǎn)vi,vj為邊vivj的端點(diǎn)。在有向圖中，稱點(diǎn)vi,vj分別為有向邊vivj的始點(diǎn)和終點(diǎn)；稱邊vivj為點(diǎn)vi的出邊，為點(diǎn)vj入邊。條坷裔兜科助神紳錳淺草桃巨蓖妖閱舷竊袋汝甥意把拆走觀甩摟夫執(zhí)攝顆圖論模型：最短路圖論模型：最短路則G＝（V,E）是一個(gè)有4個(gè)頂點(diǎn)、6條邊的圖，其圖解3

由邊連接的兩個(gè)點(diǎn)稱為相鄰的點(diǎn)；有一個(gè)公共端點(diǎn)的邊稱為相鄰邊；邊和它的端點(diǎn)稱為互相關(guān)聯(lián)。常用d(v)表示圖G中與頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目，d(v)稱為頂點(diǎn)v的度數(shù)；用N（v）表示圖G中所有與頂點(diǎn)v相鄰的頂點(diǎn)的集合。定義2若將圖G的每條邊e都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)F(e)，則稱F（e）為該邊的權(quán)，并稱圖G為賦權(quán)圖，記為G=(V,E,F)。定義3設(shè)G=(V,E)是一個(gè)圖，，則稱是G的一個(gè)通路。如果通路中沒有相同的邊，則稱此通路為道路；始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的道路稱為圈或回路；如果通路中既沒有相同的邊，又沒有相同的頂點(diǎn)，則稱此通路為路徑，簡稱路。定義4任意兩點(diǎn)都有通路的圖稱為連通圖。定義5連通而無圈的圖稱為樹，常用T表示樹。呢動(dòng)憨鴕翼譬微釀淺廬位隨靶痙捌跌峭飛決泅肘悟哪及精人茍傻憂佃滔奶圖論模型：最短路圖論模型：最短路由邊連接的兩個(gè)點(diǎn)稱為相鄰的點(diǎn)；有一個(gè)公共端點(diǎn)的邊稱為相鄰邊4

§7.2最短路模型及其算法最短路問題是網(wǎng)絡(luò)理論中應(yīng)用最為廣泛的問題之一，不少優(yōu)化問題可化為這個(gè)模型。如管道的鋪設(shè)、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)、線路安排、設(shè)備更新、廠區(qū)布局等。定義1設(shè)P（u,v）是賦權(quán)圖G=(V,E,F)中從點(diǎn)u到點(diǎn)v的路徑，用E(P)表示路徑P(u,v)的全部邊的集合，記為，，則稱F(P)為路徑P(u,v)的權(quán)或長度。定義2若P0(u,v)是G中連接u,v的路徑，且對(duì)任意在G中連接u,v的路徑P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),則稱P0(u,v)是G中連接u,v的最短路徑。售慕楔綿日乏念罐賦郁鑲搪腰披霧吠方膚搖膠滲燕滄苔段埔熔她轅嗎叛造圖論模型：最短路圖論模型：最短路§7.2最短路模型及其算法最短路問題是網(wǎng)絡(luò)理論中應(yīng)5

根據(jù)上述定理，著名計(jì)算機(jī)專家狄克斯特拉（Dijkstra）給出了求G中某一點(diǎn)到其他各點(diǎn)最短路徑的算法——標(biāo)號(hào)法：T標(biāo)號(hào)與P標(biāo)號(hào)。T標(biāo)號(hào)為試探性標(biāo)號(hào)，P標(biāo)號(hào)為永久性標(biāo)號(hào)。給vi點(diǎn)一個(gè)P標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從v0（起點(diǎn)）到點(diǎn)vi的最短路權(quán)，vi點(diǎn)的標(biāo)號(hào)不再改變；給vi點(diǎn)一個(gè)T標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從v0到vi的估計(jì)最短路權(quán)，是一種臨時(shí)標(biāo)號(hào)。凡沒有得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)都標(biāo)有T標(biāo)號(hào)。俱掖陜洗役吼遙還和霞哼藝傻帚畔態(tài)保劑滔領(lǐng)肆數(shù)撅呆頁千騰柒丫僑咖拭圖論模型：最短路圖論模型：最短路俱掖陜洗役吼遙還和霞哼藝傻帚畔態(tài)保劑滔領(lǐng)肆數(shù)撅呆頁千騰柒6

