71^弧度制及其與角度制的換算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解弧度制，能熟練地進(jìn)行弧度制與角度制之間的換算.（重點(diǎn)）2?掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式.（難點(diǎn)）1.通過弧度制概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).2?借助角度與弧度的互化、扇形的弧長與面積的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).角度制與弧度制的定義（1）角度制：用度作單位來度量角的制度稱為角度制?角度制規(guī)定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角為1弧度的角，記作lrad.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制.角的弧度數(shù)的計(jì)算在半徑為r的圓中，若弧長為l的弧所對(duì)圓心角為arad，則a=f角度與弧度的互化4.一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0n12n6n4n35n12n22n33n45n6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度n7n65n44n33n25n37n4lln62n思考1：某同學(xué)表示與30。角終邊相同的角的集合時(shí)寫成S=｛ala=2kn+30。,kez｝，這種表示正確嗎？為什么？［提示］這種表示不正確，同一個(gè)式子中，角度、弧度不能混用，否則產(chǎn)生fn］混亂，正確的表示方法應(yīng)為｛aa=2kn+6，keZ［或｛ala=k?360°+30。，keZ｝.5.扇形的弧長與面積公式設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,a為其圓心角，則

a為度數(shù)a為弧度數(shù)扇形的弧長7anrl-180°l=ar扇形的面積anr2S—360。c11S—2】r—2ar2思考2：在弧度制下的扇形面積公式S=glr可類比哪種圖形的面積公式加以記憶？［提示］此公式可類比三角形的面積公式來記憶nB.10D.nB.10D.6nA.10803nC—C10D[1080°=180°X6，所以1080°化為弧度是6n.]22.與角3n終邊相同的角是()112A.可兀B.2kn—3n(kZ)102C.2kn—n(k^Z)D.(2k+l)兀+薩伙丘巳)C［選項(xiàng)A中=2n+|n,與角|n終邊相同，故A項(xiàng)錯(cuò)；2kn—|兀，k^Z,4410當(dāng)k=1時(shí)，得［0,2n)之間的角為羅，故與弓有相同的終邊，B項(xiàng)錯(cuò)；2kn一~亍兀k^Z，當(dāng)k=2時(shí)，得［0,2n)之間的角為彳兀，與3n有相同的終邊，故C項(xiàng)對(duì)；(2k25+l)n+gn,keZ，當(dāng)k=0時(shí)，得［0,2n)之間的角為薩，故D項(xiàng)錯(cuò).］n3?圓心角為3弧度，半徑為6的扇形的面積為.、1n6n［扇形的面積為2%62^3=6兀.］弧度制的概念【例1】下列命題中，假命題是()“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位1°的角是周角的360，1rad的角是周角的痔1rad的角比1°的角要大D?用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)［思路探究］由題目可獲取以下主要信息：各選項(xiàng)中均涉及到角度與弧度，解答本題可從角度和弧度的定義著手．D［根據(jù)角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長短無關(guān)，而是與弧長與半徑的比值有關(guān)，所以D項(xiàng)是假命題，A、B、C項(xiàng)均為真命題．］弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；定義不同聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”小無關(guān)的定值為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大1?下列各說法中，錯(cuò)誤的說法是（）半圓所對(duì)的圓心角是nrad周角的大小等于2nC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長等于該圓的半徑D.長度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度［答案］D

⑴將a⑴將a「a2用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；(2)將為，禹用角度制表示出來，并在一720°?0。之間找出與它們終邊相同的所有角.［思路探究］由題目可獲取以下主要信息：37用角度制給出的兩個(gè)角一570。，750。，用弧度制給出的兩個(gè)角尹，一弓；(2)終邊相同的角的表示.解答本題⑴可先將一570°,750°化為弧度角再將其寫成2kn+a(kwZ,0Wa<2n)的形式，解答(2)可先將”］、“2用角度制表示，再將其寫成”+k?360°(k$Z)的形式.［解］(1)要確定角a所在的象限，只要把a(bǔ)表示為a=2kn+a0(kGZ,0Wa0<2n)的形式，由a0所在象限即可判定出a所在的象限.19「5a、=—570°=—^n=一4兀+三兀,166a2=750°=a2=750°=25~6n=4n+n6..*.a1在第二象限，a2在第一象限.3n，-,(2)^1=5=108°，設(shè)0=”1+k?360°(kGZ),由一720°W3<0°，得一720°W108°+k?360°<0°,:.k=_2或k=—l,???在一720。?0。間與幾有相同終邊的角是一612。和一252°.同理”2=一420。且在一720°?0。間與卩2有相同終邊的角是一60°.角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換中的注意點(diǎn)在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式nRAd=180。是關(guān)鍵?由它可以得:。度數(shù)弧度數(shù)，弧度數(shù)二度數(shù).特殊角的弧度數(shù)與度數(shù)對(duì)應(yīng)值今后常用，應(yīng)該熟記.在同一個(gè)式子中，角度與弧度不能混合用，必須保持單位統(tǒng)一，如a=2kn+30。，kez是不正確的寫法.判斷角a終邊所在的象限時(shí)，若a三［一2兀，2兀］，應(yīng)首先把a(bǔ)表示成a=2kn+”，”e［—2n,2n］的形式，然后利用角”終邊所在的象限來確定角a終邊所在的象限.

