：計(jì)算方法 大 、 編參 數(shù)值計(jì)算方法（第二版 大嬈 、黃象鼎編第一 現(xiàn)代科學(xué)研究的三———理論分析、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、科計(jì)算三者相輔相成,相互獨(dú)立 理指 驗(yàn)證實(shí) 計(jì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值算法第一節(jié)數(shù)值計(jì)算方法的主要內(nèi)研究對象：研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)代代數(shù)方程、微分方程課程特點(diǎn)據(jù),所求出的近似解是滿足誤差要求的“近似”。 1.有純數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)密性為什么要學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法例1.

x2

2sin

計(jì)算定積分2sin

dx的值 2n理論上可以 法則直接求解，求解一個(gè)n

N

當(dāng)n

N 由此可見，用法則直接求解是不切實(shí)際的，本課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握常用的數(shù)值方法的基本原本課程的學(xué)習(xí)方法 “公式多”的特點(diǎn)。 本課程要解決的問題

f(x)

求線性方程組

b的解，A是

f(x在幾個(gè)點(diǎn)x1x2

處的值b

求定積分

(x)dx已知y

f

,求函數(shù)第二節(jié)誤差的來源與誤差分析的重要量；計(jì)算“神七”運(yùn)行的軌道；計(jì)算機(jī)中 模型誤差忽略次要因素，關(guān)注觀測誤差實(shí)際觀測中由于受到設(shè)備、自然條截?cái)嗾`差(數(shù)值方法誤差例如， 公式e11

11......1 n!

1111......

e，則截去的 ......(n (n

就是截?cái)嗾`差3.14159

x為準(zhǔn)確值，x*

xe*

x*

x*的絕對誤差，簡稱誤差，若差的絕對值不超過某個(gè)正數(shù)e*x*x稱正數(shù)

為5m0.01米，即0.01米該物體的準(zhǔn)確長度可記為s50.01)m分別測量10m和16m的兩根旗桿，產(chǎn)生的誤差均為0.1m，顯然，測量16m的旗桿時(shí)更準(zhǔn)確些。定義：

xe e

x*xx*的 x* e作為x*e

rrr于是，測量10m和16mrrr

x3.14159265

1323x3位x

1525x35位x3

757位75

127它們的誤差都不超過末位數(shù)字的半個(gè)單位7若

x*的誤差限是它某一位的半個(gè)單位

x*

nx*.左邊左邊第一個(gè)非零數(shù)誤差不超過該位的半個(gè)單

3.14

3xx33當(dāng)取xx33

作5個(gè)有效數(shù)字

x*的近似值有nx*

10m

x1

xi0,1,2,...,那么，x*的絕對誤x*

110mn21-

x*具有(A)式的形式，且具n位有效數(shù)字，則其相對誤差限 rr

注2在實(shí)際計(jì)算中，為使近似值具有n位有效數(shù)字x*

10m

x1

123.456，0.3455678， 4.00004.000045的具有5個(gè)有效數(shù)字的近似數(shù)不是4！4只有一個(gè)有效數(shù)字！誤差不誤差不超過該位的半個(gè)單左邊第一個(gè)非零數(shù)

x*例1-2

解：20

x1*r

2

解得n

2，

n

rr

n為有效數(shù)字個(gè)x1為左邊第一個(gè)非零數(shù)

(B五、數(shù)據(jù)誤差的影響 當(dāng)

x*存在有誤差限

)時(shí) yf(

(y*)

y*y

f(x*,x*)f(x,x f(x*,x* f(x*,x* (x*x) (x*x) f(x*,x* f(x*,x* (x*) (x*)

xx加減：ε(x1*±x2*ε(x1*ε(x2*xx 乘：(x*x*

*(x*)

*(x*);21122除：(x*/x*)x*(x*)x*(x*) 21122 例1-3已測得某場地的長

l*110m，寬d值為d*

80m，

l

dd*

0.1m,s*的絕對誤差限和相對誤差限

(d*)

s*l*d*(s*)

(l*d*)

l*(d*)d*(l*)1100.1800.2

(m2 (s*)

(s*)l*d*

11080

第三節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法應(yīng)注意的問精確度往往是不同的。本節(jié)通過對誤差規(guī)律的分析，數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)原則。

lgx1

x1 x

x1 二、避免大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象x*x“吃”小數(shù)的現(xiàn)象，影響計(jì)算結(jié)果。x*x*(x*x*(x*數(shù)作除數(shù)x*x(1) 2

1