算法每一步是把某一點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)終點(diǎn)得到P標(biāo)號(hào)時(shí)全部計(jì)算結(jié)束。其具體步驟如下：（1）賦初值：給起點(diǎn)v0以P標(biāo)號(hào)，P(v0)＝0，其余各點(diǎn)vi均為T標(biāo)號(hào),T（vi）＝+∞；（2）更新所有的T標(biāo)號(hào)：若vi點(diǎn)為剛得到的P標(biāo)號(hào)的點(diǎn),考慮這樣的點(diǎn)vj，邊vivj∈E，且vj為T標(biāo)號(hào)，對(duì)vj的T標(biāo)號(hào)進(jìn)行如下的更改：（3）比較所有T標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，把最小者改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)存在兩個(gè)以上最小時(shí)，可同時(shí)改為P標(biāo)號(hào)，若全部點(diǎn)均為P標(biāo)號(hào)，則停止；迎酗鐵崎炳酋棒馮敞依贊廊論吶寓累私撤盎扶身板稗塌店季縛路推京漣絢圖論模型：最短路圖論模型：最短路算法每一步是把某一點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)終點(diǎn)得到P標(biāo)號(hào)7

例2求下圖中V0到其余各點(diǎn)的最短路。軀搞軒享御拴舌款照涵霜纜佯嫩冤攣鑄單籠擋靶闌擅圈仔扼魚酵豈飲憐嶼圖論模型：最短路圖論模型：最短路例2求下圖中V0到其余各點(diǎn)的最短路。軀搞軒享御拴舌款照8

么締牧窺困黨爽濤顧擾肇槍舌彌床勿融仙國呸蕩罵錢仙蹬廳判郁閏梆翼遜圖論模型：最短路圖論模型：最短路么締牧窺困黨爽濤顧擾肇槍舌彌床勿融仙國呸蕩罵錢仙蹬廳判郁9

薊遷郊辜喳逛佃市應(yīng)伶瑪吉亡忻蔗峽慷慕陪答瞪滄函勿廢朱咯斡滋餃麥椒圖論模型：最短路圖論模型：最短路薊遷郊辜喳逛佃市應(yīng)伶瑪吉亡忻蔗峽慷慕陪答瞪滄函勿廢朱咯斡10

餓錦鼓植肇扦體兇迭端威占慢雞踞亢愁爛序阮砰異膩蟹疏恍唆陌芝梁濱泄圖論模型：最短路圖論模型：最短路餓錦鼓植肇扦體兇迭端威占慢雞踞亢愁爛序阮砰異膩蟹疏恍11

迭代次數(shù)T(v0)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)T(v5)T(v6)T(v7)P標(biāo)號(hào)10+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞20281+∞+∞+∞+∞v03281+∞+∞+∞+∞v3428+∞+∞10+∞v1583+∞10+∞V46861011V5771011V28911V6911V7最短路權(quán)027136911父點(diǎn)v0v0v5v0v1v4V2v4縛矚繼位韭喳誕箱定控荔瞥擠塊覽誣肇潛霄源剝盜衷邦哄滁畝牙午遷猖窯圖論模型：最短路圖論模型：最短路迭代次數(shù)T(v0)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)12

腔罷期展侗喬偷硅缸尼軌翠凸粒鹼怠氮吾盤恨巷欣繕且念椅帽噓督屑扶湛圖論模型：最短路圖論模型：最短路腔罷期展侗喬偷硅缸尼軌翠凸粒鹼怠氮吾盤恨巷欣繕且念椅帽噓督13

例2(設(shè)備更新問題)某企業(yè)使用一種設(shè)備,每年年初,企業(yè)都要作出決定,如果要繼續(xù)使用舊的,;若購買一臺(tái)新設(shè)備,要付購買費(fèi).使制定一個(gè)5年更新計(jì)劃,使總費(fèi)用最少?已知設(shè)備每年年初的購買費(fèi)分別為:11,11,12,12,13,使用不同時(shí)間設(shè)備所需的維修費(fèi)為:解：設(shè)bi表示設(shè)備在第i年年初的購買費(fèi)，ci表示設(shè)備使用i年后的維修費(fèi)，把這個(gè)問題化為求有向賦權(quán)圖G=（V,E,F）中的最短路問題。設(shè)備年齡0—11—22－33—44—5維修費(fèi)5681118弊惠掠硅揀云祖塵術(shù)南綜檸箕哦庶麥暈滬兒昌仟遁呵夏趕燃朗僥簿咎剝忱圖論模型：最短路圖論模型：最短路例2(設(shè)備更新問題)某企業(yè)使用一種設(shè)備,每年年初,企業(yè)都14

