漸近線與定比點(diǎn)差法一．基本原理1.雙曲線的漸近線方程亦為，即，就是.2.雙曲線的漸近線方程亦為，故雙曲線的漸近線方程為.二．原理推導(dǎo)既然可以將雙曲線的漸近線方程看做二次式，那么就可以對(duì)它使用定比點(diǎn)差法，特別是當(dāng)我們遇到直線與雙曲線的兩只漸近線都相交的時(shí)候，比如下面的經(jīng)典案例：已知雙曲線方程為的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn).情形1.如下圖.若.設(shè)，則坐標(biāo)均滿足①，②.又.則由，可得：.給②式乘再相減得：故.由情形2.如下圖.若.設(shè)，則故得：由于由三．典例分析例1．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)做一條漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______解析：滿足情形1，即，故，則例2．已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于的直線分別交，于兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解析：滿足情形2，即，.四．習(xí)題1．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于B，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線C:，過(guò)右焦點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線l，垂足為點(diǎn)A，與C的另一條漸近線交于點(diǎn)B，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．3．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為M，若與另一條漸近線交于點(diǎn)N，且滿足，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_____.4．已知是雙曲線的右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在其兩條漸近線上,且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則該雙曲線的離心率為_(kāi)______．答案：1．A2．C3．4．利用本節(jié)的思想還可以解決2022新高考2卷解析幾何試題，其過(guò)程如下：（2022新高考2卷）．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．（1）求C的方程；（2）過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.解析：（1）C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為，直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè)，則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即，即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為，∴由，∴,所以直線的斜率，直線,即，代入雙曲線的方程,即中，得：，解得的橫坐標(biāo)：，同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等