n7n［解］因?yàn)?0。=6rad,210°=~6rad,n這兩個(gè)角的終邊所在的直線相同，因?yàn)榻K邊在直線AB上的角為a=kn+6,nk^Z,而終邊在y軸上的角為”=kn+2，keZ，從而終邊落在陰影部分內(nèi)的角,「nn'的集合為<&kn+~6<e<kn+2,keZ>.弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用［探究問題］用公式lal=r求圓心角時(shí)，應(yīng)注意什么問題？［提示］應(yīng)注意結(jié)果是圓心角的絕對(duì)值，具體應(yīng)用時(shí)既要注意其大小，又要注意其正負(fù).在使用弧度制下的弧長公式及面積公式時(shí)，若已知的角是以“度”為單位，需注意什么問題？［提示］若已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成弧度后再計(jì)算，否則結(jié)果出錯(cuò).【例3】(1)設(shè)扇形的周長為8cm,面積為4cm2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1radB．2radC．3radD．4rad(2)已知扇形的周長為20cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇

形的面積最大？最大面積是多少？［思路探究］(1)可由扇形周長和面積建立方程組，通過解方程組求得(2)可通過建立扇形面積的目標(biāo)函數(shù)來求解．B［設(shè)扇形半徑為r,弧長為l,由題意得l=4,r=2'2l=4,r=2<1解得、2l°r=4,則圓心角a=-=2rad.］r［解］設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,面積為S.則l=20—2r,???S=2lr=2(2O—2r)?r=—r2+10r=—(r—5)2+25(0<r<10).?°?當(dāng)半徑r=5cm時(shí)，扇形的面積最大，為25cm2.,,l20—2X5止匕時(shí)a=-==2rad.r5??當(dāng)它的半徑為5cm,圓心角為2rad時(shí)，扇形面積最大，最大面積為25cm2.(變條件)用30cm長的鐵絲圍成一個(gè)扇形，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？［解］設(shè)扇形的圓心角為a,半徑為r,面積為S,弧長為l,則有l(wèi)+2r=30,*.l=30—2r*.l=30—2r，從而S=2,r=2（3O—2r）廠=一您+15廠=一15r—~22+竽1515、225?°?當(dāng)半徑廠="2cm時(shí)，l=30—2X"2=15cm,扇形面積的最大值是卡-cm?,這時(shí)心卜2說.、15225?：當(dāng)扇形的圓心角為2rad，半徑為-ycm時(shí)，面積最大，為-4cm2.弧度制下解決扇形相關(guān)問題的步驟：明確弧長公式和扇形的面積公式：l=lalr,S=|ar2和S=￡lr；(這里a必須是弧度制下的角)；分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式；根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解.1?釋疑弧長公式及扇形的面積公式公式中共四個(gè)量分別為al,r,S,由其中的兩個(gè)量可以求出另外的兩個(gè)量，即知二求二.運(yùn)用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡單得多，但要注意它的前提是a為弧度制.在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用:—ll—12S?l=ar，rr=a②臂,石.2?角度制與弧度制的比較角度制用度作為單位來度量角的單位制角的大小與半徑無關(guān)單位“?！辈荒苁÷越堑恼?fù)與方向有關(guān)六十進(jìn)制弧度制用弧度作為單位來度量角的單位制角的大小與半徑無關(guān)單位“rad”可以省略角的正負(fù)與方向有關(guān)十進(jìn)制

A.40T兀C.2001.把56A.40T兀C.2005n5nA.TB.T5n5nC.~6D.16D225n5n[56。15'=56.25°=才X而二2.在半徑為10的圓中，240。的圓心角所對(duì)弧長為（）n4440[240°=240X180rad=§nrad,?：弧長l=a?r=3nX10=~3n，選A.]3.將一1485