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均值不等式定理定理1、如果那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）證明：推論：如果那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）這是因?yàn)榻凶鲞@個(gè)n正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做這個(gè)n正數(shù)的幾何平均數(shù)，上面的推論就是：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。定理2、如果那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）證明：法二：由6。3節(jié)例3的結(jié)論可知同理可得將（1），（2），（3）式兩邊分別相加，得推論：如果那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）這是因?yàn)轱@然，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)上面的推論就是：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。綜合以上推論得：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。即：我們可以利用某些已經(jīng)證明過的不等式（如上面的定理及其推論）作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式。這種證明方法通常叫做綜合法。綜合法就是從已知條件或定理及其推論或常用結(jié)論出發(fā)，推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法也可說其為是“執(zhí)因索果”法。例4、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證證明：因?yàn)閍,b,c不全相等，所以（1），（2），（3）中至少有一個(gè)式不能取“=”號(hào)例5、已知求證證明：由得例6、已知求證證明：柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)有其中當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)取等號(hào)。叫做n個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)。叫做n個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)。對(duì)于n個(gè)正數(shù)有調(diào)和平均數(shù)不大于幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)不大于平方平均數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)它們互等時(shí)取等號(hào)。即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）掌握（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）練習(xí)1、已知

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