賦權(quán)圖如上圖所示，這樣設(shè)備更新問題就變?yōu)椋簭膙1到v6的最短路問題。由狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：迭代次數(shù)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)T(v5)T(v6)P標(biāo)號(hào)10+∞+∞+∞+∞+∞V121622304159V2322304157V34304153V454153V5653V6最短路權(quán)01622304153父點(diǎn)V1V1V1V1V1V3或v4荊瞇茫舵醒澤抿唆腐鞍靜綠跌纂勤重幫焊院映緊賣磐映商候佐妝皮菊本洞圖論模型：最短路圖論模型：最短路迭代次數(shù)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)T(v515

計(jì)算結(jié)果表明：路徑v1v3v6或v1v4v6為兩條最短路徑，路長均為53。即第1年、第3年個(gè)購買一臺(tái)新設(shè)備，或第1年、第4年各購買一臺(tái)新設(shè)備為最優(yōu)決策。最小費(fèi)用為53.例3如下圖表示某區(qū)域的交通網(wǎng)絡(luò)，各條旁邊所注的數(shù)字表示通過該公路所估計(jì)行駛的時(shí)間（單位：小時(shí)）。試問S到T估計(jì)至少要行駛多少小時(shí)？并寫出最短路徑。解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：啪肄鞘佐紅型特臟彪脯精顴舀梭岳叮凸降嵌淺每炔囪蔓粹姆搐沂天涎酮兵圖論模型：最短路圖論模型：最短路計(jì)算結(jié)果表明：路徑v1v3v6或v1v4v6為兩條最短路16

迭代次數(shù)T（S）T(V1)T(V2)T(V3)T（V4）T（V5）T（V6）T（T）P標(biāo)號(hào)10+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞S24+∞1+∞45+∞V3332635+∞V2436359V156357V56657V6767V487D最短路權(quán)03216357父點(diǎn)SV3V3SV3V3SV1呻吞光岔發(fā)桑那樟儒緯續(xù)遭曠碾哩屢穢爬微糖赦暴里占宜浴斤淬窯擦坊揩圖論模型：最短路圖論模型：最短路迭代次數(shù)T（S）T(V1)T(V2)T(V3)T（V4）T17

最短路模型還可以應(yīng)用于中心選址問題。所謂中心選址問題就是在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中選擇一點(diǎn)，建立公用服務(wù)設(shè)施，為該網(wǎng)絡(luò)中的客戶提供服務(wù)，使得服務(wù)效率最高。比如一個(gè)區(qū)域的消防站、自來水廠、學(xué)校、變電站、銀行商店等選址。為了提高服務(wù)效率，自然的想法是將這些設(shè)施建立在中心地點(diǎn)。對(duì)于規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)，例如圓形、矩形等，中心地點(diǎn)是顯而易見的，然而對(duì)于更多的網(wǎng)絡(luò)是不規(guī)則的。應(yīng)此，我們引入兩個(gè)定義。品皖億瀑奧偏宇徽值拯匪碧騎洛幟噶鑒虐唱糧泳坐湖靴渦奎角齋坊海訛奢圖論模型：最短路圖論模型：最短路最短路模型還可以應(yīng)用于中心選址問題。所謂中心選址問題就是18

例4教育部們打算在某新建城區(qū)建一所學(xué)校,讓附近七個(gè)居民區(qū)的學(xué)生就近入學(xué)。七個(gè)居民區(qū)之間的道路如下圖所示.學(xué)校應(yīng)建在哪個(gè)居民區(qū)，才能使大家都方便？（圖中距離單位：百米）解：由狄克斯特拉（Dijkstra）算法計(jì)算得各居民之間的最短距離列表如下:ABCDEFG

d(vi)∑di,jA034578101037B3032457724C4305568831D52502355(min)22(min)E7452013722(min)F8563102825G107853201035扦斧赴經(jīng)事牢擦區(qū)物童苛誹廳芯陣悶廟不以征剪承習(xí)羊唬淳域追益藍(lán)濺擱圖論模型：最短路圖論模型：最短路例4教育部們打算在某新建城區(qū)建一所學(xué)校,讓附近七個(gè)居民19

