2022-2023學(xué)年福建省泉州市永春高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（

）A．30 B．60 C．120 D．150B【分析】求出直線的斜率即得解.【詳解】解：由題得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，所以.故選：B2．已知平面的法向量分別為且則（

）A． B． C．4 D．8C根據(jù)，則可得出答案.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為，且，所以，即，則故選：C3．圓x2+y2-2x-3=0與圓x2+y2-4x+2y+3=0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．內(nèi)含 C．相切 D．相交D【分析】求出圓心和半徑，再根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距與半徑之差和半徑和的關(guān)系，可得兩個(gè)圓相交．【詳解】由于圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的圓心為（1，0），半徑等于2，而圓x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）為圓心，半徑等于的圓．由于兩個(gè)圓的圓心距為：，2，故兩個(gè)圓相交，故選D．本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判定方法，屬于中檔題．4．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．B【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件求出的值，可得結(jié)論．【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題意可得故B．5．雙曲線的漸近線方程是：，則雙曲線的焦距為（

）A．3 B．6 C． D．B【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程是：，則求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是：，所以，，所以焦距為.故選：B本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B． C． D．2B運(yùn)用向量的線性運(yùn)用表示向量，對(duì)照系數(shù)，求得，代入可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.7．已知圓：，過(guò)直線：上一點(diǎn)Р作圓的切線，切點(diǎn)依次為A，B，若直線上有且只有一點(diǎn)Р使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（

）A．-20 B．20或12 C．-20或-12 D．12A【分析】由題設(shè)易知且為到直線的距離，再根據(jù)圓心坐標(biāo)及半徑、即可確定m的值，進(jìn)而可得，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】∵這樣的點(diǎn)是唯一的，則，即為到直線：的距離，而圓的半徑為2且，∴要使，則，又，即，∴，故．故選：A．8．法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱(chēng)為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱(chēng)為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓：的蒙日?qǐng)A為：，過(guò)C上的動(dòng)點(diǎn)M作的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為D．若動(dòng)點(diǎn)D在上，將直線DA，DB的斜率分別記為，，則B【分析】對(duì)于A，取橢圓左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)處的切線，建立齊次方程，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，可得答案；對(duì)于C，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式，利用函數(shù)的思想，可得答案；對(duì)于D，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)差法，結(jié)合兩點(diǎn)之間斜率公式，可得答案.【詳解】依題意，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作y軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)M，P，Q都在圓C上，且，所以PQ為圓C的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B不正確；設(shè)，的左焦點(diǎn)為，連接MF，因?yàn)?，所以，又，所以，則M到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C正確；由直線PQ經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：B.二、多選題9．以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．已知直線與直線互相垂直，則C．圓的圓心到直線的距離為2D．兩圓與的公共弦所在的直線方程為AB【分析】將直線轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即可判斷A是否正確；根據(jù)直線垂直的關(guān)系可知，解出的值，即可判斷B是否正確；求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷C是否正確；將兩圓方程聯(lián)立作差，即可求解兩個(gè)圓的公共弦方程，進(jìn)而判斷D是否正確；【詳解】直線，即對(duì)恒成立，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以A正確；因?yàn)榕c直線互相垂直，所以，所以，所以B正確；因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，所以圓心到直線的距離為，所以C錯(cuò)誤；將兩圓與方程聯(lián)立，作差可得，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知曲線的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是半徑為2的圓B．存在實(shí)數(shù)，使得曲線的離心率為的雙曲線C．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，離心率為D．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件AD【分析】根據(jù)圓，雙曲線和橢圓的定義，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)，AD正確，B選項(xiàng)方程無(wú)解排除，求出雙曲線離心率排除C選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，表示半徑為的圓，A正確；若曲線表示雙曲線，則，故或，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，曲線為雙曲線，，C錯(cuò)誤；曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則滿(mǎn)足，解得，故D正確.故選：AD.11．已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，若是直角三角形，則的面積可能為（

）A．5 B．4 C． D．BC【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性只需考慮或，當(dāng)時(shí)，求出的長(zhǎng)，再由面積公式即可求面積，當(dāng)時(shí)，結(jié)合，求出，再由面積公式即可求面積.【詳解】由可得，，所以，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性只需考慮或，當(dāng)時(shí)，將代入可得，如圖：，，所以的面積為，當(dāng)時(shí)，由橢圓的定義可知：，由勾股定理可得，因?yàn)?，所以，解得：，此時(shí)的面積為，綜上所述：的面積為或.故選：BC.12．已知正三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面， B．和到平面的距離相等C．存在點(diǎn)，使得平面 D．存在點(diǎn)，使得AB【分析】連接交于點(diǎn)，連接，證得，進(jìn)而得到平面，可判定A正確；證得，結(jié)合斜線與平面所成的角相等，可判斷B正確；假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，得到，令，結(jié)合，可判定C、D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎庵云鋫?cè)面都是矩形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，由平面，且平面，所以平面，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，，，所以，因?yàn)榕c與平面成角相等，所以和到平面的距離相等，所以B正確；對(duì)于C中，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)槠矫妫?，令，可得，因?yàn)楹退山菫殇J角，和所成角為銳角，所以，所以，所以不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由C知，所以不存在點(diǎn)，使得，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題13．已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)=_____.【分析】由題意結(jié)合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定的值.【詳解】由題意可知，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：，據(jù)此可得方程組：，求解方程組可得.故答案為．本題主要考查空間向量基本定理，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14．已知點(diǎn)到直線的距離為1，則等于______．【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式，即得解【詳解】由點(diǎn)到直線的距離公式，得，即，又，所以．故15．已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【分析】若表示圓，則，據(jù)此列式計(jì)算即可.【詳解】由題意，得，化簡(jiǎn)得，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為.四、解答題16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，線段的中點(diǎn)M；(1)求過(guò)M點(diǎn)和直線平行的直線方程；(2)求邊的高線所在直線方程．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，和直線直線的斜率，寫(xiě)出直線方程；（2）根據(jù)，得到邊的高線的斜率，寫(xiě)出直線方程；【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，，所以過(guò)M點(diǎn)和直線平行的直線方程為，即；（2）因?yàn)?，所以邊的高線的斜率為-3，所以邊的高線所在直線方程，即17．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，,，設(shè)(1)用表示，并求；(2)求AC1與BD所成角的大小.(1)(2)90°【分析】（1）（2）問(wèn)均用作為向量把其他向量表示出來(lái)，再代入對(duì)于公式計(jì)算即可.【詳解】（1），．（2）∵∴，因此AC1與BD所成角的大小為90°18．已知直線，半徑為2的圓C與相切，圓心C在軸上且在直線右上方.(1)求圓C的方程；(2)問(wèn)題：是否存在______的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)等于？若存在，則求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)從下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.①過(guò)點(diǎn)；②在軸上的截距和在軸上的截距相等；③方程為.(1)(2)選①，存在，直線的方程為或；選②，存在，直線的方程為；選③，不存在直線，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，，由圓心到切線距離等于半徑求得得圓方程；（2）由弦長(zhǎng)得圓心到直線的距離，選①，檢驗(yàn)斜率不存在的直線符合要求，斜率存在的直線設(shè)出直線方程后由點(diǎn)到直線距離公式求解；選②，分類(lèi)討論，截距為0，直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)檢驗(yàn)可得，截距不為0時(shí)設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求解；選③，直接由點(diǎn)到直線距離公式求解．【詳解】（1）直線與軸交點(diǎn)為，依題意設(shè)所求圓的圓心C的坐標(biāo)為，則，解得或（舍去）.故所求圓C的方程為；（2）由題意易得圓心C到直線的距離為選①：直線過(guò)點(diǎn).若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知符合題意；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)直線的方程為.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為或選②：直線在x，y兩坐標(biāo)軸上的截距相等.若直線的截距都為0，則直線過(guò)原點(diǎn)O即圓心C，不合題意；若直線的截距都不為0，不妨設(shè)直線的方程為，即.則有，解得.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為.選③：直線方程為.由題意，得整理，得，（*）因?yàn)?，所以方程?）無(wú)解，所以不存在符合題設(shè)的直線．19．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)若，且PC與底面ABCD所成角的正弦值為，求平面AEC與平面夾角的余弦值.(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）證明平面，再結(jié)合得到證明.（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直得到平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）底面，平面，故，又，且，平面，故平面，，即平面.（2）由底面，得與底面所成角即為，，，則，，，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則，.又平面，而，平面的一個(gè)法向量，，由圖可知平面與平面夾角為銳二面角，則平面AEC與平面AED夾角的余弦值為.20．已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，直線被雙曲線所截得的弦長(zhǎng)為6．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)．(1)；(2)定點(diǎn)坐標(biāo)為，詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可得雙曲線的漸近線為，然后直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)可得方程，進(jìn)而即得；（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理法可得以為直徑的圓的方程，然后令，結(jié)合條件可得定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，易得以為直徑的圓過(guò)此定點(diǎn)，即得.【詳解】（1）由雙曲線，可得其漸近線為，∴雙曲線：的漸近線為，∴，即，∴雙曲線：，由，可得，解得，∴直線被雙曲線所截得的弦長(zhǎng)為，解得，所以雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，可設(shè)，由，可得，設(shè)，則，，∴，，設(shè)以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，∴以為直徑的圓的方程為，令，可得，∴，∴，由，可得，即以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)為實(shí)軸端點(diǎn)，顯然以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，綜上，以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為.21．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3）．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足于∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，說(shuō)明理由．(1)(2)①；②斜率為定值；理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)離心率可得出，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，從而可得出答案.（2）①設(shè)，直線AB的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，根據(jù)四邊形APBQ面積為整理化簡(jiǎn)，將韋達(dá)定理代入，可得答案.②由題意則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，設(shè)PA的直線方程為y－3=k（x－2）與橢圓方程聯(lián)立得出，同理得出，代入AB的斜率公式中可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），則，且，解得a2=16，b2=12，∴橢圓C的方程為．（2）①∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P（2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴Q（2，－3）．設(shè)，直線AB的方程為，代入中，消去y，整理，得x2－tx+t2－12=0．由，解得－4＜t＜4；由韋達(dá)定理，得x1+x2=t，x1x2=t2－12．注意到線段PQ⊥x軸，︱PQ︱=6，∴四邊形APBQ的面積=，∴當(dāng)t=0，Smax=．

②當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA，PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k．由PA的直線方程為y－3=k（x－2），與橢圓C的方程聯(lián)立，組成方程組，消去y整理，得（3+4k2）x2+8k（3－2k）x+4（3－2k）2－48=0，所以．同理，PB的直線方程為y－3=－k（x－2），有（3+4k2）x2－8k（3+2k）x+4（