第十講

三元一次方程組1．理解三元一次方程

(或組)的含義；課程目標(biāo)

2．會解簡單的三元一次方程組；3.會列三元一次方程組解決相關(guān)實質(zhì)問題

.課程重點課程難點

會解簡單的三元一次方程組會列三元一次方程組解決相關(guān)實質(zhì)問題

.教課方法建

運用察看法、議論法、練習(xí)法等手段，浸透‘消元’思想；把未知數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎h數(shù)進(jìn)行求解

.一、知識梳理：考點1三元一次方程及三元一次方程組的觀點三元一次方程的定義含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．重點解說：(1)三元一次方程的條件：①是整式方程，②含有三個未知數(shù)，③含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1次．三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，此中a、b、c不為零．2．三元一次方程組的定義一般地，由幾個一次方程構(gòu)成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.重點解說：(1)三個方程中不必定每一個方程中都含有三個未知數(shù)，只需三個方程共含有三個未知量即可．2）在實質(zhì)問題中含有三個未知數(shù)，當(dāng)這三個未知數(shù)同時知足三個相等關(guān)系時，能夠成立三元一次方程組求解．考點2三元一次方程組的解法解三元一次方程組的一般步驟利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別構(gòu)成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，獲得對于此外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，獲得一個一元一次方程；解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一同．重點解說：1）解三元一次方程組的基本思路是：經(jīng)過“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”．使解三元一次方程組轉(zhuǎn)變?yōu)榻舛淮畏匠探M，從而轉(zhuǎn)變?yōu)榻庖辉淮畏匠蹋渌枷敕椒ㄊ牵?）有些特別的方程組可用特別的消元法，解題時要依據(jù)各方程特色追求其較簡單的解法．考點3三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟1．弄清題意和題目中的數(shù)目關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；．找出能夠表達(dá)應(yīng)用題所有含義的相等關(guān)系；．依據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并構(gòu)成方程組；．解這個方程組，求出未知數(shù)的值；．寫出答案(包含單位名稱)．重點解說：解實質(zhì)應(yīng)用題一定寫“答”，并且在寫答案前要依據(jù)應(yīng)用題的實質(zhì)意義，檢查求得的結(jié)果能否合理，不切合題意的應(yīng)當(dāng)舍去．“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位能否一致．一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并構(gòu)成方程組．二、講堂精講：（一）三元一次方程及三元一次方程組的觀點例1．1.以下方程組中是三元一次方程組的是( )1y12xabcd1mn18xy1B．1A．yz0z2C．a(chǎn)c2D．nt12xz2ybd3tm01x6z【隨堂操練一】1.以下方程組不是三元一次方程組的是（）．xy1x240x2yx1A．2yz2B．y1xC．2y3D．xz33y6xyz3xz12yz1（二）三元一次方程組的解法y2x7①（2）a:b:c3:4:5,例2．（1）解方程組5x3y2z2②3x4z4③abc36.【隨堂操練二】xy7,1．方程組xyz5,的解是________________．xyz1x5,xyz0,2．判斷y10,是不是三元一次方程組2xyz15,的解______z15x2yz403．解方程組：2xyz3①3x4yz8②xy2z3③4．解方程組：．xyz

①例3．解方程組235xyz20②【隨堂操練三】若三元一次方程組的解使ax+2y+z=0，求a的值．（三）三元一次方程組的應(yīng)用例4.購置鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購置鉛筆10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購置鉛筆11支、作業(yè)本5本圓珠筆2支共需多少元？例5.某工程由甲、乙兩隊合作需

6天達(dá)成，廠家需付甲、乙兩隊共

8700

元，乙、丙兩隊合作需10天達(dá)成，廠家需支付乙、丙兩隊共

8000元；甲、丙兩隊合作

5天達(dá)成所有工程的

2，此時廠3家需付甲、丙兩隊共5500元．(1)求甲、乙、丙各隊獨自達(dá)成所有工程各需多少天?若要不超出15天達(dá)成所有工程，問由哪隊獨自達(dá)成此項工程花費最少？請說明原因．【隨堂操練四】1．現(xiàn)有面值為

2元、1元和

5角的人民幣共

24張，幣值合計

29元，此中面值為

2元的比

1元的少

6張，求三種人民幣各多少張

?2.有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)慣用品，若購鉛筆

3支，練習(xí)本

7本，圓珠筆

1支共需

3.15元；若購鉛筆

4支，練習(xí)本

8本，圓珠筆

2支共需

4.2元，那么，購鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各

1件共需多少元？三．小結(jié)：三元一次方程及三元一次方程組的定義解三元一次方程組的一般步驟利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別構(gòu)成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，獲得對于此外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，獲得一個一元一次方程；解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一同．四、課后穩(wěn)固練習(xí)一、選擇題1.以下四組數(shù)值中，為方程組的解是（）A．B．C．D．a(chǎn)b32．已知方程組bc2，則a+b+c的值為（）．a(chǎn)c9A．6B．-6C．5D．-53．已知2ay5b3xyczx與4a2xb5cy是同類項，則x-y+z的值為( )．A．1B．2C．3D．44．若x+2y+3z＝10，4x+3y+2z＝15，則x+y+z的值為()．A．2B．3C．4D．55.已知甲、乙、丙三個人各有一些錢，此中甲的錢是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，則三人共有（）．A．30