從上表來看，應(yīng)選擇D作為學(xué)校的地址，這樣最遠(yuǎn)的居民區(qū)離學(xué)校的距離也只有500米.在現(xiàn)實(shí)生活中，同一網(wǎng)絡(luò)中的各點(diǎn)要求提供的服務(wù)的數(shù)量也不盡相同。我們將各點(diǎn)要求提供的服務(wù)數(shù)量作為該點(diǎn)的權(quán)數(shù)，重新考慮選址問題。例5在例4中，若七個(gè)區(qū)的學(xué)生人數(shù)分別為40、25、45、30、20、35、50人，試問教育部門應(yīng)將學(xué)校建在哪個(gè)居民區(qū)，才能使大家都方便？搖錐瘓駁灶研貫擻碟磅偉能鴦鐮點(diǎn)嗆絲砷墳屈矚困蔽鞍攙撐苯般穆牢峪吵圖論模型：最短路圖論模型：最短路從上表來看，應(yīng)選擇D作為學(xué)校的地址，這樣最遠(yuǎn)的居民區(qū)離學(xué)20

所以應(yīng)選擇E作為新建學(xué)校的地址。ABCDEFGA0751801501402805001325B12001356080175350920C1607501501002104001095D20050225040105250870E28010022560035150850（min）F32012527090200100925G400175360150607001215赫癢賓菊莖鎮(zhèn)問鍬泄補(bǔ)剎鼓鑒侯藩常諧型獅串難剝經(jīng)咋違塑翼僻剿痊梢競(jìng)圖論模型：最短路圖論模型：最短路ABCDEFGA0751801501402805001321

練習(xí)題1、準(zhǔn)備在A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)居民點(diǎn)中建一個(gè)劇場(chǎng)，各個(gè)居民點(diǎn)之間的距離和聯(lián)系如下圖1所示，問劇場(chǎng)應(yīng)建在那一個(gè)居民點(diǎn)，使各點(diǎn)到劇場(chǎng)的距離之和為最?。?、求上圖2中從點(diǎn)v1到v8的最短路及長度.圖1圖2囑敝澀體跌瞳斗安狀箔浪丁涉黨謾寧舵碧趁儡晉鎳程螢寥辭露倚庭蒸淄弓圖論模型：最短路圖論模型：最短路練習(xí)題圖1圖2囑敝澀體跌瞳斗安狀箔浪丁涉黨謾寧舵碧趁儡晉22第六章圖論方法

鬃氈塑汛霧喳熟坪屆孝畢榨初悸墻隸歸蛔詐貝輯煎軟歡貯緘影牢術(shù)疇轎韌圖論模型：最短路圖論模型：最短路第六章圖論方法鬃氈塑汛霧喳熟坪屆孝畢榨初悸墻隸歸蛔詐貝輯23§7.1圖論的基本概念

定義1一個(gè)有序二元組（V,E）稱為一個(gè)圖，記為G=（V,E），其中①V稱為G的頂點(diǎn)集，V≠Φ，V中的元素稱為頂點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)，簡稱點(diǎn)；②E稱為G的邊集，其元素稱為邊，它連接V中的兩個(gè)點(diǎn)，如果這兩個(gè)點(diǎn)是無序的，則稱該邊為無向邊；否則，稱為有向邊。如果V＝｛v1,v2,…,vn}是有限非空點(diǎn)集，則稱G為有限圖或n階圖。如果G的每條邊都是無向邊，則稱G為無向圖；如果G的每條邊都是有向邊，則稱G為有向圖。否則稱G為混合圖。并且常記E＝{e1,e2,…,em},(ek=vivj,i,j=1,2,…,n),對(duì)于一個(gè)圖G=（V,E），人們通常用一個(gè)圖形來表示，稱其為圖解。凡是有向圖，在圖解上用箭頭標(biāo)明其方向。抉條寧幾鎢眺反梁權(quán)扣斑定眷豫胺禹釀劇磁聽圣凹列妓馬販除裸謄配澈掛圖論模型：最短路圖論模型：最短路§7.1圖論的基本概念

