最短路徑問題課件最短路徑問題課件

我們把研究關(guān)于“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”等問題，稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常碰到，今天我們就通過幾個實際問題,具體體會如何運用所學(xué)知識選擇最短路徑.新課引入我們把研究關(guān)于“兩點之間，線段最短”“垂線段最第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)問題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l處讓馬飲水，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方讓馬飲水，可使所走的路徑最短？ABl問題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．

你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的你能將這個lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當點C在直線l的什么位置時，AC與BC的和最??？分析：ABllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當點C在直線l的什么位置時，A如圖，點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點之間，線段最短.lABCB如圖，點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，聯(lián)想（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把左圖A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標？分析：lABClABC（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？分析：lABCllABCB′如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.當點C在直線l的什么位置時，AC與CB′的和最??？在連接AB′兩點的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.lABCB′如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.在直線l上任取另一點C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點B、B′的對稱軸，點C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最?。甽ABCB′C′證明：如圖.在直線l上任取另一點C′，lABCB′C′證明：如圖.在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．方法總結(jié)：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問題用舊問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？aBAbMN由于河寬是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB最小？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決.分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′另任意造橋M′N′，由平移性質(zhì)可知，∴AM+MN+BN＝AA總結(jié)歸納：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換，把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇?？偨Y(jié)歸納：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lABC問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實lA小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點之間，線段最短.小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱平移兩點之間，線段最短1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應(yīng)用：1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修2.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河10002.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別最短路徑問題課件4、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上求作一點P，使△PMN的周長最小。M’P4、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上歸納總結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？①學(xué)習(xí)了利用軸對稱解決最短路徑問題②感悟和體會轉(zhuǎn)化的思想歸納總結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？①學(xué)習(xí)了利用軸對稱解決最短路徑問補償提高

如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋補償提高如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山ABC思路分析：

由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋思路分析：ABCPQ山河岸大橋最短路徑問題課件最短路徑問題課件

我們把研究關(guān)于“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”等問題，稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常碰到，今天我們就通過幾個實際問題,具體體會如何運用所學(xué)知識選擇最短路徑.新課引入我們把研究關(guān)于“兩點之間，線段最短”“垂線段最第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)問題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l處讓馬飲水，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方讓馬飲水，可使所走的路徑最短？ABl問題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．

你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的你能將這個lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當點C在直線l的什么位置時，AC與BC的和最??？分析：ABllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當點C在直線l的什么位置時，A如圖，點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點之間，線段最短.lABCB如圖，點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，聯(lián)想（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把左圖A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標？分析：lABClABC（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？分析：lABCllABCB′如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.當點C在直線l的什么位置時，AC與CB′的和最??？在連接AB′兩點的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.lABCB′如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.在直線l上任取另一點C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點B、B′的對稱軸，點C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′證明：如圖.在直線l上任取另一點C′，lABCB′C′證明：如圖.在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．方法總結(jié)：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問題用舊問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？aBAbMN由于河寬是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB最小？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決.分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′另任意造橋M′N′，由平移性質(zhì)可知，∴AM+MN+BN＝AA總結(jié)歸納：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換，把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇?？偨Y(jié)歸納：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lABC問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實lA小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點之間，線段最短.小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱平移兩點之間，線段最短1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlA