自動(dòng)控制原理3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析對系統(tǒng)進(jìn)行各類性能指標(biāo)的分析必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。只有穩(wěn)定系統(tǒng)才有用。

絕對穩(wěn)定性：穩(wěn)定或不穩(wěn)定的條件。

相對穩(wěn)定性：穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。一、穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定性是表征系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后自身的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性。1.零輸入響應(yīng)穩(wěn)定性

設(shè)一個(gè)線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它受到某一擾動(dòng)的作用偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，如果系統(tǒng)還能回到原有的平衡狀態(tài)附近，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。大范圍穩(wěn)定：初始偏差可以很大，系統(tǒng)仍穩(wěn)定；小范圍穩(wěn)定：初始偏差必須在一定限度內(nèi)系統(tǒng)才穩(wěn)定，超出了這個(gè)限定值則不穩(wěn)定。對于線性系統(tǒng)，如果小范圍內(nèi)是穩(wěn)定的，則它一定也是大范圍穩(wěn)定的，而對于非線性系統(tǒng)不存在類似結(jié)論。(a)穩(wěn)定（小范圍）；(b)漸近穩(wěn)定；(c)大范圍穩(wěn)定和不穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定性若線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)的影響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則必是漸近穩(wěn)定的。2.零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定性零狀態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)對于每一個(gè)有界輸入的零狀態(tài)響應(yīng)仍保持有界，則稱該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是穩(wěn)定的。零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定又稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定（BIBO穩(wěn)定）。線性定常系統(tǒng)零輸入響應(yīng)穩(wěn)定性和零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定性的條件是一致的。所以，線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性來表達(dá)。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時(shí)域響應(yīng)的收斂性！t①②Or(t)c(t)控制系統(tǒng)的響應(yīng)分為過渡狀態(tài)和穩(wěn)定狀態(tài)，若隨時(shí)間推移，其過渡過程逐漸衰減，系統(tǒng)響應(yīng)最終收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定(①)；如果過渡過程發(fā)散，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定(②)。1.線性系統(tǒng)的解二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件穩(wěn)態(tài)分量：對應(yīng)微分方程的特解，與外部輸入有關(guān)（零狀態(tài)響應(yīng)）。瞬態(tài)分量：對應(yīng)微分方程的通解，只與系統(tǒng)本身的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和初始條件有關(guān)，而與外部作用無關(guān)（零輸入響應(yīng)）。c1(t)——系統(tǒng)零輸入響應(yīng)c2(t)——系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

2.零輸入響應(yīng)的穩(wěn)定性如果對于任何初始狀態(tài)c1(0)、c1(1)(0)、…、c1(n-1)(0)，都有，則稱該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是穩(wěn)定的。假設(shè)的n

個(gè)極點(diǎn)分布如下：

q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其中p1是l重極點(diǎn)；另外q－l個(gè)相異實(shí)數(shù)極點(diǎn)pi（i＝2、3、…、q－l），2r個(gè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，設(shè)其為pk=σk+jωk