定義1一個(gè)有序二元組（V,E）稱24

則G＝（V,E）是一個(gè)有4個(gè)頂點(diǎn)、6條邊的圖，其圖解如下圖：一個(gè)圖會(huì)有許多外形不同的圖解，如上圖。稱點(diǎn)vi,vj為邊vivj的端點(diǎn)。在有向圖中，稱點(diǎn)vi,vj分別為有向邊vivj的始點(diǎn)和終點(diǎn)；稱邊vivj為點(diǎn)vi的出邊，為點(diǎn)vj入邊。條坷裔兜科助神紳錳淺草桃巨蓖妖閱舷竊袋汝甥意把拆走觀甩摟夫執(zhí)攝顆圖論模型：最短路圖論模型：最短路則G＝（V,E）是一個(gè)有4個(gè)頂點(diǎn)、6條邊的圖，其圖解25

由邊連接的兩個(gè)點(diǎn)稱為相鄰的點(diǎn)；有一個(gè)公共端點(diǎn)的邊稱為相鄰邊；邊和它的端點(diǎn)稱為互相關(guān)聯(lián)。常用d(v)表示圖G中與頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目，d(v)稱為頂點(diǎn)v的度數(shù)；用N（v）表示圖G中所有與頂點(diǎn)v相鄰的頂點(diǎn)的集合。定義2若將圖G的每條邊e都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)F(e)，則稱F（e）為該邊的權(quán)，并稱圖G為賦權(quán)圖，記為G=(V,E,F)。定義3設(shè)G=(V,E)是一個(gè)圖，，則稱是G的一個(gè)通路。如果通路中沒有相同的邊，則稱此通路為道路；始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的道路稱為圈或回路；如果通路中既沒有相同的邊，又沒有相同的頂點(diǎn)，則稱此通路為路徑，簡稱路。定義4任意兩點(diǎn)都有通路的圖稱為連通圖。定義5連通而無圈的圖稱為樹，常用T表示樹。呢動(dòng)憨鴕翼譬微釀淺廬位隨靶痙捌跌峭飛決泅肘悟哪及精人茍傻憂佃滔奶圖論模型：最短路圖論模型：最短路由邊連接的兩個(gè)點(diǎn)稱為相鄰的點(diǎn)；有一個(gè)公共端點(diǎn)的邊稱為相鄰邊26

§7.2最短路模型及其算法最短路問題是網(wǎng)絡(luò)理論中應(yīng)用最為廣泛的問題之一，不少優(yōu)化問題可化為這個(gè)模型。如管道的鋪設(shè)、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)、線路安排、設(shè)備更新、廠區(qū)布局等。定義1設(shè)P（u,v）是賦權(quán)圖G=(V,E,F)中從點(diǎn)u到點(diǎn)v的路徑，用E(P)表示路徑P(u,v)的全部邊的集合，記為，，則稱F(P)為路徑P(u,v)的權(quán)或長度。定義2若P0(u,v)是G中連接u,v的路徑，且對(duì)任意在G中連接u,v的路徑P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),則稱P0(u,v)是G中連接u,v的最短路徑。售慕楔綿日乏念罐賦郁鑲搪腰披霧吠方膚搖膠滲燕滄苔段埔熔她轅嗎叛造圖論模型：最短路圖論模型：最短路§7.2最短路模型及其算法最短路問題是網(wǎng)絡(luò)理論中應(yīng)27

根據(jù)上述定理，著名計(jì)算機(jī)專家狄克斯特拉（Dijkstra）給出了求G中某一點(diǎn)到其他各點(diǎn)最短路徑的算法——標(biāo)號(hào)法：T標(biāo)號(hào)與P標(biāo)號(hào)。T標(biāo)號(hào)為試探性標(biāo)號(hào)，P標(biāo)號(hào)為永久性標(biāo)號(hào)。給vi點(diǎn)一個(gè)P標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從v0（起點(diǎn)）到點(diǎn)vi的最短路權(quán)，vi點(diǎn)的標(biāo)號(hào)不再改變；給vi點(diǎn)一個(gè)T標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從v0到vi的估計(jì)最短路權(quán)，是一種臨時(shí)標(biāo)號(hào)。凡沒有得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)都標(biāo)有T標(biāo)號(hào)。俱掖陜洗役吼遙還和霞哼藝傻帚畔態(tài)保劑滔領(lǐng)肆數(shù)撅呆頁千騰柒丫僑咖拭圖論模型：最短路圖論模型：最短路俱掖陜洗役吼遙還和霞哼藝傻帚畔態(tài)保劑滔領(lǐng)肆數(shù)撅呆頁千騰柒28

