學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章集合常用邏輯用語集合的并、交、補運算【例1】已知全集U＝{0,1，2,3，4，5，6}，集合A＝｛x∈N｜1＜x≤4｝,B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0｝．（1)用列舉法表示集合A與B;（2)求A∩B及?U（A∪B)．［解］（1)由題知,A＝{2，3，4｝，B＝{x∈R｜（x－1）（x－2)＝0}＝｛1,2}．（2）由題知,A∩B＝{2｝，A∪B＝{1,2，3，4}，所以?U(A∪B）＝｛0，5,6｝．集合的運算主要包括交集、并集和補集運算.這也是高考對集合部分的主要考查點。有些題目比較簡單，直接根據(jù)集合運算的定義可得.有些題目與解不等式或方程相結合,需要先正確求解不等式，再進行集合運算。還有的集合問題比較抽象，解題時需借助Venn圖進行數(shù)形分析或利用數(shù)軸等，采用數(shù)形結合思想方法，可使問題直觀化、形象化，進而能使問題簡捷、準確地獲解。1．已知全集U＝｛1,2，3,4},集合A＝｛1，2}，B＝｛2,3}，則?U（A∪B）＝（)A．{1,3,4} B．｛3,4}C．｛3} D．｛4}D[∵A＝｛1，2}，B＝{2，3｝,∴A∪B＝{1，2，3}，∴?U（A∪B）＝｛4}．］集合關系和運算中的參數(shù)問題【例2】已知集合A＝｛x｜0≤x≤2｝,B＝{x|a≤x≤a＋3｝．(1）若(?RA）∪B＝R,求a的取值范圍；(2)是否存在a使（?RA)∪B＝R且A∩B＝?？[解]（1）A＝｛x|0≤x≤2｝，∴?RA＝｛x｜x〈0或x>2}．∵（?RA)∪B＝R，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a≤0，，a＋3≥2.)）∴－1≤a≤0。(2)由（1)知（?RA)∪B＝R時，－1≤a≤0,而2≤a＋3≤3,∴A?B，這與A∩B＝?矛盾．即這樣的a不存在．根據(jù)集合間關系求參數(shù)范圍時，要深刻理解子集的概念，把形如A?B的問題轉化為AB或A＝B，進而列出不等式組，使問題得以解決.在建立不等式過程中，可借助數(shù)軸以形促數(shù)，化抽象為具體.要注意作圖準確，分類全面。2．已知集合A＝｛x｜－3≤x＜2｝,B＝{x｜2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，求實數(shù)k的取值范圍。[解]由于B?A,在數(shù)軸上表示A，B,如圖,可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2k－1≥－3，,2k＋1＜2，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k≥－1,，k＜\f（1，2）。）)所以k的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（k\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤k＜\f（1，2)))）).充分條件與必要條件【例3】已知a≥eq\f(1，2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a,c均為實數(shù)．證明：對于任意的x∈{x｜0≤x≤1｝，均有y≤1成立的充要條件是c≤eq\f（3，4）.［解]因為a≥eq\f（1，2），所以函數(shù)y＝－a2x2＋ax＋c的圖象的對稱軸方程為x＝eq\f（a，2a2)＝eq\f（1，2a),且0＜eq\f（1,2a)≤1,當x＝eq\f（1，2a)時，y＝eq\f（1,4）＋c。先證必要性：對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq\f(1，4)＋c≤1,所以c≤eq\f（3，4）。再證充分性:因為c≤eq\f(3，4），當x＝eq\f（1，2a)時，y的最大值為eq\f(1,4）＋c≤eq\f（1,4）＋eq\f（3，4）＝1，所以對于任意x∈{x｜0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.即充分性成立．利用充分條件和必要條件求參數(shù)的取值范圍，主要是根據(jù)集合間的包含關系與充分條件和必要條件的關系，將問題轉化為集合之間的關系，建立關于參數(shù)的不等式或不等式組求解.3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件,則實數(shù)a的值為________．－eq\f（1,2)或eq\f（1,3)[p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3。q：ax＋1＝0，當a＝0時，方程無解；當a≠0時,x＝－eq\f（1，a).由題意知pq，q?p，故a＝0舍去;當a≠0時,應有－eq\f(1,a）＝2或－eq\f(1，a）＝－3,解得a＝－eq\f(1，2)或a＝eq\f(1，3）.綜上可知，a＝－eq\f（1,2）或a＝eq\f(1，3）.］全稱量詞與存在量詞【例4】（1)下列語句不是全稱量詞命題的是（）A．任何一個實數(shù)乘以零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．高一(一)班絕大多數(shù)同學是團員D．每一個實數(shù)都有大小(2)命題p：“?x∈R，x2＞0”，則（）A．p是假命題；﹁p：?x∈R，x2＜0 B．p是假命題；￢p：?x∈R，x2≤0C．p是真命題；￢p：?x∈R,x2＜0D．p是真命題；￢p：?x∈R，x2≤0（1）C（2）B［（1）A中命題可改寫為：任意一個實數(shù)乘以零都等于零,故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一（一）班存在部分同學是團員，C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為:任意的一個實數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題．故選C.(2)由于02＞0不成立,故“?x∈R，x2＞0”為假命題，根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R,x2≤0"，故選B.］“一般命題的否定"與“含有一個量詞的命題的否定”的區(qū)別與聯(lián)系1一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結論，得到真假性完全相反的兩個命題；含有一個量詞的命題的否定，是在否定結論px的同時,改變量詞的屬性,即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞。2與一般命題的否定相同，含有一個量詞的命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定.4．下列命題不是存在量詞命題的是()A．有些實數(shù)沒有平方根B．能被5整除的數(shù)也能被2整除C．在實數(shù)范圍內，有些一元二次方程無解D．有一個m使2－m與｜m｜－3異號B［選項A、C、D中都含有存在量