(k=1、2、…、r)。于是，從拉氏反變換可求得零輸入響應(yīng)為：式中：可見，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)穩(wěn)定得充分必要條件是:系統(tǒng)傳遞函數(shù)得全部極點(diǎn)pi（i=1，2，…，n）完全位于s平面的左半平面。3.零狀態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)對于每一個(gè)有界輸入的零狀態(tài)響應(yīng)仍保持有界，則稱該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是穩(wěn)定的，或稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定（BIBO穩(wěn)定）。利用卷積分公式求零狀態(tài)響應(yīng)是方便的，即對于所有有界r(t)，c2(t)為有界，則零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定。假如r(t)有界，則對于所有的t應(yīng)有，此處K1是大于零的常數(shù)，即有。式中，則必然可以求得：即對所有t，零狀態(tài)響應(yīng)c2(t)有界。考慮到絕對值的積分大于等于積分的絕對值，則如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)能夠滿足下式：式中可見，只有系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)si（i=1，2，…，n）位于s平面左半平面，才能使τ→∞時(shí)，g(τ)趨于零的速率快到足以使。這樣，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)才是有界輸入有界輸出穩(wěn)定。結(jié)論：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)根或其實(shí)部為負(fù)的復(fù)根，即特征方程的根均在復(fù)平面的左半平面。由于系統(tǒng)特征方程的根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，所以也可以說，線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的極點(diǎn)均在復(fù)平面的左半部分。對于復(fù)平面右半平面沒有極點(diǎn)，但虛軸上存在極點(diǎn)的線性定常系統(tǒng)，稱之為臨界穩(wěn)定的，該系統(tǒng)在擾動(dòng)消除后的響應(yīng)通常是等幅振蕩的。三、勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件，可以通過求取系統(tǒng)特征方程式的所有根，并檢查所有特征根實(shí)部的符號來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。采用勞斯（赫爾維茨）穩(wěn)定判據(jù)，可以不用求解方程，只根據(jù)方程系數(shù)做簡單的運(yùn)算，就可以確定方程是否有（以及有幾個(gè)）正實(shí)部的根，從而判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。由于一般特征方程式為高次代數(shù)方程，要計(jì)算其特征根必須依賴計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。（一）勞斯判據(jù)1.線性定常系統(tǒng)的勞斯判據(jù)設(shè)線性定常系統(tǒng)的特征方程為必要條件：控制系統(tǒng)特征方程式的所有系數(shù)均為正值，且特征方程式不缺項(xiàng)。充分條件：勞斯表中第一列所有項(xiàng)均為正號。

如果特征方程式所有系數(shù)都是正值，將多項(xiàng)式的系數(shù)排成下面形式的行和列，即為勞斯表。表中，系數(shù)b的計(jì)算，一直進(jìn)行到后面的全部為零時(shí)為止。同樣采用上面兩行系數(shù)交叉相乘的方法，可以求出c、d、e、f等系數(shù)，即這個(gè)過程一直進(jìn)行到n+1行為止。其中第n+1行僅第一列有值，且正好是方程最后一項(xiàng)an

。幾點(diǎn)說明：勞斯表是三角形。在展開的勞斯表中，為了簡化其后的數(shù)值運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，這時(shí)并不改變穩(wěn)定性結(jié)論；如果必要條件不滿足（即特征方程系數(shù)不全為正或缺項(xiàng)），則可斷定系統(tǒng)是不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定；勞斯表中第一列的數(shù)值均為正值，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且系統(tǒng)在復(fù)平面右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。

例3-2設(shè)有一個(gè)三階系統(tǒng)的特征方程為證明：上式對應(yīng)的勞斯表為根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列系數(shù)均大于零。所以有。式中所有系數(shù)均為正數(shù)。試證明該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：解

由圖可知，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所以系統(tǒng)的特征方程為例3-3

考慮下圖所示的系統(tǒng)，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。列勞斯表如下：根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K的取值范圍為：在勞斯表的某一行中，出現(xiàn)第一個(gè)元素為零，而其余各元均不為零，或部分不為零的情況；可用一個(gè)很小的正數(shù)ε代替為零的元素，然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算，完成勞斯表。如果零(ε)上面的系數(shù)符號與零(ε)下面的符號相反，表明這里有一個(gè)符號變化。也可以用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a為任意正數(shù)，再對新的特征方程應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

2.勞斯表的兩種特殊情況及其處理因?yàn)閯谒贡淼谝涣性氐姆柛淖兞藘纱?，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)正實(shí)部的特征根。例如，系統(tǒng)的特征方程為其勞斯表如下：若以(s+2)乘以原特征方程：整理得新的特征方程：列出新勞斯表：可見，勞斯表第一列元素的符號改變了兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)正實(shí)部的特征根。與前一種方法得到相同結(jié)論。這種情況表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根。這些根或?yàn)楣曹椞摳?；或?yàn)榉栂喈惖^對值相同的成對實(shí)根；或?qū)ΨQ于實(shí)軸的兩對共軛復(fù)根；或上述情況同時(shí)存在?？捎萌阈械纳弦恍性貥?gòu)成一個(gè)輔助方程，并將上述輔助方程對s求導(dǎo)，用求導(dǎo)后的方程系數(shù)代替全零行的元素，繼續(xù)完成勞斯表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同但符號相反的根數(shù)。所有那些數(shù)值相同但符號相異的根，均可由輔助方程求得。在勞斯表的某一行中出現(xiàn)所有元素均為零的情況設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:①有大小相等符號相反的特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行s2+1=0對其求導(dǎo)得零行系數(shù):

2s1211繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!!!由綜合除法可得另兩個(gè)根為s3,4=-2,-3解輔助方程得對稱根:s1,2=±j勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定例如，系統(tǒng)的特征方程為,勞斯表為s=±j由上看出，勞斯表第一列元素符號均大于零，故系統(tǒng)不含具有正實(shí)部的根，而含一對純虛根，可由輔助方程解出。

3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用在線性控制系統(tǒng)中，勞斯判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則這種判據(jù)并不能直接指出使系統(tǒng)穩(wěn)定的方法；如果系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯判據(jù)也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動(dòng)態(tài)性能。即勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在s平面上相對于虛軸的距離。由高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式可知，若負(fù)實(shí)部特征方程式的根緊靠虛軸，則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程將具有緩慢的非周期性或強(qiáng)烈的振蕩特性。為了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，我們常常希望在s左半平面上系統(tǒng)特征根的位置與虛軸之間有一定的距離。為此，可在左半平面上作一條s=－a的垂線，而a

是系統(tǒng)特征根位置與虛軸之間的最小距離，通常稱為給定穩(wěn)定度，然后用新變量s1=s+a代入原系統(tǒng)特征方程，得到一個(gè)以s1為新變量的新特征方程，對新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)，可以判別系統(tǒng)的特征根是否全部位于s=－a垂線之左。例3－4

設(shè)比例－積分（PI）控制系統(tǒng)如下圖所示。其中K1為與積分器時(shí)間常數(shù)有關(guān)的待定參數(shù)。已知參數(shù)ζ=0.2及ωn=86.6，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)全部位于s=－1垂線之左，問K1值范圍又應(yīng)取多大？比例－積分控制系統(tǒng)圖解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為：代入已知的ζ與ωn，得列出相應(yīng)得勞斯表：得K1得取值范圍為：當(dāng)要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=－1垂線之左時(shí)，可令s=s1-1，代入原特征方程，得到如下新特征方程：相應(yīng)得勞斯表：得K1得取值范圍為：整理得：（二）赫爾維茨判據(jù)（六階以下系統(tǒng)）

系統(tǒng)的特征方程為如下標(biāo)準(zhǔn)形式以它的各項(xiàng)系數(shù)寫出如下行列式對角線上各元為特征方程中第二項(xiàng)開始的各項(xiàng)系數(shù)。對角線左邊a的腳標(biāo)遞增，右邊遞減。寫到特征方程中不存在的系數(shù)時(shí)，以零代替。赫爾維茨判據(jù)：在a0＞0的情況下，上述行列式的各階主子式均大于零，即特點(diǎn)：例如三階系統(tǒng)的特征方程為列出系數(shù)行列式即系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:與勞斯判據(jù)相對比：又如四階系統(tǒng)的特征方程為列出系數(shù)行列式則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：對比勞斯判據(jù)：例3－5

已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求臨界放大系數(shù)Kc及其與參量τ1、τ2及τ3的關(guān)系。解系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)勞斯判劇，穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均大于零，并且即得從而得臨界放大系數(shù)決定Kc大小的實(shí)際上并不是各時(shí)間常數(shù)的絕對值，而是其相對值，即取決于各時(shí)間常數(shù)的比值。