元

B．33元

C．36元

D

．39元6.以下圖，兩個天平都均衡，則三個球的質(zhì)量等于（

）正方體的質(zhì)量

.A．2個

B．3個

C

．4個

D

．5個二、填空題7.解三元一次方程組的基本思路是

.8.方程組的解為．xy89.假如方程組yz6的解知足方程kx+2y-z＝10，則k＝________．zx42xyz310.已知方程組3x4yz8，若消去z，獲得二元一次方程組___________________；若消去y，xy2z3獲得二元一次方程組____________________，若消去x，獲得二元一次方程組_______________．三、解答題11．解方程組：x2yz3x2y5z2（1）3x2y1（2）x2yz62xy14x2y7z30z212.已知y=ax2+bx+c，當(dāng)x=1時，y=3；當(dāng)x=﹣1時，y=1；當(dāng)x=0時，y=1．求a，b，c的值．全國足球甲A聯(lián)賽的前12輪(場)競賽后，前三名競賽成績以下表．勝（場）平（場）負(fù)（場）積分大連實德隊82226上海申花隊65123北京現(xiàn)代隊57022問每隊勝一場、平一場、負(fù)一場各得多少分?第十講三元一次方程組【答案】例1.D【隨堂操練一】B例2．（1）解：將①代入②得：5x+3(2x-7)+2z＝2，整理得：11x+2z＝23④3x4z4③由此可聯(lián)立方程組，11x2z23④+④×2得：25x＝50，x＝2．把x＝2分別代入①③可知：y＝-3，z1．2x2因此方程組的解為y3．z9,2）b12,15.【隨堂操練二】x3,

121．y4,2．是．z2.3．解：①+②得：5x3y11④①×2+③得：5xy3⑤由此可得方程組：5x3y11④5xy3⑤④－⑤得：4y8，y2將y2代入⑤知：x1將x1，y2代入①得：z3x1因此方程組的解為：y23解：①+②得：4x+y=16④，②×2+③得：3x+5y=29⑤，④⑤構(gòu)成方程組解得將x=3，y=4代入③得：z=5，則方程組的解為．xz①25例3．解法一：原方程可化為：yz③35xyz20②由①③得：x2z，y3z④55將④代入②得：23z20，得：z10⑤zz55將⑤代入④中兩式，得：x22104，y336z5z10555x4因此方程組的解為：y6z10解法二：設(shè)xyzt，則x2t,y3t,z5t③235將③代入②得：2t3t5t20，t2將t2代入③得：x2t224，y3t326,z5t5210x4因此方程組的解為：y6z10【隨堂操練三】解：，+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．例4.解：設(shè)鉛筆的單價是x元，作業(yè)本的單價是y元，圓珠筆的單價是z元．購置鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元．則由題意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.111xy6例5.解：（1）設(shè)甲隊獨自做x天達(dá)成，乙隊獨自做y天達(dá)成，丙隊獨自做z天達(dá)成，則111，yz101121xz3511x10x10解得11，∴y15．y15z301z30答：甲、乙、丙各隊獨自達(dá)成所有工程分別需10天，15天，30天．（2）設(shè)甲隊做一天對付給a元，乙隊做一天對付給b元，丙隊做一天對付給c元，則6(ab)8700a87510(bc)8000，解得b575．5(ac)5500c22510a＝8750（元），15b＝8625（元）．答：由乙隊獨自達(dá)成此工程花費最少．【隨堂操練四】1．解：設(shè)面值為2元、1元和5角的人民幣分別為x張、y張和z張．xyz24①依題意，得2xy1z29②2x6y③2xz18④把③分別代入①和②，得1z233x⑤2⑤×2，得6x+z＝46⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．x7∴方程組的解是y13．z4答：面值為2元、l元和5角的人民幣分別為7張、13張和4張．2．解：設(shè)購一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，依據(jù)題意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．三．小結(jié)：四、課后穩(wěn)固練習(xí)【答案與分析】一、選擇題【答案】D．【分析】，+②得：3x+y=1④，+③得：4x+y=2⑤，⑤﹣④得：x=1，將x=1代入④得：y=﹣2，將x=1，y=﹣2代入①得：z=3，則方程組的解為．【答案】C；【分析】將方程組中的三個方程左右分別相加，得2(abc)10，兩邊同除以2便得答案.3.【答案】D；y52xx2【分析】由同類項的定義得：3xy5，解得：y1，因此xyz4.zxyz14.【答案】D；【分析】將三個等式左右分別相加，可得5(xyz)25，從而得xyz5.【答案】D；【分析】解：設(shè)甲乙丙分別有x元,y元,z元，則有：x2yx20yz1，解得：y10，因此三人共有：xyz39（元）.xz11z9【答案】D；【分析】解：設(shè)一個球的質(zhì)量為x，一個圓柱的質(zhì)量為y，一個正方體的質(zhì)量為z.則：2x5y,①2z3y,②由①得y2x③，5把③代入②，得32x2z，解得3x5z，故正確答案為D.5二、填空題【答案】消元；8.【答案】．9.【答案】1；3x3【分析】解原方程組得：y15，代入kx+2y-z＝10得，k.z315x3y113xz05z3y910.【答案】y311x3z20y5z；5x17【分析】加減或代入消元.三、解答題【分析】x2yz①解：（1）3x2y1②2xyz1③2由①得：x2yz④，8y3z111，解得：y將④代入②③，整理得：3yz2，2z1代入④得：x0，x0,因此，原方程組的解是y1,2z1.3x2y5z2①（2）x2yz6②4x2y7z30③由①+②得：4x4z8，即xz2④，由②+③得：5x8z36⑤，由④×5－⑤，整理得：z2，將z2代入④，解得：x4，將x4，z2代入①，解得y0，x4,因此，原方程組的解是y0,z2.