第三章多維隨機(jī)變量及其分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量及其分布3.1

定義:

把n個(gè)隨機(jī)變量的整體

()稱(chēng)為n維隨機(jī)變量

定義:同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，觀(guān)察兩個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。設(shè)第一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，第二個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為Y，則X可能取值為1，2，3，4，5，6，Y也可能取值為1，2，3，4，5，6，則兩個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(X,Y)就是二維隨機(jī)變量引例一同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，觀(guān)察兩個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。設(shè)第一個(gè)骰子出現(xiàn)的引例二炮彈命中點(diǎn)的平面位置要由水平距離X和垂直距離Y來(lái)確定，則炮彈命中點(diǎn)的平面位置（X,Y)也是二維隨機(jī)變量引例二炮彈命中點(diǎn)的平面位置要由水平距離X和垂直距離Y來(lái)確定，引例三一爐鋼的綜合質(zhì)量至少要由鋼的硬度（X），含碳量（Y），含硫量（Z）等多個(gè)變量來(lái)描述，則一爐鋼的綜合質(zhì)量至少要用三維隨機(jī)變量（X,Y,Z）來(lái)表示引例三一爐鋼的綜合質(zhì)量至少要由鋼的硬度（X），含碳量（Y），對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，Ω是其樣本空間。X(w)和Y(w)是定義在樣本空間Ω上的兩個(gè)隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的向量(X,Y)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。二維隨機(jī)變量的定義X(w),Y(w)w.(x,y)xy對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，Ω是其樣本空間。X(w)和Y(w)是定義在

二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,稱(chēng)二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)。xy(x,y)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,復(fù)習(xí)：一維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)<1><2><3><4>復(fù)習(xí)：一維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)<1><2><3><4>2.1.x1<x2,F(x1,y)≤F(x2,y)y1<y2,F(x,y1)≤F(x,y2)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)2.1.x1<x2,F(x1,y)≤F(x2,y)4.F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(x2,y1)xy(x2,y2)(x1,y2)(x1,y1)4.F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)經(jīng)濟(jì)地理學(xué)新第三章課件例2：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)為

求A,B,C的值舉個(gè)例子吧！解：例2：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)為二維離散型隨機(jī)變量設(shè)(xk,yk)(k=1,2,…)是二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的一切可能值，且(X,Y)取各個(gè)可能值的概率為則稱(chēng)為(X,Y)二維離散型隨機(jī)變量，上式為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)分布律。二維離散型隨機(jī)變量設(shè)(xk,yk)(k=1,2,…)是二維XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………聯(lián)合分布列XYx1y1 y2 ... yj …p11p12…p1j…聯(lián)聯(lián)合分布律的性質(zhì)聯(lián)合分布律的性質(zhì)例3：某學(xué)生求出的關(guān)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度如下表：小問(wèn)題0000020-357試分析該學(xué)生的計(jì)算結(jié)果是否正確？例3：某學(xué)生求出的關(guān)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度如下表例4：設(shè)有10件產(chǎn)品，其中2件是次品，從中隨機(jī)抽取兩次，每次取一件，取后不放回.以X表示第一次取到的次品件數(shù)。以Y表示第二次取到的次品件數(shù)，求隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布.解：（X,Y）的所有可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).則（X,Y）的概率分布0101例4：設(shè)有10件產(chǎn)品，其中2件是次品，從中隨機(jī)抽取兩次，每次例5.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)是正品，每次從袋中任意抽取一個(gè)，抽取兩次，定義隨機(jī)變量X、Y如下

對(duì)下面兩種抽取方式：(1)有放回抽??；(2)無(wú)放回抽取，求（X,Y）的概率分布。

例5.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)對(duì)下面兩種抽取方式：(二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,都有則稱(chēng)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x,y)稱(chēng)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)聯(lián)合概率密度或聯(lián)合分布密度。二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F聯(lián)合概率密度的性質(zhì)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)f(x,y)并不是二維隨機(jī)變量(X,Y)取值(x,y)的概率，而是反映了(X,Y)集中在點(diǎn)(x,y)附近的密集程度。f(x,y)并不是二維隨機(jī)變量(X,Y)取值(x,y)的概例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;(2)分布函數(shù);(3)（X,Y）落在如圖三角形區(qū)域內(nèi)的概率。xyy=2-2x例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;xyy=例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;(2)分布函數(shù);例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布設(shè)G為平面上的有界區(qū)域，若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度函數(shù)為

其中為區(qū)域G的面積，則稱(chēng)二維隨機(jī)變量(X,Y)在G上服從均勻分布。常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布設(shè)G為平面上的有界區(qū)例7.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)

上服從均勻分布，求(1)(X,Y)的分布函數(shù)；(2)P(Y>X2).例7.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)

例8：設(shè)(X,Y)在上服從均勻分布，求其分布函數(shù)F(x,y).

