考研數(shù)學(xué)二串講主講教師:杜守旭同學(xué)們好！考研數(shù)學(xué)二串講主講教師:杜守旭同學(xué)們好！2考好數(shù)學(xué)的奧秘------陳文燈數(shù)學(xué)基礎(chǔ)樹的根，技巧演練考題型，勤學(xué)苦練強(qiáng)磨礪，功到高分自然成。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班------陳文燈考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班，任務(wù)搬掉“三重山”，基礎(chǔ)夯實(shí)張開帆，一路凱歌無(wú)難關(guān)。注：“三重山”指基本概念、基本理論、基本運(yùn)算。2考好數(shù)學(xué)的奧秘------陳文燈3二、極限一、函數(shù)三、連續(xù)與間斷第一章函數(shù)與極限—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁3二、極限一、函數(shù)三、連續(xù)與間斷第一章函數(shù)與41.函數(shù)的四種特性容易證明：有界的充分必要條件是既有上界又有下界(1)函數(shù)的有界性:說(shuō)明：(1)界不唯一,不要求找最小的界.(2)還可定義有上界、有下界和無(wú)界.(3)函數(shù)的有界性是局部概念.使稱為有界函數(shù).一般的一、函數(shù)41.函數(shù)的四種特性容易證明：有界的充分必要條件是既有上界又5(2)

單調(diào)性稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);稱為I

上的單調(diào)減函數(shù);注意:(1)這里是嚴(yán)格單調(diào).(2)單調(diào)性是局部概念.5(2)單調(diào)性稱為I上的單調(diào)增函數(shù);稱為I上6(3)函數(shù)的奇偶性:設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于有則稱f(x)為偶函數(shù).有則稱f(x)為奇函數(shù).注意：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,奇偶性是整體概念.(2)奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.(3)奇偶函數(shù)的定義域不一定是R.(4)若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有6(3)函數(shù)的奇偶性:設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于有則稱f(x)為7(4)周期性則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期.例如,

常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)說(shuō)明：10周期函數(shù)的定義域是無(wú)限的點(diǎn)集.20周期函數(shù)不一定存在最小正周期.結(jié)論：設(shè)函數(shù)7(4)周期性則稱為周期函數(shù),若稱l為周期.例如,82.反函數(shù)(1)定義(2)性質(zhì)其反函數(shù)(減)(減).1)y=f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.(注意：對(duì)單值函數(shù)而言的)82.反函數(shù)(1)定義(2)性質(zhì)其反函數(shù)(減)(減).1)93.復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合93.復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)10(1)基本初等函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù):由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).均為初等函數(shù).4.初等函數(shù)10(1)基本初等函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角11非初等函數(shù)舉例:(2)取整函數(shù):注意：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).(1)符號(hào)函數(shù):-4-3-2-112341234-1-2-3-4oxy11非初等函數(shù)舉例:(2)取整函數(shù):注意：分段函數(shù)一般不是初12函數(shù)的分類:初等函數(shù)非初等函數(shù)(大部分分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)的函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)(解析式中含反，對(duì)，指，三的函數(shù))有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)(解析式中含有根式的函數(shù))有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分式函數(shù)(分式函數(shù))函數(shù)12函數(shù)的分類:初等函數(shù)非初等函數(shù)(大部分分段函數(shù),有無(wú)窮多131.定義：(1)數(shù)列極限的精確性定義：使時(shí)，恒有使當(dāng)時(shí)，恒有二、極限使當(dāng)時(shí)，恒有(4)左極限,右極限：使當(dāng)時(shí)，恒有使當(dāng)時(shí)，恒有131.定義：(1)數(shù)列極限的精確性定義：使時(shí)，恒有使當(dāng)時(shí)，14(5)極限定義的等價(jià)形式

14(5)極限定義的等價(jià)形式153.無(wú)窮小(1)無(wú)窮小的性質(zhì);～～～～～～～(2)常用等價(jià)無(wú)窮小:

當(dāng)時(shí)2.函數(shù)極限的性質(zhì)：惟一性；局部有界性；局部保號(hào)性153.無(wú)窮小(1)無(wú)窮小的性質(zhì);～～～～～～～(2)常16(3)無(wú)窮小的比較:設(shè)是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且

如果1記作：2

如果3特別地,若C=1時(shí),記作：

如果416(3)無(wú)窮小的比較:設(shè)是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且174.兩個(gè)重要極限:

5.求極限的法則:(1)極限的四則運(yùn)算法則定理：如果則(1)(2)(3)其中(2)數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則(3)復(fù)合函數(shù)的求極限法則（變量代換法）存在+存在=存在存在+不存在=不存在不存在+不存在=不一定存在174.兩個(gè)重要極限:5.求極限的法則:(1)極限的18求極限的方法1.利用四則法則;2.恒等變形法;3.利用無(wú)窮小的性質(zhì);4.利用兩個(gè)重要極限;5.利用函數(shù)的連續(xù)性;1.型:型:2.4.變量替換約去零因式3.：通分等價(jià)無(wú)窮小代換.分子分母有理化,6.利用極限存在的充要條件;6.求極限的基本方法:

抓大頭7.利用夾逼準(zhǔn)則.18求極限的方法1.利用四則法則;2.恒等變形法;3.利用8、羅必達(dá)法則9、泰勒展開式10、定積分的定義8、羅必達(dá)法則20例1.

求下列極限：解:

無(wú)窮小有界令20例1.求下列極限：解:無(wú)窮小有界令21則有復(fù)習(xí):

若21則有復(fù)習(xí):若22(4)

求解:原式=1(2000考研)22(4)求解:原式=1(2000考研)23幾個(gè)常用極限與幾個(gè)極限不存在的例子23幾個(gè)常用極限與幾個(gè)極限不存在的例子24(5)求解:24(5)求解:25則有復(fù)習(xí):

若則有復(fù)習(xí):

若25則有復(fù)習(xí):若則有復(fù)習(xí):若26解:經(jīng)驗(yàn)：分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限一般應(yīng)先求左右極限,其它點(diǎn)處的極限不需求左右極限.26解:經(jīng)驗(yàn)：分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限一般應(yīng)先求左右極限,其它數(shù)學(xué)二串講1(函數(shù)與極限)課件28例2.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式28例2.確定常數(shù)a,b,使解:原式29解:29解:30例4.

當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:

設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因?yàn)楣?0例4.當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:設(shè)其為的階無(wú)窮小,31非零因子要及時(shí)分離出來(lái)31非零因子要及時(shí)分離出來(lái)323233(12數(shù)學(xué)二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)33(12數(shù)學(xué)二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)34三、連續(xù)與間斷(1)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,則1.函數(shù)在處連續(xù)的定義34三、連續(xù)與間斷(1)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在點(diǎn)352.函數(shù)的間斷點(diǎn):間斷點(diǎn)的分類與判別:第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)352.函數(shù)的間斷點(diǎn):間斷點(diǎn)的分類與判別:第一類間斷點(diǎn):可去361第一類間斷點(diǎn):2第二類間斷點(diǎn):361第一類間斷點(diǎn):2第二類間斷點(diǎn):373.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):4.初等函數(shù)的連續(xù)性:定義域不能構(gòu)成區(qū)間373.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):4.初等函數(shù)的連續(xù)性:定義域不能385.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.定理3(零點(diǎn)定理)定理4(介值定理)則對(duì)A

與B

之間的任一數(shù)C推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.385.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):定理1(最大值和最小值定理)39例1.

求的間斷點(diǎn),并判別其類型.解:

x=-1為第一類可去間斷點(diǎn).

x=1為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).

x=0為第一類跳躍間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)為：39例1.求的間斷點(diǎn),并判別其類型.解:x=-1404041注意：初等函數(shù)的間斷點(diǎn)就是無(wú)定義的點(diǎn)及有定義的孤立點(diǎn).41注意：初等函數(shù)的間斷點(diǎn)就是無(wú)定義的點(diǎn)及有定義的孤立點(diǎn).42例3.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:42例3.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=43有無(wú)窮間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在例4.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.43有無(wú)窮間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷44例5.解：44例5.解：45例5.證明:討論:定理3(零點(diǎn)定理)由零點(diǎn)定理知,綜上,45例5.證明:討論:定理3(零點(diǎn)定理)由零點(diǎn)定理知,綜上,46練習(xí)：提示：46練習(xí)：提示：到此為止謝謝到此為止考研數(shù)學(xué)二串講主講教師:杜守旭同學(xué)們好！考研數(shù)學(xué)二串講主講教師:杜守旭同學(xué)們好！49考好數(shù)學(xué)的奧秘------陳文燈數(shù)學(xué)基礎(chǔ)樹的根，技巧演練考題型，勤學(xué)苦練強(qiáng)磨礪，功到高分自然成。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班------陳文燈考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班，任務(wù)搬掉“三重山”，基礎(chǔ)夯實(shí)張開帆，一路凱歌無(wú)難關(guān)。注：“三重山”指基本概念、基本理論、基本運(yùn)算。2考好數(shù)學(xué)的奧秘------陳文燈50二、極限一、函數(shù)三、連續(xù)與間斷第一章函數(shù)與極限—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁3二、極限一、函數(shù)三、連續(xù)與間斷第一章函數(shù)與511.函數(shù)的四種特性容易證明：有界的充分必要條件是既有上界又有下界(1)函數(shù)的有界性:說(shuō)明：(1)界不唯一,不要求找最小的界.(2)還可定義有上界、有下界和無(wú)界.(3)函數(shù)的有界性是局部概念.使稱為有界函數(shù).一般的一、函數(shù)41.函數(shù)的四種特性容易證明：有界的充分必要條件是既有上界又52(2)

單調(diào)性稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);稱為I

上的單調(diào)減函數(shù);注意:(1)這里是嚴(yán)格單調(diào).(2)單調(diào)性是局部概念.5(2)單調(diào)性稱為I上的單調(diào)增函數(shù);稱為I上53(3)函數(shù)的奇偶性:設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于有則稱f(x)為偶函數(shù).有則稱f(x)為奇函數(shù).注意：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,奇偶性是整體概念.(2)奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.(3)奇偶函數(shù)的定義域不一定是R.(4)若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有6(3)函數(shù)的奇偶性:設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于有則稱f(x)為54(4)周期性則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期.例如,

常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)說(shuō)明：10周期函數(shù)的定義域是無(wú)限的點(diǎn)集.20周期函數(shù)不一定存在最小正周期.結(jié)論：設(shè)函數(shù)7(4)周期性則稱為周期函數(shù),若稱l為周期.例如,552.反函數(shù)(1)定義(2)性質(zhì)其反函數(shù)(減)(減).1)y=f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.(注意：對(duì)單值函數(shù)而言的)82.反函數(shù)(1)定義(2)性質(zhì)其反函數(shù)(減)(減).1)563.復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合93.復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)57(1)基本初等函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù):由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).均為初等函數(shù).4.初等函數(shù)10(1)基本初等函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角58非初等函數(shù)舉例:(2)取整函數(shù):注意：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).(1)符號(hào)函數(shù):-4-3-2-112341234-1-2-3-4oxy11非初等函數(shù)舉例:(2)取整函數(shù):注意：分段函數(shù)一般不是初59函數(shù)的分類:初等函數(shù)非初等函數(shù)(大部分分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)的函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)(解析式中含反，對(duì)，指，三的函數(shù))有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)(解析式中含有根式的函數(shù))有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分式函數(shù)(分式函數(shù))函數(shù)12函數(shù)的分類:初等函數(shù)非初等函數(shù)(大部分分段函數(shù),有無(wú)窮多601.定義：(1)數(shù)列極限的精確性定義：使時(shí)，恒有使當(dāng)時(shí)，恒有二、極限使當(dāng)時(shí)，恒有(4)左極限,右極限：使當(dāng)時(shí)，恒有使當(dāng)時(shí)，恒有131.定義：(1)數(shù)列極限的精確性定義：使時(shí)，恒有使當(dāng)時(shí)，61(5)極限定義的等價(jià)形式

