第22講三角函數(shù)應(yīng)用題第22講三角函數(shù)應(yīng)用題1第22講三角函數(shù)應(yīng)用題

1.如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知∠A為1

20°,AB,AC的長(zhǎng)度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.(1)若AP+AQ=200米,如何使得三角形地塊APQ面積最大?(2)已知竹籬笆長(zhǎng)50

米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價(jià)均為每平方米100元,求圍墻總造價(jià)的取值范圍.第22講三角函數(shù)應(yīng)用題

解析(1)設(shè)AP=x米,則AQ=(200-x)米,所以S△APQ=

x(200-x)sin120°≤

×

=2500

(米2),當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x時(shí)取等號(hào),即AP=AQ=100(米),

Smax=2500

(米2).(2)由

=

=

,得AP=100sin∠AQP,AQ=100sin∠APQ,故圍墻總造價(jià)y=100(AP+2AQ)=10000(sin∠AQP+2sin∠APQ)=10000

cos∠AQP,解析(1)設(shè)AP=x米,則AQ=(200-x)米,因?yàn)?<∠AQP<

,∴

<

cos∠AQP<

,所以y∈(5000

,10000

).答:圍墻總造價(jià)的取值范圍為5000

~10000

元.因?yàn)?<∠AQP<?,∴?<?cos∠AQP<?,2.如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=20

0m,斜邊AB=400m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC大道上嬉

戲,所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F.(1)若甲乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的

另一端時(shí)即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時(shí)甲乙兩人之間

的距離;(2)設(shè)∠CEF=θ,乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍,且∠DEF=

,請(qǐng)將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.2.如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形解析(1)依題意得BD=300m,BE=100m,在△ABC中,cosB=

=

,∴B=

,在△BDE中,由余弦定理得:解析(1)依題意得BD=300m,BE=100m,DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cosB=3002+1002-2×300×100×

=70000,∴DE=100

.答:此時(shí)甲乙兩人之間的距離為100

m.(2)由題意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,在直角三角形CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycosθ,在△BDE中,由正弦定理得

=

,即

=

,∴y=

=

,0<θ<

,所以當(dāng)θ=

時(shí),y有最小值50

.答:甲乙之間的最小距離為50

m.DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cosB=3002+題型一三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用題例1

(2018南京高三第三次模擬)如圖,公園里有一湖泊,其邊界由兩條線段

AB,AC和以BC為直徑的半圓弧

組成,其中AC為200米,AC⊥BC,∠A為

.若在半圓弧

,線段AC,線段AB上各建一個(gè)觀賞亭D,E,F,再修兩條棧道DE,DF,使DE∥AB,DF∥AC.記∠CBD=θ

.(1)試用θ表示BD的長(zhǎng);(2)試確定點(diǎn)E的位置,使兩條棧道長(zhǎng)度之和最大.例1

(2018南京高三第三次模擬)如圖,公園里有一湖8解析(1)連接DC.在△ABC中,AC=200米,AC⊥BC,∠A=

,所以∠CBA=

,AB=400米,BC=200

米.因?yàn)锽C為直徑,所以∠BDC=

,所以BD=BCcosθ=200

cosθ米.(2)在△BDF中,∠DBF=θ+

,∠BFD=

,BD=200

cosθ,解析(1)連接DC.9所以

=

=

,所以DF=400cosθsin

,BF=400cos2θ,所以DE=AF=400-400cos2θ,所以DE+DF=400-400cos2θ+400cosθsin

=

sin2θ-cos2θ+3=200sin

+300.因?yàn)?/p>

≤θ<

,所以

≤2θ-

<

,所以?=?=?,10所以當(dāng)2θ-

=

,即θ=

時(shí),DE+DF有最大值500,此時(shí)E與C重合.答:當(dāng)E與C重合時(shí),兩條棧道長(zhǎng)度之和最大.【核心歸納】解三角形的實(shí)際應(yīng)用題一般引進(jìn)“角變量”,利用正弦定

理、余弦定理建立目標(biāo)函數(shù),再利用公式化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù),最后結(jié)合三角函數(shù)的

圖象求解最值.所以當(dāng)2θ-?=?,即θ=?時(shí),DE+DF有最大值500,此111-1

(2018江蘇如皋高三調(diào)研)在某城市街道一側(cè)l1的某處安裝路燈,路寬OD

為12

米,燈桿AB長(zhǎng)4米,且與燈柱OA成120°角,路燈采用可旋轉(zhuǎn)燈口方向的錐形燈罩,燈罩軸線BC與燈的邊緣光線(如圖BM,BN)都成30°角,當(dāng)燈罩軸線