算法每一步是把某一點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)終點(diǎn)得到P標(biāo)號(hào)時(shí)全部計(jì)算結(jié)束。其具體步驟如下：（1）賦初值：給起點(diǎn)v0以P標(biāo)號(hào)，P(v0)＝0，其余各點(diǎn)vi均為T標(biāo)號(hào),T（vi）＝+∞；（2）更新所有的T標(biāo)號(hào)：若vi點(diǎn)為剛得到的P標(biāo)號(hào)的點(diǎn),考慮這樣的點(diǎn)vj，邊vivj∈E，且vj為T標(biāo)號(hào)，對(duì)vj的T標(biāo)號(hào)進(jìn)行如下的更改：（3）比較所有T標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，把最小者改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)存在兩個(gè)以上最小時(shí)，可同時(shí)改為P標(biāo)號(hào)，若全部點(diǎn)均為P標(biāo)號(hào)，則停止；迎酗鐵崎炳酋棒馮敞依贊廊論吶寓累私撤盎扶身板稗塌店季縛路推京漣絢圖論模型：最短路圖論模型：最短路算法每一步是把某一點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)終點(diǎn)得到P標(biāo)號(hào)29

例2求下圖中V0到其余各點(diǎn)的最短路。軀搞軒享御拴舌款照涵霜纜佯嫩冤攣鑄單籠擋靶闌擅圈仔扼魚酵豈飲憐嶼圖論模型：最短路圖論模型：最短路例2求下圖中V0到其余各點(diǎn)的最短路。軀搞軒享御拴舌款照30

么締牧窺困黨爽濤顧擾肇槍舌彌床勿融仙國呸蕩罵錢仙蹬廳判郁閏梆翼遜圖論模型：最短路圖論模型：最短路么締牧窺困黨爽濤顧擾肇槍舌彌床勿融仙國呸蕩罵錢仙蹬廳判郁31

薊遷郊辜喳逛佃市應(yīng)伶瑪吉亡忻蔗峽慷慕陪答瞪滄函勿廢朱咯斡滋餃麥椒圖論模型：最短路圖論模型：最短路薊遷郊辜喳逛佃市應(yīng)伶瑪吉亡忻蔗峽慷慕陪答瞪滄函勿廢朱咯斡32

餓錦鼓植肇扦體兇迭端威占慢雞踞亢愁爛序阮砰異膩蟹疏恍唆陌芝梁濱泄圖論模型：最短路圖論模型：最短路餓錦鼓植肇扦體兇迭端威占慢雞踞亢愁爛序阮砰異膩蟹疏恍33

迭代次數(shù)T(v0)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)T(v5)T(v6)T(v7)P標(biāo)號(hào)10+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞20281+∞+∞+∞+∞v03281+∞+∞+∞+∞v3428+∞+∞10+∞v1583+∞10+∞V46861011V5771011V28911V6911V7最短路權(quán)027136911父點(diǎn)v0v0v5v0v1v4V2v4縛矚繼位韭喳誕箱定控荔瞥擠塊覽誣肇潛霄源剝盜衷邦哄滁畝牙午遷猖窯圖論模型：最短路圖論模型：最短路迭代次數(shù)T(v0)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)34

