學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE35-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．6.3平面與平面垂直考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)二面角理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的大小直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算平面與平面垂直的判定定理理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理直觀想象、邏輯推理平面與平面垂直的性質(zhì)定理理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理,并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理,能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問題直觀想象、邏輯推理問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P155－P161的內(nèi)容，思考以下問題：1．二面角的定義是什么?2．如何表示二面角?3．二面角的平面角的定義是什么？4．二面角的范圍是什么？5．面面垂直是怎樣定義的？6．面面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？7．面面垂直的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？1．二面角（1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．(2)圖形和記法圖形：記作:二面角α.AB。β或二面角α。l-β或二面角P。AB.Q或二面角P。l-Q．2．二面角的平面角(1)定義：在二面角α。l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）圖形、符號(hào)及范圍圖形：符號(hào)：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（α∩β＝l，O∈l,OA?α,OB?β,OA⊥l，OB⊥l））?∠AOB是二面角的平面角．范圍：0°≤∠AOB≤180°．（3)規(guī)定:二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．■名師點(diǎn)撥(1)二面角的大小與垂足O在l上的位置無關(guān)．一個(gè)二面角的平面角有無數(shù)個(gè)，它們的大小是相等的．（2）構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)"“垂直”．即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi),角的兩邊必須都與棱垂直，這三個(gè)條件缺一不可．這三個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面與棱垂直．3．平面與平面垂直（1)定義:一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直，平面α與β垂直,記作α⊥β．(2）判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（l⊥β，l?α）)?α⊥β■名師點(diǎn)撥定理的關(guān)鍵詞是“過另一個(gè)平面的垂線”,所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個(gè)平面的垂線．4．平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l，a?α，a⊥l))?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線■名師點(diǎn)撥對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解（1）定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直。（2)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)（1)二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在二面角棱上的位置有關(guān).（）（2）二面角可以看成是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的。（)（3）如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，則α⊥β.(）（4）如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面.(）（5）如果兩個(gè)平面垂直,那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個(gè)平面。（）答案：(1）×（2)√(3）×（4)×(5）×在二面角α。l-β的棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α-l.β的平面角，則必須具有的條件是（）A.AO⊥BO，AO?α,BO?βB。AO⊥l，BO⊥lC。AB⊥l，AO?α,BO?βD。AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β答案：D已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面()A。有1個(gè) B.有2個(gè)C。有無數(shù)個(gè) D。不存在答案:C若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（)A.α∥γ B。α⊥γC。α與γ相交但不垂直 D。以上都有可能解析:選D.由題意知，α與γ可能平行，也可能相交。如圖，α與δ平行,α與γ相交.如圖，P是二面角α。l。β內(nèi)的一點(diǎn)，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A,B。若∠APB＝80°,則二面角α.l.β的大小為Ｗ。答案：100°二面角的概念及其大小的計(jì)算（1）在正方體ABCD。A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成銳二面角A1-BD。A的正切值為(）A。eq\f(\r(3),2） B。eq\f（\r（2），2）C。eq\r(2） D.eq\r(3)（2）一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為()A。相等 B.互補(bǔ)C。相等或互補(bǔ) D。不確定【解析】(1）如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，O為BD的中點(diǎn)，因?yàn)锳1D＝A1B，所以在△A1BD中,A1O⊥BD。又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA為二面角A1.BD-A的平面角.設(shè)AA1＝1,則AO＝eq\f(\r(2)，2).所以tan∠A1OA＝eq\f(1,\f（\r（2),2))＝eq\r(2)。（2)反例：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD,C1D1的中點(diǎn)，二面角D。AA1。E與二面角B1。AB.C的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的,但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ).【答案】（1)C(2）Deq\a\vs4\al（)(1）求二面角大小的步驟簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”。（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定義法）在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線。如圖所示，∠AOB為二面角α.a.β的平面角.方法二：（垂線法）過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線,過垂足作棱的垂線，連接該點(diǎn)與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角。方法三:（垂面法）過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角。如圖所示，∠AOB為二面角α.l。β的平面角.[提醒］二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān),通常可根據(jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn).若P是△ABC所在平面外一點(diǎn),而△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA＝eq\r（6），那么二面角P。BC.A的大小為Ｗ。解析：如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OA,OP，則∠POA為二面角P。BC.A的平面角，OP＝OA＝eq\r（3),PA＝eq\r(6),所以△POA為直角三角形，∠POA＝90°。答案：90°平面與平面垂直的判定角度一利用定義證明平面與平面垂直如圖，在四面體ABCD中,BD＝eq\r（2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a。求證：平面ABD⊥平面BCD.【證明】因?yàn)椤鰽BD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f（1,2）BD＝eq\f（\r（2),2)a,所以AE＝eq\r(AB2－BE2）＝eq\f(\r(2）,2)a.同理CE＝eq\f(\r(2），2）a，在△AEC中,AE＝CE＝eq\f(\r（2),2)a，AC＝a。由于AC2＝AE2＋CE2,所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A-BD。C的平面角，又因?yàn)椤螦EC＝90°,所以二面角A-BD。C為直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD。角度二利用判定定理證明平面與平面垂直如圖，在四棱錐P。ABCD中,若PA⊥平面ABCD且四邊形ABCD是菱形.求證：平面PAC⊥平面PBD?！咀C明】因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又因?yàn)锽D?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD。eq\a\vs4\al（)證明平面與平面垂直的兩種常用方法(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：①找出兩相交平面的平面角;②證明這個(gè)平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個(gè)相交平面互相垂直.(2）利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直,只要證線面垂直.即在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：如圖所示,四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1，2)PD.證明:平面PQC⊥平面DCQ.證明：由四邊形ABCD為正方形，可得CD⊥AD,又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CD，PD⊥AD，故CD⊥平面AQPD，從而CD⊥PQ。如圖所示,取PD的中點(diǎn)E，連接QE.因?yàn)镻D∥QA，QA＝eq\f(1,2)PD，則DE∥AQ，且DE＝AQ，從而四邊形AQED是平行四邊形,則QE∥AD，所以QE⊥PD，所以DQ＝QP.設(shè)QA＝1,則AB＝1,PD＝2。在△DQP中，有DQ＝QP＝eq\r(2)，PD＝2.所以DQ2＋QP2＝PD2，故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD∩DQ＝D，所以PQ⊥平面DCQ。又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ。面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC,求證：BC⊥AC。【證明】如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點(diǎn)D，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC,且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC,所以AD⊥BC。因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC,所以PA⊥BC，因?yàn)锳D∩PA＝A,所以BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC,所以BC⊥AC。eq\a\vs4\al(）利用面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)注意的問題若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，應(yīng)注意三點(diǎn):①兩個(gè)平面垂直是前提條件;②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線。如圖，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求證：AE∥平面BCD。證明：如圖,取BC的中點(diǎn)M,連接DM，AM，因?yàn)锽D＝CD,所以DM⊥BC.又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，DM?平面BCD，兩平面交線為BC,所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM。又因?yàn)锳E?平面BCD,DM?平面BCD,所以AE∥平面BCD。垂直關(guān)系的綜合問題如圖，△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：（1)DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3)平面DEA⊥平面ECA?！咀C明】（1）如圖,取EC的中點(diǎn)F，連接DF.因?yàn)镋C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以EC⊥BC。同理可得BD⊥AB，易知DF∥BC,所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)EC，EC＝2BD，所以EF＝BD。又FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.（2)取CA的中點(diǎn)N,連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2）EC。因?yàn)镋C∥BD，BD＝eq\f（1，2)EC，所以MN綊BD,所以N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)。