BC與燈桿AB垂直時(shí),燈罩軸線正好通過OD的中點(diǎn).(1)求燈柱OA的高h(yuǎn);(2)設(shè)∠ABC=θ,且

≤θ≤

,求燈所照射路面寬度MN的最小值.1-1

(2018江蘇如皋高三調(diào)研)在某城市街道一側(cè)l12解析(1)連接AC,設(shè)∠ACO=α,則∠ACB=60°-α,在Rt△ACO中,AC=

=

,在直角△ACB中,AC=

=

,則有

=

,解得tanα=

,在Rt△ACO中,AO=ON·tanα=6

×

=10.故燈柱OA的高h(yuǎn)為10米.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),ON,OA分別為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(0,10),B(2

,12),解析(1)連接AC,設(shè)∠ACO=α,則∠ACB=60°-α13D(12

,0),∠ABC=θ∈

.①若∠ABC=

,由(1)知,MN=8

;②若∠ABC=θ∈

,則直線BM的方程為y=(x-2

)tanθ+12,則xM=-

+2

>0,直線BN的方程為y=(x-2

)tan

+12,則xN=-

+2

<12

,D(12?,0),∠ABC=θ∈?.14所以MN=xN-xM=12

=12

=

=

,又∠ABC=θ∈

時(shí),所以MN=xN-xM=12?15所以當(dāng)θ=

時(shí),MN取最小值12-12

.綜合①②知,當(dāng)θ=

時(shí),MN取最小值12

-12.所以當(dāng)θ=?時(shí),MN取最小值12-12?.16題型二三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題例2

(2018江蘇,17)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓

弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN

的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為

矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D均在

圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積,并確定sinθ的取值范圍;(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的

單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)

值最大.題型二三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題例2

(2018江蘇17

解析(1)設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于H,則PH⊥MN,所以O(shè)H=10米.過O作OE⊥BC于E,則OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ米,EC=40sinθ米,則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)?解析(1)設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于H,則PH⊥MN,所以18=800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為

×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ)平方米.過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于G和K,則GK=KN=10米.令∠GOK=θ0,則sinθ0=

,θ0∈

.當(dāng)θ∈

時(shí),才能作出滿足條件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范圍是

.答:矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為1600=800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,19(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范圍是

.(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,所以設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0).則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k

(sinθcosθ+cosθ),θ∈

.設(shè)f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈

.則f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1),(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值20令f'(θ)=0,得θ=

,當(dāng)θ∈

時(shí),f'(θ)>0,所以f(θ)為增函數(shù);當(dāng)θ∈

時(shí),f'(θ)<0,所以f(θ)為減函數(shù),因此,當(dāng)θ=

時(shí),f(θ)取到最大值.答:當(dāng)θ=

時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.【核心歸納】引進(jìn)“角變量”時(shí)先利用三角公式、三角函數(shù)的定義等建

立目標(biāo)函數(shù),再對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

的關(guān)系求解最值.令f'(θ)=0,得θ=?,【核心歸納】引進(jìn)“角變量”時(shí)212-1

(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)圖①是一斜拉橋的航拍圖,為了分析大橋

的承重情況,研究小組將其抽象成圖②所示的數(shù)學(xué)模型.索塔AB,CD與橋面

AC均垂直,通過測(cè)量知兩索塔的高度均為60m,橋面AC上一點(diǎn)P到索塔AB,

CD距離之比為21∶4,且P對(duì)兩塔頂?shù)囊暯菫?35°.(1)求兩索塔之間橋面AC的長(zhǎng)度;(2)研究表明索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān),可簡(jiǎn)單抽象

為某索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正

數(shù)a),且與該處到索塔的距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù)b).問兩索塔對(duì)橋

面何處的“承重強(qiáng)度”之和最小,并求出最小值.2-1

(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)圖①是一斜拉橋22圖①圖②解析(1)設(shè)AP=21t米,CP=4t米,t>0,記∠APB=α,∠CPD=β,則tanα=

=

,tan

β=

=

,由tan(α+β)=tan45°=

=

=1,圖①圖②解析(1)設(shè)AP=21t米23化簡(jiǎn)得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-

(舍去),所以AC=AP+PC=21×20+4×20=500米.答:兩索塔之間橋面AC的長(zhǎng)度為500米.(2)設(shè)AP=x米,點(diǎn)P處的承重強(qiáng)度之和為L(zhǎng)(x).則L(x)=60