14(5)極限定義的等價(jià)形式623.無(wú)窮小(1)無(wú)窮小的性質(zhì);～～～～～～～(2)常用等價(jià)無(wú)窮小:

當(dāng)時(shí)2.函數(shù)極限的性質(zhì)：惟一性；局部有界性；局部保號(hào)性153.無(wú)窮小(1)無(wú)窮小的性質(zhì);～～～～～～～(2)常63(3)無(wú)窮小的比較:設(shè)是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且

如果1記作：2

如果3特別地,若C=1時(shí),記作：

如果416(3)無(wú)窮小的比較:設(shè)是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且644.兩個(gè)重要極限:

5.求極限的法則:(1)極限的四則運(yùn)算法則定理：如果則(1)(2)(3)其中(2)數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則(3)復(fù)合函數(shù)的求極限法則（變量代換法）存在+存在=存在存在+不存在=不存在不存在+不存在=不一定存在174.兩個(gè)重要極限:5.求極限的法則:(1)極限的65求極限的方法1.利用四則法則;2.恒等變形法;3.利用無(wú)窮小的性質(zhì);4.利用兩個(gè)重要極限;5.利用函數(shù)的連續(xù)性;1.型:型:2.4.變量替換約去零因式3.：通分等價(jià)無(wú)窮小代換.分子分母有理化,6.利用極限存在的充要條件;6.求極限的基本方法:

抓大頭7.利用夾逼準(zhǔn)則.18求極限的方法1.利用四則法則;2.恒等變形法;3.利用8、羅必達(dá)法則9、泰勒展開式10、定積分的定義8、羅必達(dá)法則67例1.

求下列極限：解:

無(wú)窮小有界令20例1.求下列極限：解:無(wú)窮小有界令68則有復(fù)習(xí):

若21則有復(fù)習(xí):若69(4)

求解:原式=1(2000考研)22(4)求解:原式=1(2000考研)70幾個(gè)常用極限與幾個(gè)極限不存在的例子23幾個(gè)常用極限與幾個(gè)極限不存在的例子71(5)求解:24(5)求解:72則有復(fù)習(xí):

若則有復(fù)習(xí):

若25則有復(fù)習(xí):若則有復(fù)習(xí):若73解:經(jīng)驗(yàn)：分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限一般應(yīng)先求左右極限,其它點(diǎn)處的極限不需求左右極限.26解:經(jīng)驗(yàn)：分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限一般應(yīng)先求左右極限,其它數(shù)學(xué)二串講1(函數(shù)與極限)課件75例2.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式28例2.確定常數(shù)a,b,使解:原式76解:29解:77例4.

當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:

設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因?yàn)楣?0例4.當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:設(shè)其為的階無(wú)窮小,78非零因子要及時(shí)分離出來(lái)31非零因子要及時(shí)分離出來(lái)793280(12數(shù)學(xué)二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)33(12數(shù)學(xué)二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)81三、連續(xù)與間斷(1)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,則1.函數(shù)在處連續(xù)的定義34三、連續(xù)與間斷(1)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在點(diǎn)822.函數(shù)的間斷點(diǎn):間斷點(diǎn)的分類與判別:第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)352.函數(shù)的間斷點(diǎn):間斷點(diǎn)的分類與判別:第一類間斷點(diǎn):可去831第一類間斷點(diǎn):2第二類間