學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學必求其心得，業(yè)必貴于專精章末復習提升課

空間幾何體的表面積與體積如圖所示,梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°,AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周.求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.【解】由題易知以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體如圖所示，即圓柱中挖去一個倒置的且與圓柱等高的圓錐.在梯形ABCD中，∠ABC＝90°,AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，所以CD＝eq\f(BC－AD，cos60°）＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a,所以DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，所以DO＝eq\f（1,2）DD′＝a.由上述計算知，圓柱的母線長為eq\r(3)a，底面半徑為2a；圓錐的母線長為2a,底面半徑為a。所以圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·eq\r(3）a＝4eq\r(3）πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π（2a）2＝4πa2,圓錐的底面積S4＝πa2,所以組合體上底面面積S5＝S3－S4＝3πa2，故旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝（4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積，且V柱＝π·（2a）2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V錐＝eq\f(1，3)·π·a2·eq\r(3）a＝eq\f(\r(3）,3)πa3，故旋轉(zhuǎn)體的體積V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r（3),3）πa3＝eq\f（11\r（3），3)πa3.eq\a\vs4\al(）空間幾何體表面積、體積的求法（1）多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應用。（3)求復雜幾何體的體積時，常用割補法和等體積法求解。如圖所示,在多面體FEABCD中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB,EF＝2，求該多面體的體積V。解:如圖所示,分別過A，B作EF的垂線AG，BH，垂足分別為G,H.連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1，2)。所以AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f（\r（3)，2)，S△AGD＝S△BHC＝eq\f（1,2）×eq\f（\r（2),2)×1＝eq\f（\r(2）,4），V＝VE-ADG＋VF。BHC＋VAGD.BHC＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）×\f（1，2）×\f（\r（2），4)）)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3）.球與其他幾何體的組合問題已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2,則此棱錐的體積為(）A。eq\f（\r（2）,6) B。eq\f（\r(3),6）C.eq\f（\r(2)，3) D.eq\f（\r（2)，2）【解析】設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1，則OO1＝eq\r(OC2－O1C2）＝eq\r（1－\f(1,3））＝eq\f(\r(6）,3）。三棱錐SABC的高為2OO1＝eq\f（2\r（6）,3).所以三棱錐SABC的體積V＝eq\f（1，3)×eq\f(\r（3），4)×eq\f（2\r(6），3）＝eq\f(\r(2)，6）.故選A.【答案】Aeq\a\vs4\al（)解決與球有關(guān)組合體問題的常用方法（1）與球有關(guān)的組合體，一種是內(nèi)切，一種是外接,解題時要認真分析圖形,充分發(fā)揮空間想象能力,做到以下幾點：①明確切點和接點的位置；②確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系；③作出合適的截面圖.（2）一般地，作出的截面圖中應包括每個幾何體的主要元素，能反映出幾何體與球體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決。1。已知PA，PB，PC兩兩垂直且PA＝eq\r(2）,PB＝eq\r（3），PC＝2，則過P,A,B，C四點的球的體積為Ｗ。解析：以PB，PA，PC為長方體的長、寬、高作長方體，則長方體的對角線長為eq\r（PA2＋PB2＋PC2)＝3，即球的半徑為eq\f（3，2)，V球＝eq\f（4,3）πR3＝eq\f（9，2)π。答案：eq\f（9，2）π2。已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上。若圓錐底面面積是這個球面面積的eq\f(3，16),則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為Ｗ.解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，球面半徑為R，則πr2＝eq\f（3，16）×4πR2，解得r＝eq\f(\r（3)，2)R,所以對應球心距為eq\f(1，2)R,故小圓錐的高為R－eq\f（1,2)R＝eq\f（1，2)R，大圓錐的高為R＋eq\f（1，2)R＝eq\f(3，2)R，所以比值為eq\f(1，3).答案:eq\f（1,3）空間中的共點、共線、共面問題如圖所示,空間四邊形ABCD中，E,F分別為AB,AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2。求證：(1）E、F、G、H四點共面;（2)GE與HF的交點在直線AC上。【證明】（1）因為BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD,又因為E、F分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E、F、G、H四點共面.（2）因為G、H不是BC、CD的中點，所以EF≠GH.又EF∥GH，所以EG與FH不平行，則必相交，設(shè)交點為M，eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(EG?平面ABCHF?平面ACD）)?M∈平面ABC且M∈平面ACD?M在平面ABC與平面ACD的交線上?M∈AC。所以GE與HF的交點在直線AC上.eq\a\vs4\al(）在四邊形ABCD中，已知AB∥DC，AB,BC,DC，AD（或延長線）分別與平面α相交于點E，F(xiàn)，G，H.求證：E,F,G，H必在同一直線上.證明：因為AB∥CD,所以四邊形ABCD是一個平面圖形，即AB，CD確定一個平面β，則AB?β，AD?β。因為E∈AB，所以E∈β，因為H∈AD，所以H∈β.又因為E∈α,H∈α,所以α∩β＝EH.因為DC?β,G∈DC，所以G∈β。又因為G∈α,所以點G在α與β的交線EH上。同理，點F在α與β的交線EH上.