,且x∈(0,500),即L(x)=60ab

,x∈(0,500),記l(x)=

+

,x∈(0,500),則l'(x)=

+

,化簡(jiǎn)得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-?(24令l'(x)=0,解得x=250,當(dāng)x∈(0,250)時(shí),l'(x)<0,l(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(250,500)時(shí),l'(x)>0,l(x)單調(diào)遞增;所以x=250時(shí),l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值,最小值為

.答:兩索塔對(duì)橋面AC中點(diǎn)處的“承重強(qiáng)度”之和最小,且最小值為

.令l'(x)=0,解得x=250,25題型三解三角形與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題例3

(2018揚(yáng)州高三第三次調(diào)研)如圖,某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域

ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3百米,CD=2百米.該區(qū)域內(nèi)原有道路AC,現(xiàn)新修

一條直道DP(寬度忽略不計(jì)),點(diǎn)P在道路AC上(異于A,C兩點(diǎn)),∠BAC=

,∠DPA=θ.(1)用θ表示直道DP的長(zhǎng)度;(2)計(jì)劃在△ADP區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物,在△CDP區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物.已知

種植觀賞植物的成本為每平方百米2萬(wàn)元,種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百

米1萬(wàn)元,新建道路DP的成本為每百米1萬(wàn)元,求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值.題型三解三角形與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題例3

(2018揚(yáng)州高三26解析(1)過點(diǎn)D作DD'垂直線段AB,垂足為D'.在Rt△ABC中,因?yàn)锳B⊥BC,∠BAC=

,AB=3百米,所以BC=

百米.在Rt△ADD'中,易知AD'=1百米,DD'=

百米,所以AD=2百米,則sin∠DAD'=

,故∠DAD'=

,又∠BAC=

,所以∠DAP=

,解析(1)過點(diǎn)D作DD'垂直線段AB,垂足為D'.27在△ADP中,由正弦定理得

=

,所以DP=

,

<θ<

.

(2)在△ADP中,由正弦定理得

=

,在△ADP中,由正弦定理得?=?,28所以AP=

=

,

<θ<

.所以S△APD=

AP·PD·sinθ=

·

·

·sinθ=

,

<θ<

.又S△ADC=

AD·DC·sin∠ADC=

×2×2sin

=

.所以S△DPC=S△ADC-S△APD=

-

,

<θ<

.設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用總和為f(θ),所以AP=?=?,?<θ<?.29則f(θ)=

×2+

×1+

×1=

+

=

+

,

<θ<

.所以f'(θ)=

,

<θ<

,令f'(θ)=0,則θ=

.則f(θ)=?×2+?×1+?×130列表:所以當(dāng)θ=

時(shí),f(θ)min=2

.答:三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為2

萬(wàn)元.θ

f'(θ)-0+f(θ)↘2

↗【核心歸納】利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等建立目標(biāo)函

數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.列表:所以當(dāng)θ=?時(shí),f(θ)min=2?.θ???f'(313-1

(2018鹽城高三年級(jí)第三次模擬)如圖所示的是一個(gè)扇形花園,已知該扇

形的半徑長(zhǎng)為400米,∠AOB=

,且OL平分∠AOB.現(xiàn)擬在OC上選取一點(diǎn)P,修建三條路PO,PA,PB供游人行走觀賞,設(shè)∠PAO=α.(1)將三條路PO,PA,PB的總長(zhǎng)表示為α的函數(shù)l(α),并寫出此函數(shù)的定義域;(2)試確定使得l(α)最小的α的值.

3-1

(2018鹽城高三年級(jí)第三次模擬)如圖所示的是32解析(1)在△APO中,由正弦定理,得

=

=

,即

=

=

,從而AP=

,OP=

.所以l(α)=OP+PA+PB=OP+2PA=

+2×

,解析(1)在△APO中,由正弦定理,得?=?=?,33故所求函數(shù)為l(α)=

,α∈

.(2)記f(α)=

=

,α∈

,因?yàn)閒'(α)=

=

,由f'(α)=0,得sin

=-

,又α∈

,所以α=

.故所求函數(shù)為l(α)=?,α∈?.34列表如下:所以,當(dāng)α=

時(shí),f(α)取得最小值,l(α)也取得最小值.α

f'(α)-0+f(α)遞減極小遞增列表如下:所以,當(dāng)α=?時(shí),f(α)取得最小值,l(α)也35dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8gendsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y456384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm

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1.如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知∠A為1

20°,AB,AC的長(zhǎng)度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.(1)若AP+AQ=200米,如何使得三角形地塊APQ面積最大?(2)已知竹籬笆長(zhǎng)50

米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價(jià)均為每平方米100元,求圍墻總造價(jià)的取值范圍.第22講三角函數(shù)應(yīng)用題

解析(1)設(shè)AP=x米,則AQ=(200-x)米,所以S△APQ=

x(200-x)sin120°≤

×

=2500

(米2),當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x時(shí)取等號(hào),即AP=AQ=100(米),

Smax=2500

(米2).(2)由

=

=

,得AP=100sin∠AQP,AQ=100sin∠APQ,故圍墻總造價(jià)y=100(AP+2AQ)=10000(sin∠AQP+2sin∠APQ)=10000

cos∠AQP,解析(1)設(shè)AP=x米,則AQ=(200-x)米,因?yàn)?<∠AQP<

,∴

<

cos∠AQP<

,所以y∈(5000

,10000

).答:圍墻總造價(jià)的取值范圍為5000

~10000

元.因?yàn)?<∠AQP<?,∴?<?cos∠AQP<?,2.如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=20

0m,斜邊AB=400m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC大道上嬉

戲,所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F.(1)若甲乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的

另一端時(shí)即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時(shí)甲乙兩人之間

的距離;(2)設(shè)∠CEF=θ,乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍,且∠DEF=

,請(qǐng)將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.2.如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形解析(1)依題意得BD=300m,BE=100m,在△ABC中,cosB=

=

,∴B=

,在△BDE中,由余弦定理得:解析(1)依題意得BD=300m,BE=100m,DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cosB=3002+1002-2×300×100×

=70000,∴DE=100

.答:此時(shí)甲乙兩人之間的距離為100

m.(2)由題意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,在直角三角形CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycosθ,在△BDE中,由正弦定理得

=

,即

=

,∴y=

=

,0<θ<

,所以當(dāng)θ=

時(shí),y有最小值50

.答:甲乙之間的最小距離為50

m.DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cosB=3002+題型一三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用題例1

(2018南京高三第三次模擬)如圖,公園里有一湖泊,其邊界由兩條線段

AB,AC和以BC為直徑的半圓弧

組成,其中AC為200米,AC⊥BC,∠A為

.若在半圓弧

,線段AC,線段AB上各建一個(gè)觀賞亭D,E,F,再修兩條棧道DE,DF,使DE∥AB,DF∥AC.記∠CBD=θ

.(1)試用θ表示BD的長(zhǎng);(2)試確定點(diǎn)E的位置,使兩條棧道長(zhǎng)度之和最大.例1

(2018南京高三第三次模擬)如圖,公園里有一湖46解析(1)連接DC.在△ABC中,AC=200米,AC⊥BC,∠A=

,所以∠CBA=

,AB=400米,BC=200

米.因?yàn)锽C為直徑,所以∠BDC=

,所以BD=BCcosθ=200

cosθ米.(2)在△BDF中,∠DBF=θ+

,∠BFD=

,BD=200

cosθ,解析(1)連接DC.47所以

=

=

,所以DF=400cosθsin

,BF=400cos2θ,所以DE=AF=400-400cos2θ,所以DE+DF=400-400cos2θ+400cosθsin

=

sin2θ-cos2θ+3=200sin

+300.因?yàn)?/p>

≤θ<

,所以

≤2θ-

<

,所以?=?=?,48所以當(dāng)2θ-

=

,即θ=

時(shí),DE+DF有最大值500,此時(shí)E與C重合.答:當(dāng)E與C重合時(shí),兩條棧道長(zhǎng)度之和最大.【核心歸納】解三角形的實(shí)際應(yīng)用題一般引進(jìn)“角變量”,利用正弦定

理、余弦定理建立目標(biāo)函數(shù),再利用公式化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù),最后結(jié)合三角函數(shù)的

圖象求解最值.所以當(dāng)2θ-?=?,即θ=?時(shí),DE+DF有最大值500,此491-1

(2018江蘇如皋高三調(diào)研)在某城市街道一側(cè)l1的某處安裝路燈,路寬OD

為12

米,燈桿AB長(zhǎng)4米,且與燈柱OA成120°角,路燈采用可旋轉(zhuǎn)燈口方向的錐形燈罩,燈罩軸線BC與燈的邊緣光線(如圖BM,BN)都成30°角,當(dāng)燈罩軸線

