學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)組合的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))2．能解決有限制條件的組合問(wèn)題．(難點(diǎn))通過(guò)對(duì)組合應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)建模”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1．組合與排列的異同點(diǎn)共同點(diǎn)：排列與組合都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素．不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無(wú)關(guān)．2．應(yīng)用組合知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟(1）判斷：判斷實(shí)際問(wèn)題是否是組合問(wèn)題．（2）方法:選擇利用直接法還是間接法解題．(3）計(jì)算：利用組合數(shù)公式結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算．（4)結(jié)論：根據(jù)計(jì)算結(jié)果寫出方案?jìng)€(gè)數(shù)．1．某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名選手參加比賽，種子選手必須在內(nèi)，那么不同選法共有()A．26種 B．84種C．35種 D．21種C[從7名隊(duì)員中選出3人有Ceq\o\al(3,7）＝eq\f（7×6×5，3×2×1）＝35（種)選法．]2．將標(biāo)號(hào)為1,2，3，4，5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中,若每個(gè)信封放2張卡片，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有（）A．12種B．18種C．36種D．54種B［由題意，不同的放法共有Ceq\o\al（1,3)Ceq\o\al（2,4)＝3×eq\f（4×3，2）＝18種．]3．某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有________種．（用數(shù)字作答)10[兩種情況：①選2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)送給4位朋友，有Ceq\o\al（2,4）＝6種方法；②選1本畫冊(cè),3本集郵冊(cè)送給4位朋友，有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有6＋4＝10(種）．］4．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中,甲選修2門,乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．96［甲選修2門，有Ceq\o\al（2,4)＝6(種）不同方案．乙選修3門,有Ceq\o\al（3，4）＝4(種）不同選修方案．丙選修3門，有Ceq\o\al（3,4）＝4(種）不同選修方案．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選修方案共有6×4×4＝96(種）．]無(wú)限制條件的組合問(wèn)題【例1】在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)．在下列條件下,有多少種不同的選法？(1)任意選5人；（2)甲、乙、丙三人必須參加;（3)甲、乙、丙三人不能參加；（4)甲、乙、丙三人只能有1人參加．[解］(1）從中任取5人是組合問(wèn)題，共有Ceq\o\al（5,12）＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必需參加，則只需要從另外9人中選2人,是組合問(wèn)題,共有Ceq\o\al(2，9）＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參加,則只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al（5，9)＝126種不同的選法．(4）甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al（1,3）＝3種選法；再?gòu)牧硗?人中選4人,有Ceq\o\al（4,9)種選法．共有Ceq\o\al（1,3）Ceq\o\al（4，9)＝378種不同的選法．解答簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題的思考方法1弄清要做的這件事是什么事。2選出的元素是否與順序有關(guān),也就是看看是不是組合問(wèn)題。3結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結(jié)果.1．現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．（1）現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議,有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？［解]（1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù),即Ceq\o\al(2，10)＝eq\f(10×9，2×1）＝45.（2)可把問(wèn)題分兩類:第1類，選出的2名是男教師有Ceq\o\al（2,6）種方法；第2類，選出的2名是女教師有Ceq\o\al（2，4）種方法,即Ceq\o\al（2,6)＋Ceq\o\al(2，4)＝21（種)．有限制條件的組合問(wèn)題【例2】高二(1)班共有35名同學(xué),其中男生20名,女生15名,今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng)．（1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2)其中某一女生不能在內(nèi),不同的取法有多少種？（3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種?（5）至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種?［解]（1）從余下的34名學(xué)生中選取2名，有Ceq\o\al(2，34）＝561（種)．∴不同的取法有561種．(2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有Ceq\o\al（3，34）種．或者Ceq\o\al（3，35)－Ceq\o\al（2，34)＝Ceq\o\al(3,34）＝5984種．∴不同的取法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20）Ceq\o\al（2,15）＝2100種．∴不同的取法有2100種．（4）選取2名女生有Ceq\o\al（1,20）Ceq\o\al（2，15）種，選取3名女生有Ceq\o\al（3,15)種，共有選取方式N＝Ceq\o\al（1,20）Ceq\o\al（2，15）＋Ceq\o\al(3，15)＝2100＋455＝2555種．∴不同的取法有2555種．(5)選取3名的總數(shù)有Ceq\o\al(3，35),因此選取方式共有N＝Ceq\o\al（3,35)－Ceq\o\al(3，15）＝6545－455＝6090種．∴不同的取法有6090種．常見(jiàn)的限制條件及解題方法1特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無(wú)特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù).2含有“至多”“至少”等限制語(yǔ)句:要分清限制語(yǔ)句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解.3分類討論思想：解題的過(guò)程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問(wèn)題分類表達(dá)，逐類求解。2．現(xiàn)有5名男司機(jī)，4名女司機(jī)，需選派5人運(yùn)貨到某市．(1)如果派3名男司機(jī)、2名女司機(jī)，共有多少種不同的選派方法？（2)至少有兩名男司機(jī)，共有多少種不同的選派方法？［解］（1）從5名男司機(jī)中選派3名，有Ceq\o\al(3,5)種方法，從4名女司機(jī)中選派2名，有Ceq\o\al（2,4)種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得所選派的方法總數(shù)為Ceq\o\al(3，5)Ceq\o\al（2，4)＝Ceq\o\al（2,5）Ceq\o\al（2，4）＝eq\f(5×4,2×1)·eq\f（4×3,2×1）＝60種．（2)從9人中任選5人運(yùn)貨有Ceq\o\al(5,9）種方法．其中1名男司機(jī),4名女司機(jī)有Ceq\o\al(1，5）Ceq\o\al(4，4）＝5種選法．所以至少有兩名男司機(jī)的選派方法為Ceq\o\al（5,9）－5＝121種．1．無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題．其解題步驟為：(1）判斷；(2)轉(zhuǎn)化；(3)求值;（4）作答．2．有限制條件的組合應(yīng)用題中“含"與“不含”問(wèn)題：(1）這類問(wèn)題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．（2)若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口，即采用排除法．（3）解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)．1．圓上有10個(gè)點(diǎn)，過(guò)每三個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為（)A．720 B．360C．240 D．120D[確定三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.]2．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為(）A．28 B．49C．56 D．85B［依題意，滿足條件的不同選法的種數(shù)為Ceq\o\al(2，2)Ceq\o\al（1，7)＋Ceq\o\al(1，2)Ceq\o\al(2，7）＝49種．］3．由三個(gè)3和四個(gè)4可以組成________個(gè)不同的七位數(shù)．35［在七個(gè)位置上選出3個(gè)位置放入3,其余放入4，有Ceq\o\al（3，7）＝Ceq\o\al(4，7)＝35個(gè)不同的數(shù)．]4．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人,現(xiàn)需要從中選出6名成員組成考察團(tuán)外出參觀學(xué)習(xí),如果按性別分層,并在各層按比例隨機(jī)抽樣,則此考察團(tuán)的組成方法種數(shù)是________.2100[按性別分層,并在各層按比例隨機(jī)抽樣,則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人,共有Ceq\o\al（4，10）Ceq\o\al(2，5）＝2100種抽法．]5．某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道．(如圖)(1)圖中有多少個(gè)矩形？（2)從A點(diǎn)走向B點(diǎn)最短的走法有多少種?［解］（1)在7條南北向街道中任選2條，5條東西向街道中任選2條，這樣4條線可組成一個(gè)矩形，故