因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN。又CA⊥BN,EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.因?yàn)锽N在平面MNBD內(nèi),所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3）由(2)易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA。又DM?平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.eq\a\vs4\al(）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化。每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:如圖，在四棱錐P.ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)。求證:（1）PA⊥底面ABCD；(2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD。證明：（1）因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,所以PA⊥底面ABCD.（2）因?yàn)锳B∥CD,CD＝2AB,E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE,且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3）因?yàn)锳B⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因?yàn)镃D⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因?yàn)镃D?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1。給出以下四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）①如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行；②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面；③如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線相互平行;④如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直.A.4 B.3C.2 D.1解析：選B。①②④正確。①線面平行的性質(zhì)定理；②線面垂直的判定定理;③這兩條直線可能相交或平行或異面；④面面垂直的判定定理.2.在下列關(guān)于直線m,l和平面α，β的說法中，正確的是（)A。若l?β，且α⊥β，則l⊥αB。若l⊥β，且α∥β，則l⊥αC。若l⊥β，且α⊥β，則l∥αD.若α∩β＝m，且l∥m，則l∥α解析：選B.A項(xiàng)中l(wèi)與α可以平行或斜交，A項(xiàng)錯(cuò).B項(xiàng)中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正確.C項(xiàng)中，l可在α內(nèi),C項(xiàng)錯(cuò).D項(xiàng)中，l可在α內(nèi)，D項(xiàng)錯(cuò)。3.在三棱錐P。ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2,PC＝1,AB＝2eq\r（3），則二面角P.AB-C的大小為Ｗ.解析:取AB的中點(diǎn)M,連接PM，MC，則PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P。AB。C的平面角。在△PAB中，PM＝eq\r（22－（\r（3)）2)＝1，同理MC＝PC＝1，則△PMC是等邊三角形，所以∠PMC＝60°。答案：60°4.已知平面α，β和直線m，l，則下列說法:①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥β;②若α∩β＝m,l?α，l⊥m，則l⊥β；③若α⊥β,l?α，則l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β。其中正確的說法序號(hào)為Ｗ。解析：對(duì)于說法①缺少了條件：l?α；說法②缺少了條件：α⊥β;說法③缺少了條件：α∩β＝m，l⊥m；說法④具備了面面垂直的性質(zhì)定理的所有條件.答案：④5。如圖,四邊形ABCD，BD＝2eq\r（3），AB＝2,AD＝4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求證：AB⊥DE.證明：在△ABD中，因?yàn)锳B＝2,AD＝4,BD＝2eq\r(3），所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.又因?yàn)槠矫鍱BD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD,所以AB⊥平面EBD。因?yàn)镈E?平面EBD，所以AB⊥DE。［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］1。經(jīng)過平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有（）A。0個(gè) B.1個(gè)C.無數(shù)個(gè) D。1個(gè)或無數(shù)個(gè)解析：選D。當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí),可作無數(shù)個(gè)垂面，否則，只有1個(gè).2.從空間一點(diǎn)P向二面角α。l-β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF,E，F(xiàn)為垂足,若∠EPF＝60°，則二面角α.l。β的平面角的大小是（)A。60° B.120°C.60°或120° D.不確定解析：選C.若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外,則二面角的平面角為60°。3.已知直線a,b與平面α，β，γ,下列能使α⊥β成立的條件是(）A.α⊥γ，β⊥γ B。α∩β＝a，b⊥a，b?βC.a∥β，a∥α D.a∥α,a⊥β解析：選D。由a∥α，知α內(nèi)必有直線l與a平行。而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β。4.在四棱柱ABCD。A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB＝BC,AD＝CD，則BD與CC1(）A.平行 B.共面C。垂直 D.不垂直解析：選C.如圖所示，在四邊形ABCD中，因?yàn)锳B＝BC，AD＝CD。所以BD⊥AC.因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C。又CC1?平面AA1C1C,所以BD⊥CC1，故選C。5。如圖，正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段AC的三等分點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，G是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A。存在點(diǎn)G,使PG⊥EF成立B.存在點(diǎn)G，使FG⊥EP成立C。不存在點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ACD成立D。不存在點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABD成立解析：選C。