BC與燈桿AB垂直時(shí),燈罩軸線正好通過OD的中點(diǎn).(1)求燈柱OA的高h(yuǎn);(2)設(shè)∠ABC=θ,且

≤θ≤

,求燈所照射路面寬度MN的最小值.1-1

(2018江蘇如皋高三調(diào)研)在某城市街道一側(cè)l50解析(1)連接AC,設(shè)∠ACO=α,則∠ACB=60°-α,在Rt△ACO中,AC=

=

,在直角△ACB中,AC=

=

,則有

=

,解得tanα=

,在Rt△ACO中,AO=ON·tanα=6

×

=10.故燈柱OA的高h(yuǎn)為10米.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),ON,OA分別為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(0,10),B(2

,12),解析(1)連接AC,設(shè)∠ACO=α,則∠ACB=60°-α51D(12

,0),∠ABC=θ∈

.①若∠ABC=

,由(1)知,MN=8

;②若∠ABC=θ∈

,則直線BM的方程為y=(x-2

)tanθ+12,則xM=-

+2

>0,直線BN的方程為y=(x-2

)tan

+12,則xN=-

+2

<12

,D(12?,0),∠ABC=θ∈?.52所以MN=xN-xM=12

=12

=

=

,又∠ABC=θ∈

時(shí),所以MN=xN-xM=12?53所以當(dāng)θ=

時(shí),MN取最小值12-12

.綜合①②知,當(dāng)θ=

時(shí),MN取最小值12

-12.所以當(dāng)θ=?時(shí),MN取最小值12-12?.54題型二三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題例2

(2018江蘇,17)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓

弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN

的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為

矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D均在

圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積,并確定sinθ的取值范圍;(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的

單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)

值最大.題型二三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題例2

(2018江蘇55

解析(1)設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于H,則PH⊥MN,所以O(shè)H=10米.過O作OE⊥BC于E,則OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ米,EC=40sinθ米,則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)?解析(1)設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于H,則PH⊥MN,所以56=800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為

×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ)平方米.過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于G和K,則GK=KN=10米.令∠GOK=θ0,則sinθ0=

,θ0∈

.當(dāng)θ∈

時(shí),才能作出滿足條件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范圍是

.答:矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為1600=800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,57(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范圍是

.(2)因?yàn)榧住⒁覂煞N蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,所以設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0).則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k

(sinθcosθ+cosθ),θ∈

.設(shè)f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈

.則f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1),(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值58令f'(θ)=0,得θ=

,當(dāng)θ∈

時(shí),f'(θ)>0,所以f(θ)為增函數(shù);當(dāng)θ∈

時(shí),f'(θ)<0,所以f(θ)為減函數(shù),因此,當(dāng)θ=

時(shí),f(θ)取到最大值.答:當(dāng)θ=

時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.【核心歸納】引進(jìn)“角變量”時(shí)先利用三角公式、三角函數(shù)的定義等建

立目標(biāo)函數(shù),再對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

的關(guān)系求解最值.令f'(θ)=0,得θ=?,【核心歸納】引進(jìn)“角變量”時(shí)592-1

(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)圖①是一斜拉橋的航拍圖,為了分析大橋

的承重情況,研究小組將其抽象成圖②所示的數(shù)學(xué)模型.索塔AB,CD與橋面

AC均垂直,通過測(cè)量知兩索塔的高度均為60m,橋面AC上一點(diǎn)P到索塔AB,

CD距離之比為21∶4,且P對(duì)兩塔頂?shù)囊暯菫?35°.(1)求兩索塔之間橋面AC的長(zhǎng)度;(2)研究表明索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān),可簡(jiǎn)單抽象

為某索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正

數(shù)a),且與該處到索塔的距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù)b).問兩索塔對(duì)橋

面何處的“承重強(qiáng)度”之和最小,并求出最小值.2-1

(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)圖①是一斜拉橋60圖①圖②解析(1)設(shè)AP=21t米,CP=4t米,t>0,記∠APB=α,∠CPD=β,則tanα=

=

,tan

β=

=

,由tan(α+β)=tan45°=

=

=1,圖①圖②解析(1)設(shè)AP=21t米61化簡(jiǎn)得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-

(舍去),所以AC=AP+PC=21×20+4×20=500米.答:兩索塔之間橋面AC的長(zhǎng)度為500米.(2)設(shè)AP=x米,點(diǎn)P處的承重強(qiáng)度之和為L(zhǎng)(x).則L(x)=60