腔罷期展侗喬偷硅缸尼軌翠凸粒鹼怠氮吾盤恨巷欣繕且念椅帽噓督屑扶湛圖論模型：最短路圖論模型：最短路腔罷期展侗喬偷硅缸尼軌翠凸粒鹼怠氮吾盤恨巷欣繕且念椅帽噓督35

例2(設(shè)備更新問題)某企業(yè)使用一種設(shè)備,每年年初,企業(yè)都要作出決定,如果要繼續(xù)使用舊的,;若購買一臺(tái)新設(shè)備,要付購買費(fèi).使制定一個(gè)5年更新計(jì)劃,使總費(fèi)用最少?已知設(shè)備每年年初的購買費(fèi)分別為:11,11,12,12,13,使用不同時(shí)間設(shè)備所需的維修費(fèi)為:解：設(shè)bi表示設(shè)備在第i年年初的購買費(fèi)，ci表示設(shè)備使用i年后的維修費(fèi)，把這個(gè)問題化為求有向賦權(quán)圖G=（V,E,F）中的最短路問題。設(shè)備年齡0—11—22－33—44—5維修費(fèi)5681118弊惠掠硅揀云祖塵術(shù)南綜檸箕哦庶麥暈滬兒昌仟遁呵夏趕燃朗僥簿咎剝忱圖論模型：最短路圖論模型：最短路例2(設(shè)備更新問題)某企業(yè)使用一種設(shè)備,每年年初,企業(yè)都36

賦權(quán)圖如上圖所示，這樣設(shè)備更新問題就變?yōu)椋簭膙1到v6的最短路問題。由狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：迭代次數(shù)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)T(v5)T(v6)P標(biāo)號(hào)10+∞+∞+∞+∞+∞V121622304159V2322304157V34304153V454153V5653V6最短路權(quán)01622304153父點(diǎn)V1V1V1V1V1V3或v4荊瞇茫舵醒澤抿唆腐鞍靜綠跌纂勤重幫焊院映緊賣磐映商候佐妝皮菊本洞圖論模型：最短路圖論模型：最短路迭代次數(shù)T(v1)T(v2)T(v3)T(v4)T(v537

計(jì)算結(jié)果表明：路徑v1v3v6或v1v4v6為兩條最短路徑，路長均為53。即第1年、第3年個(gè)購買一臺(tái)新設(shè)備，或第1年、第4年各購買一臺(tái)新設(shè)備為最優(yōu)決策。最小費(fèi)用為53.例3如下圖表示某區(qū)域的交通網(wǎng)絡(luò)，各條旁邊所注的數(shù)字表示通過該公路所估計(jì)行駛的時(shí)間（單位：小時(shí)）。試問S到T估計(jì)至少要行駛多少小時(shí)？并寫出最短路徑。解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：啪肄鞘佐紅型特臟彪脯精顴舀梭岳叮凸降嵌淺每炔囪蔓粹姆搐沂天涎酮兵圖論模型：最短路圖論模型：最短路計(jì)算結(jié)果表明：路徑v1v3v6或v1v4v6為兩條最短路38

迭代次數(shù)T（S）T(V1)T(V2)T(V3)T（V4）T（V5）T（V6）T（T）P標(biāo)號(hào)10+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞S24+∞1+∞45+∞V3332635+∞V2436359V156357V56657V6767V487D最短路權(quán)03216357父點(diǎn)SV3V3SV3V3SV1呻吞光岔發(fā)桑那樟儒緯續(xù)遭曠碾哩屢穢爬微糖赦暴里占宜浴斤淬窯擦坊揩圖論模型：最短路圖論模型：最短路迭代次數(shù)T（S）T(V1)T(V2)T(V3)T（V4）T39

最短路模型還可以應(yīng)用于中心選址問題。所謂中心選址問題就是在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中選擇一點(diǎn)，建立公用服務(wù)設(shè)施，為該網(wǎng)絡(luò)中的客戶提供服務(wù)，使得服務(wù)效率最高。比如一個(gè)區(qū)域的消防站、自來水廠、學(xué)校、變電站、銀行商店等選址。為了提高服務(wù)效率，自然的想法是將這些設(shè)施建立在中心地點(diǎn)。對(duì)于規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)，例如圓形、矩形等，中心地點(diǎn)是顯而易見的，然而對(duì)于更多的網(wǎng)絡(luò)是不規(guī)則的。應(yīng)此，我們引入兩個(gè)定義。品皖億瀑奧偏宇徽值拯匪碧騎洛幟噶鑒虐唱糧泳坐湖靴渦奎角齋坊海訛奢圖論模型：最短路圖論模型：最短路最短路模型還可以應(yīng)用于中心選址問題。所謂中心選址問題就是40

例4教育部們打算在某新建城區(qū)建一所學(xué)校,讓附近七個(gè)居民區(qū)的學(xué)生就近入學(xué)。七個(gè)居民區(qū)之間的道路如下圖所示.學(xué)校應(yīng)建在哪個(gè)