正四面體ABCD中,E，F(xiàn)分別是線段AC的三等分點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，G是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，在A中,不存在點(diǎn)G，使PG⊥EF成立，故A錯(cuò)誤;在B中，不存在點(diǎn)G，使FG⊥EP成立,故B錯(cuò)誤；在C中，不存在點(diǎn)G,使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正確；在D中，存在點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABD成立,故D錯(cuò)誤.故選C.6。已知PA⊥矩形ABCD所在的平面（如圖），則圖中互相垂直的平面有對(duì).解析：因?yàn)镈A⊥AB,DA⊥PA,所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對(duì)。答案：57.如圖，在三棱錐P-ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC,且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝Ｗ。解析：因?yàn)閭?cè)面PAC⊥底面ABC,交線為AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC），PA?平面PAC，所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB，所以PB＝eq\r（PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4）＝eq\r(5).答案：eq\r（5）8.如圖，直二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為Ｗ.解析：如圖，連接BC，因?yàn)槎娼铅?l。β為直二面角，AC?α，且AC⊥l,所以AC⊥β。又BC?β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，所以CD＝eq\r(BC2－BD2）＝eq\r(2)。答案:eq\r(2）9。如圖,過S點(diǎn)引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求證：平面ABC⊥平面BSC.證明：取BC的中點(diǎn)D,連接SD、AD（圖略），由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.所以AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A-BC.S的平面角.又∠BSC＝90°,令SA＝1，則SD＝eq\f(\r（2)，2），AD＝eq\f(\r（2），2），所以SD2＋AD2＝SA2.所以∠ADS＝90°,所以平面ABC⊥平面BSC。10。如圖，三棱臺(tái)DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)。（1）求證:BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求證:平面BCD⊥平面EGH。證明：(1)如圖所示，連接DG，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH。在三棱臺(tái)DEF-ABC中，AB＝2DE,所以AC＝2DF。因?yàn)镚是AC的中點(diǎn)，所以DF∥GC，且DF＝GC，所以四邊形CFDG是平行四邊形，所以DM＝MC。因?yàn)锽H＝HC,所以MH∥BD.又BD?平面FGH，MH?平面FGH，所以BD∥平面FGH.（2）因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn),所以GH∥AB.因?yàn)锳B⊥BC，所以GH⊥BC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EF∥HC，EF＝HC，所以四邊形EFCH是平行四邊形，所以CF∥HE。因?yàn)镃F⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H,所以BC⊥平面EGH。又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH。[B能力提升]11。將銳角A為60°,邊長為a的菱形沿BD折成60°的二面角，則折疊后A與C之間的距離為（）A.a B.eq\f（1,2)aC.eq\f(\r(3），2)a D.eq\r(3）a解析：選C。設(shè)折疊后點(diǎn)A到A1的位置,取BD的中點(diǎn)E，連接A1E，CE.則BD⊥CE，BD⊥A1E。于是∠A1EC為二面角A1。BD.C的平面角.故∠A1EC＝60°。因?yàn)锳1E＝CE,所以△A1EC是等邊三角形。所以A1E＝CE＝A1C＝eq\f（\r（3)，2)a。12。如圖，在四面體PABC中，AB＝AC,PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB,BC,CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定成立的是(）A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC。平面PDF⊥平面PAED。平面PDF⊥平面ABC解析：選D.因?yàn)镈，F(xiàn)分別為AB,AC的中點(diǎn),則DF為△ABC的中位線，則BC∥DF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立.又E為BC的中點(diǎn)，且PB＝PC,AB＝AC，則BC⊥PE,BC⊥AE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE。因?yàn)锽C∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立.又DF?平面PDF，則平面PDF⊥平面PAE，C成立.要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，則必須有AE⊥PD或AE⊥PF,由條件知此垂直關(guān)系不一定成立，故選D。13.如圖所示，平面四邊形ABCD,AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2），BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD,則下列說法中正確的是（）①平面ACD⊥平面ABD;②AB⊥CD；③平面ABC⊥平面ACD。A。①② B。②③C.①③ D.①②③解析:選D.因?yàn)锽D⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，因?yàn)镃D?平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD,故①正確；因?yàn)槠矫嫠倪呅蜛BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AB⊥AD,又CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD，又AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD,又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故②③正確.14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°,AD∥BC,AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD,PD與底面成45°角,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（1）求證：BE⊥PD；（2）求二面