所以E，F(xiàn)，G,H必在同一條直線上.平行、垂直關(guān)系如圖,已知直角梯形ABCD中，E為CD邊中點,且AE⊥CD,又G,F分別為DA，EC的中點,將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（1)求證：AE⊥平面CDE；(2）求證：FG∥平面BCD；(3）在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由.【解】（1）證明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC。因為DE∩EC＝E,DE，EC?平面DCE，所以AE⊥平面CDE。（2）證明：取AB的中點H,連接GH，F(xiàn)H,所以GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，因為GH?平面BCD，BD?平面BCD，所以GH∥平面BCD。同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H,所以平面FHG∥平面BCD,因為GF?平面FHG，所以GF∥平面BCD。(3）取線段AE的中點R，則平面BDR⊥平面DCB。證明如下：取線段DC的中點M，取線段DB的中點S，連接MS,RS，BR，DR,EM。則MSeq\o（\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f（1，2）BC,又REeq\o(\s\do3(═)，\s\up3(∥)）eq\f（1,2)BC,所以MSeq\o(\s\do3（═），\s\up3（∥）)RE，所以四邊形MERS是平行四邊形,所以RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點，所以EM⊥DC。由(1）知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE.因為EM?平面CDE，所以EM⊥BC。因為BC∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD，因為EM∥RS，所以RS⊥平面BCD。因為RS?平面BDR，所以平面BDR⊥平面DCB。eq\a\vs4\al(）（1)平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化（2）證明空間線面平行或垂直需注意三點①由已知想性質(zhì)，由求證想判定；②適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一；③用定理時要先明確條件，再由定理得出相應結(jié)論。如圖,在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是平行四邊形，點M在線段EF上.（1)求證:BC⊥平面ACFE；（2）當EM為何值時，AM∥平面BDF?證明你的結(jié)論。解：（1）證明：在梯形ABCD中，因為AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a,∠ABC＝60°，所以四邊形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝∠BCD＝120°,所以∠DCA＝∠DAC＝30°，所以∠ACB＝90°，所以AC⊥BC,又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE。（2)當EM＝eq\f(\r(3)，3)a時，AM∥平面BDF。證明如下：在梯形ABCD中,設(shè)AC∩BD＝N,連接FN（圖略），因為AC⊥BC，∠BAC＝30°，CB＝a，所以AB＝2a，AC＝eq\r(3）a.因為AB∥CD，所以CN∶NA＝CD∶AB＝a∶2a＝1∶2.因為EM＝eq\f（\r（3)，3）a,EF＝AC＝eq\r(3)a,所以EM∶MF＝1∶2。又EF∥AC,EF＝AC，所以MF∥AN,MF＝AN，所以四邊形ANFM是平行四邊形，所以AM∥NF.又NF?平面BDF，AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF?？臻g角的計算如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2eq\r（3)，PD＝CD＝2。（1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2）證明平面PDC⊥平面ABCD；（3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.【解】（1）在四棱錐P。ABCD中，因為底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD為異面直線PA與BC所成的角。又因為AD⊥PD,在Rt△PDA中，tan∠PAD＝eq\f(PD,AD）＝2，所以異面直線PA與BC所成角的正切值為2.（2)證明：由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD.又因為AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC.而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC內(nèi)，過點P作PE⊥CD交直線CD于點E，連接EB（如圖）.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角.在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2eq\r（3),可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝eq\r（3）。由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC。在Rt△PCB中,PB＝eq\r（PC2＋BC2)＝eq\r(13）.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝eq\f（PE，PB）＝eq\f(\r(39）,13）。所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為eq\f（\r（39),13）.eq\a\vs4\al（)空間角的求法（1）找異面直線所成的角的三種方法①利用圖中已有的平行線平移；②利用特殊點(線段的端點或中點）作平行線平移;③補形平移。(2）線面角：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影,即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足。通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形.（3)二面角：利用幾何體的特征作出所求二面角的平面角，再把該平面角轉(zhuǎn)化到某三角形或其他平面圖形中求解。（2019·南陽檢測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,△PAB是等邊三角形.（1）求證：BD⊥PC；(2)求二面角B.PC-D的大小。解析:(1）證明：如圖，取AB的中點O，連接PO，CO。因為△PAB是等邊三角形，所以PO⊥AB.又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，又BD?平面ABCD，所以PO⊥BD。又AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC，所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC，又OC，PO?平面POC，OC∩PO＝O,所以BD⊥平面POC,又PC?平面POC，所