解：由于區(qū)域D的面積為6，所以(X,Y)的分布密度為解：由于區(qū)域D的面積為6，所以(X,Y(2)當(dāng)(1)當(dāng)yxXY230(x,y)(2)當(dāng)(1)當(dāng)yxXY230(x,y)(3)當(dāng)(4)當(dāng)(5)當(dāng)XY230(3)當(dāng)(4)當(dāng)(5)當(dāng)XY230綜上所述

F(x,y)=0x<0或y<0

xy/6

x/3y/21綜上所述F(x,y)=0常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為

其中σ1>0,σ2>0,|ρ

|<1,μ則稱(chēng)(X,Y)服從參數(shù)為μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二維正態(tài)分布。記作(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量(二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布邊緣分布與獨(dú)立性3.2邊緣分布與獨(dú)立性3.2邊緣分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),則隨機(jī)變量X的分布函數(shù)稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)。稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y邊緣分布xyFX(x)xyFY(y)邊緣分布xyFX(x)xyFY(y)二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為則(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣分布函數(shù)分別為(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣分布律分別為二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，p·jp·1 p·2 …

p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1p·jp·1 p·2 …p·j…例1：按3.1中例4的分布列，求（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布密度010

1例1：按3.1中例4的分布列，求（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分01010101解：故（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布密度分別為01001經(jīng)濟(jì)地理學(xué)新第三章課件例2.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)是正品，每次從袋中任意抽取一個(gè)，抽取兩次，定義隨機(jī)變量X、Y如下

對(duì)下面兩種抽取方式：(1)有放回抽??；(2)無(wú)放回抽取，求(X,Y)的邊緣分布律。

例2.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)對(duì)下面兩種抽取方式：(二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度分別為F(x,y)和f(x,y),則分別稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)邊緣概率密度。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，例3：設(shè)二維R，V（X，Y）的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

求（X，Y）關(guān)于X及Y的邊緣分布密度.例3：設(shè)二維R，V（X，Y）的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

例4.設(shè)(X,Y)的分布密度是求:(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度。解:例4.設(shè)(X,Y)的分布密度是求:(X,Y)關(guān)于X和Y的邊如果二維隨機(jī)變量(X,Y)滿(mǎn)足,則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立.連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性對(duì)任意x,y,有如果二維隨機(jī)變量(X,Y)滿(mǎn)足,則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立.連續(xù)型p·jp·1 p·2 …

p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1離散型p·jp·1 p·2 …p·j…例5.已知(X,Y)的分布如下，判斷X、Y是否獨(dú)立。XY1231 2 31/3 1/6 1/90 1/6 1/90 0 1/9例6.已知X、Y獨(dú)立,完成下面表格。XY12p.j1 2 3 pi.1/81/81/61例5.已知(X,Y)的分布如下，判斷X、Y是否獨(dú)立。XY1

例7設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？解：x>0

即：對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立y

>0例7設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？解：x>

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<例8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為：求(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布密度,并討論X與Y的獨(dú)立性。例8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為：求(X,Y)關(guān)(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)若(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X與Y相互獨(dú)立ρ=0(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)例9.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G={(x,y):0<y<2x+2,-1<x<0}

上服從均勻分布，求(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布密度,并判斷X與Y是否獨(dú)立。xy-12y=2x+2解:SG=1例9.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G={(x,y):0<y<2x+2經(jīng)濟(jì)地理學(xué)新第三章課件二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布3.3二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布隨機(jī)變量Z的分布???Z=g(X,Y)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布隨機(jī)變量Z的分布???Z=g(X設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)為一維離散型隨機(jī)變量.若對(duì)于不同的(xi,yj),g(xi,yj)的值互不相同,則Z的分布律為

二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若對(duì)于不同的(xi,yj),g(x,y)有相同的值,則應(yīng)取這些相同值對(duì)應(yīng)的概率之和。設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)為一維離散型隨-1012-12例1（X，Y）的聯(lián)合分布密度為求X+Y，X-Y分布密度。-1012-1例1離散型卷積公式例2.設(shè)X和Y相互獨(dú)立，其分布律為求Z=X+Y的分布律。離散型例2.設(shè)X和Y相互獨(dú)立，其分布律為求Z=X+Y的分布例3:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且X~P(λ1),Y~P(λ2)證明:Z=X+Y~P(λ1+λ2)例3:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且X~P(λ1),Y~P(λ2)證例4.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y),邊緣分布密度分別為fX(x),fY(y),

求Z=X+Y的分布密度。二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例4.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y),邊二維若X、Y獨(dú)立連續(xù)型卷積公式若X、Y獨(dú)立連續(xù)型例5.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。證：Z=X+Y~N(0,2)。例5.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)Z1=X+Y~N(μ1+μ2,σ12+σ22)X與Y相互獨(dú)立Z2=aX+bY~N(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2Z=aX+bYX與Y相互獨(dú)立Z=X-YZ=aX+bYX與Y相互獨(dú)立Z=X-Y例6.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。解:當(dāng)z<0,顯然FZ(z)=0,例6.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。解當(dāng)z≥0,當(dāng)z≥0,思考：已知相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的分布函數(shù)為FX(x)和FY(y),求M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布函數(shù)。思考：M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來(lái)求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y又由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函

類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣

設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來(lái)求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=0,1，…,n)設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它

用與二維時(shí)完全類(lèi)似的方法，可得

特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……用與二維時(shí)完全類(lèi)似的方法，可得特別，當(dāng)

若X1,…,Xn是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)后，不難求得M和N的密度函數(shù).留作課下練習(xí).

當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n若X1,…,Xn是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得M

需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱(chēng)M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值.需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有例7.某元件由兩個(gè)相互獨(dú)立的元件A1,A2

連接而成，其連接方式分別為：S1:串聯(lián);S2:并聯(lián)。設(shè)A1,A2的壽命X,Y服從指數(shù)分布。求兩種系統(tǒng)S1,S2的壽命的概率密度函數(shù)。A1A2S1A1A2S2例7.某元件由兩個(gè)相互獨(dú)立的元件A1,A2A1A2S1A二維隨機(jī)變量的條件分布3.4二維隨機(jī)變量的條件分布3.4

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量

設(shè)有兩個(gè)r.vX,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條

例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)

現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個(gè)條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來(lái)，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.

容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會(huì)很不一樣.

例如，在條件分布中體重取大值的概率會(huì)顯著增加.現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布隨機(jī)變量Y的分布???X=x二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布隨機(jī)變量Y的分布???X=x設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱(chēng)為在Y=yj下，隨機(jī)變量X的條件分布律.二維離散型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若P(p·jp·1 p·2 …

p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1p·jp·1 p·2 …p·j…條件概率分布的性質(zhì)X與Y相互獨(dú)立條件概率分布的性質(zhì)X與Y相互獨(dú)立二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)對(duì)于任意給定的ε>0,有P(y-ε<Y≤y+ε)>0,若存在,則稱(chēng)此極限為在Y=y下，隨機(jī)變量X的條件概率分布函數(shù).二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)對(duì)于任意給定的ε>0,有P(為已知

Y=y下，X的條件概率密度函數(shù).

為已知

X=x下，Y的條件概率密度函數(shù).為已知Y=y下，X的條件概率密度函數(shù).為已知經(jīng)濟(jì)地理學(xué)新第三章課件對(duì)很小的dx和

dy，fX|Y(x|y)dx表示已知

Y取值于y和y+dy之間的條件下，X取值于x和x+dx之間的條件概率.條件概率密度函數(shù)的直觀(guān)意義對(duì)很小的dx和dy，fX|Y(x|y)dx表示已知Y取求條件概率密度f(wàn)Y|X(y|x)。例1.若(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)求條件概率密度f(wàn)Y|X(y|x)。例1.若(X,Y)~N(第三章多維隨機(jī)變量及其分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量及其分布3.1

定義:

把n個(gè)隨機(jī)變量的整體

()稱(chēng)為n維隨機(jī)變量

定義:同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，觀(guān)察兩個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。設(shè)第一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，第二個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為Y，則X可能取值為1，2，3，4，5，6，Y也可能取值為1，2，3，4，5，6，則兩個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(X,Y)就是二維隨機(jī)變量引例一同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，觀(guān)察兩個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。設(shè)第一個(gè)骰子出現(xiàn)的引例二炮彈命中點(diǎn)的平面位置要由水平距離X和垂直距離Y來(lái)確定，則炮彈命中點(diǎn)的平面位置（X,Y)也是二維隨機(jī)變量引例二炮彈命中點(diǎn)的平面位置要由水平距離X和垂直距離Y來(lái)確定，引例三一爐鋼的綜合質(zhì)量至少要由鋼的硬度（X），含碳量（Y），含硫量（Z）等多個(gè)變量來(lái)描述，則一爐鋼的綜合質(zhì)量至少要用三維隨機(jī)變量（X,Y,Z）來(lái)表示引例三一爐鋼的綜合質(zhì)量至少要由鋼的硬度（X），含碳量（Y），對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，Ω是其樣本空間。X(w)和Y(w)是定義在樣本空間Ω上的兩個(gè)隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的向量(X,Y)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。二維隨機(jī)變量的定義X(w),Y(w)w.(x,y)xy對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，Ω是其樣本空間。X(w)和Y(w)是定義在

二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,稱(chēng)二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)。xy(x,y)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,復(fù)習(xí)：一維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)<1><2><3><4>復(fù)習(xí)：一維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)<1><2><3><4>2.1.x1<x2,F(x1,y)≤F(x2,y)y1<y2,F(x,y1)≤F(x,y2)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)2.1.x1<x2,F(x1,y)≤F(x2,y)4.F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(x2,y1)xy(x2,y2)(x1,y2)(x1,y1)4.F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)經(jīng)濟(jì)地理學(xué)新第三章課件例2：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)為

求A,B,C的值舉個(gè)例子吧！解：例2：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)為二維離散型隨機(jī)變量設(shè)(xk,yk)(k=1,2,…)是二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的一切可能值，且(X,Y)取各個(gè)可能值的概率為則稱(chēng)為(X,Y)二維離散型隨機(jī)變量，上式為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)分布律。二維離散型隨機(jī)變量設(shè)(xk,yk)(k=1,2,…)是二維XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………聯(lián)合分布列XYx1y1 y2 ... yj …p11p12…p1j…聯(lián)聯(lián)合分布律的性質(zhì)聯(lián)合分布律的性質(zhì)例3：某學(xué)生求出的關(guān)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度如下表：小問(wèn)題0000020-357試分析該學(xué)生的計(jì)算結(jié)果是否正確？例3：某學(xué)生求出的關(guān)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度如下表例4：設(shè)有10件產(chǎn)品，其中2件是次品，從中隨機(jī)抽取兩次，每次取一件，取后不放回.以X表示第一次取到的次品件數(shù)。以Y表示第二次取到的次品件數(shù)，求隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布.解：（X,Y）的所有可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).則（X,Y）的概率分布0101例4：設(shè)有10件產(chǎn)品，其中2件是次品，從中隨機(jī)抽取兩次，每次例5.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)是正品，每次從袋中任意抽取一個(gè)，抽取兩次，定義隨機(jī)變量X、Y如下

對(duì)下面兩種抽取方式：(1)有放回抽??；(2)無(wú)放回抽取，求（X,Y）的概率分布。

例5.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)對(duì)下面兩種抽取方式：(二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,都有則稱(chēng)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x,y)稱(chēng)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)聯(lián)合概率密度或聯(lián)合分布密度。二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F聯(lián)合概率密度的性質(zhì)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)f(x,y)并不是二維隨機(jī)變量(X,Y)取值(x,y)的概率，而是反映了(X,Y)集中在點(diǎn)(x,y)附近的密集程度。f(x,y)并不是二維隨機(jī)變量(X,Y)取值(x,y)的概例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;(2)分布函數(shù);(3)（X,Y）落在如圖三角形區(qū)域內(nèi)的概率。xyy=2-2x例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;xyy=例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;(2)分布函數(shù);例6.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值;常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布設(shè)G為平面上的有界區(qū)域，若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度函數(shù)為

其中為區(qū)域G的面積，則稱(chēng)二維隨機(jī)變量(X,Y)在G上服從均勻分布。常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布設(shè)G為平面上的有界區(qū)例7.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)

上服從均勻分布，求(1)(X,Y)的分布函數(shù)；(2)P(Y>X2).例7.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)

例8：設(shè)(X,Y)在上服從均勻分布，求其分布函數(shù)F(x,y).

解：由于區(qū)域D的面積為6，所以(X,Y)的分布密度為解：由于區(qū)域D的面積為6，所以(X,Y(2)當(dāng)(1)當(dāng)yxXY230(x,y)(2)當(dāng)(1)當(dāng)yxXY230(x,y)(3)當(dāng)(4)當(dāng)(5)當(dāng)XY230(3)當(dāng)(4)當(dāng)(5)當(dāng)XY230綜上所述

F(x,y)=0x<0或y<0

xy/6

x/3y/21綜上所述F(x,y)=0常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為

其中σ1>0,σ2>0,|ρ

|<1,μ則稱(chēng)(X,Y)服從參數(shù)為μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二維正態(tài)分布。記作(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量(二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布邊緣分布與獨(dú)立性3.2邊緣分布與獨(dú)立性3.2邊緣分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),則隨機(jī)變量X的分布函數(shù)稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)。稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y邊緣分布xyFX(x)xyFY(y)邊緣分布xyFX(x)xyFY(y)二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為則(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣分布函數(shù)分別為(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣分布律分別為二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，p·jp·1 p·2 …

p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1p·jp·1 p·2 …p·j…例1：按3.1中例4的分布列，求（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布密度010

1例1：按3.1中例4的分布列，求（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分01010101解：故（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布密度分別為01001經(jīng)濟(jì)地理學(xué)新第三章課件例2.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)是正品，每次從袋中任意抽取一個(gè)，抽取兩次，定義隨機(jī)變量X、Y如下

對(duì)下面兩種抽取方式：(1)有放回抽??；(2)無(wú)放回抽取，求(X,Y)的邊緣分布律。

例2.設(shè)袋中有五個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品，其中有兩個(gè)對(duì)下面兩種抽取方式：(二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度分別為F(x,y)和f(x,y),則分別稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)邊緣概率密度。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，例3：設(shè)二維R，V（X，Y）的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

求（X，Y）關(guān)于X及Y的邊緣分布密度.例3：設(shè)二維R，V（X，Y）的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

例4.設(shè)(X,Y)的分布密度是求:(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度。解:例4.設(shè)(X,Y)的分布密度是求:(X,Y)關(guān)于X和Y的邊如果二維隨機(jī)變量(X,Y)滿(mǎn)足,則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立.連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性對(duì)任意x,y,有如果二維隨機(jī)變量(X,Y)滿(mǎn)足,則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立.連續(xù)型p·jp·1 p·2 …

p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1離散型p·jp·1 p·2 …p·j…例5.已知(X,Y)的分布如下，判斷X、Y是否獨(dú)立。XY1231 2 31/3 1/6 1/90 1/6 1/90 0 1/9例6.已知X、Y獨(dú)立,完成下面表格。XY12p.j1 2 3 pi.1/81/81/61例5.已知(X,Y)的分布如下，判斷X、Y是否獨(dú)立。XY1

例7設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？解：x>0

即：對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立y

>0例7設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？解：x>

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<例8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為：求(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布密度,并討論X與Y的獨(dú)立性。例8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為：求(X,Y)關(guān)(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)若(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X與Y相互獨(dú)立ρ=0(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)例9.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G={(x,y):0<y<2x+2,-1<x<0}

上服從均勻分布，求(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布密度,并判斷X與Y是否獨(dú)立。xy-12y=2x+2解:SG=1例9.設(shè)(X,Y)在區(qū)域G={(x,y):0<y<2x+2經(jīng)濟(jì)地理學(xué)新第三章課件二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布3.3二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布隨機(jī)變量Z的分布???Z=g(X,Y)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布隨機(jī)變量Z的分布???Z=g(X設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)為一維離散型隨機(jī)變量.若對(duì)于不同的(xi,yj),g(xi,yj)的值互不相同,則Z的分布律為

二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若對(duì)于不同的(xi,yj),g(x,y)有相同的值,則應(yīng)取這些相同值對(duì)應(yīng)的概率之和。設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)為一維離散型隨-1012-12例1（X，Y）的聯(lián)合分布密度為求X+Y，X-Y分布密度。-1012-1例1離散型卷積公式例2.設(shè)X和Y相互獨(dú)立，其分布律為求Z=X+Y的分布律。離散型例2.設(shè)X和Y相互獨(dú)立，其分布律為求Z=X+Y的分布例3:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且X~P(λ1),Y~P(λ2)證明:Z=X+Y~P(λ1+λ2)例3:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且X~P(λ1),Y~P(λ2)證例4.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y),邊緣分布密度分別為fX(x),fY(y),

求Z=X+Y的分布密度。二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例4.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y),邊二維若X、Y獨(dú)立連續(xù)型卷積公式若X、Y獨(dú)立連續(xù)型例5.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。證：Z=X+Y~N(0,2)。例5.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)Z1=X+Y~N(μ1+μ2,σ12+σ22)X與Y相互獨(dú)立Z2=aX+bY~N(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2Z=aX+bYX與Y相互獨(dú)立Z=X-YZ=aX+bYX與Y相互獨(dú)立Z=X-Y例6.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。解:當(dāng)z<0,顯然FZ(z)=0,例6.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。解當(dāng)z≥0,當(dāng)z≥0,思考：已知相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的分布函數(shù)為FX(x)和FY(y),求M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布函數(shù)。思考：M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來(lái)求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y又由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函

類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣

設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來(lái)求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=0,1，…,n)設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它

用與二維時(shí)完全類(lèi)似的方法，可得

特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:FM(z)=[