,且x∈(0,500),即L(x)=60ab

,x∈(0,500),記l(x)=

+

,x∈(0,500),則l'(x)=

+

,化簡(jiǎn)得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-?(62令l'(x)=0,解得x=250,當(dāng)x∈(0,250)時(shí),l'(x)<0,l(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(250,500)時(shí),l'(x)>0,l(x)單調(diào)遞增;所以x=250時(shí),l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值,最小值為

.答:兩索塔對(duì)橋面AC中點(diǎn)處的“承重強(qiáng)度”之和最小,且最小值為

.令l'(x)=0,解得x=250,63題型三解三角形與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題例3

(2018揚(yáng)州高三第三次調(diào)研)如圖,某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域

ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3百米,CD=2百米.該區(qū)域內(nèi)原有道路AC,現(xiàn)新修

一條直道DP(寬度忽略不計(jì)),點(diǎn)P在道路AC上(異于A,C兩點(diǎn)),∠BAC=

,∠DPA=θ.(1)用θ表示直道DP的長(zhǎng)度;(2)計(jì)劃在△ADP區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物,在△CDP區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物.已知

種植觀賞植物的成本為每平方百米2萬(wàn)元,種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百

米1萬(wàn)元,新建道路DP的成本為每百米1萬(wàn)元,求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值.題型三解三角形與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題例3

(2018揚(yáng)州高三64解析(1)過點(diǎn)D作DD'垂直線段AB,垂足為D'.在Rt△ABC中,因?yàn)锳B⊥BC,∠BAC=

,AB=3百米,所以BC=

百米.在Rt△ADD'中,易知AD'=1百米,DD'=

百米,所以AD=2百米,則sin∠DAD'=

,故∠DAD'=

,又∠BAC=

,所以∠DAP=

,解析(1)過點(diǎn)D作DD'垂直線段AB,垂足為D'.65在△ADP中,由正弦定理得

=

,所以DP=

,

<θ<

.

(2)在△ADP中,由正弦定理得

=

,在△ADP中,由正弦定理得?=?,66所以AP=

=

,

<θ<

.所以S△APD=

AP·PD·sinθ=

·

·

·sinθ=

,

<θ<

.又S△ADC=

AD·DC·sin∠ADC=

×2×2sin

=

.所以S△DPC=S△ADC-S△APD=

-

,

<θ<

.設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用總和為f(θ),所以AP=?=?,?<θ<?.67則f(θ)=

×2+

×1+

×1=

+

=

+

,

<θ<

.所以f'(θ)=

,

<θ<

,令f'(θ)=0,則θ=

.則f(θ)=?×2+?×1+?×168列表:所以當(dāng)θ=

時(shí),f(θ)min=2

.答:三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為2

萬(wàn)元.θ

f'(θ)-0+f(θ)↘2

↗【核心歸納】利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等建立目標(biāo)函

數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.列表:所以當(dāng)θ=?時(shí),f(θ)min=2?.θ???f'(693-1

(2018鹽城高三年級(jí)第三次模擬)如圖所示的是一個(gè)扇形花園,已知該扇

形的半徑長(zhǎng)為400米,∠AOB=

,且OL平分∠AOB.現(xiàn)擬在OC上選取一點(diǎn)P,修建三條路PO,PA,PB供游人行走觀賞,設(shè)∠PAO=α.(1)將三條路PO,PA,PB的總長(zhǎng)表示為α的函數(shù)l(α),并寫出此函數(shù)的定義域;(2)試確定使得l(α)最小的α的值.

3-1

(2018鹽城高三年級(jí)第三次模擬)如圖所示的是70解析(1)在△APO中,由正弦定理,得

=

=

,即

=

=

,從而AP=

,OP=

.所以l(α)=OP+PA+PB=OP+2PA=

+2×

,解析(1)在△APO中,由正弦定理,得?=?=?,71故所求函數(shù)為l(α)=

,α∈

.(2)記f(α)=

=

,α∈

,因?yàn)閒'(α)=

=

,由f'(α)=0,得sin

=-

,又α∈

,所以α=

.故所求函數(shù)為l(α)=?,α∈?.72列表如下:所以,當(dāng)α=

時(shí),f(α)取得最小值,l(α)也取得最小值.α

f'(α)-0+f(α)遞減極小遞增列表如下:所以,當(dāng)α=?時(shí),f(α)取得最小值,l(α)也73dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi