考點(diǎn)規(guī)范練37數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)鞏固1.在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)時,當(dāng)n=1時的左邊等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)時,當(dāng)n=1時的左邊=1+2=3.2.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于足夠大的正整數(shù)n,總有2n>n3,則驗證不等式成立所取的第一個n的最小值應(yīng)該是()A.1 B.9 C.10 D.n>10,且n∈N*答案:C解析:210=1024>103.故選C.3.命題P(n)對于n=1成立,如果n=k成立,那么對于n=k+2也成立.下述結(jié)論正確的是()A.P(n)對于所有的自然數(shù)n都成立B.P(n)對于所有的正奇數(shù)n都成立C.P(n)對于所有的正偶數(shù)n都成立D.P(n)對于所有大于3的自然數(shù)n都成立答案:B解析:由于若命題P(n)對n=k成立,則它對n=k+2也成立.又已知命題P(1)成立,故可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)…均成立,即P(n)對所有的正奇數(shù)n都成立.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N*,能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證當(dāng)n=k+1(k∈N*)時的情況,只需展開()A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3答案:A解析:假設(shè)n=k(k∈N*)時,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當(dāng)n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設(shè)證明,只需將(k+3)3展開,讓其出現(xiàn)k3即可.故選A.5.對于不等式n2+n<n+1(n∈(1)當(dāng)n=1時,12+1<1+(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥1)時,不等式成立,即k2+k<k+1,則當(dāng)n=k+1時,(k+1)所以當(dāng)n=k+1時,不等式成立.上述證法()A.過程全部正確B.n=1驗得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確答案:D解析:在n=k+1時,沒有應(yīng)用n=k時的假設(shè),故推理錯誤.6.已知凸n多邊形有f(n)條對角線,則凸(n+1)邊形的對角線的條數(shù)f(n+1)為()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2答案:C解析:邊數(shù)增加1,頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個,它與它不相鄰的(n-2)個頂點(diǎn)連接成對角線,原來的一條邊也成為對角線,因此,對角線增加(n-1)條.故選C.7.由下列不等式:1>12,1+12+13>1,1+12+13+…+17解:一般結(jié)論:1+12+13+…+12n-1(1)當(dāng)n=1時,由題設(shè)條件知命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時猜想成立,即1+12+13當(dāng)n=k+1時,1+12+13+…+12k-1+12k∴當(dāng)n=k+1時不等式成立.根據(jù)(1)和(2)可知猜想對任何n∈N*都成立.8.觀察下列等式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,……(1)寫出第5個等式;(2)你能作出什么一般性的猜想?請用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.解:(1)第5個等式為5+6+7+…+13=81.(2)猜測第n個等式為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.證明:①當(dāng)n=1時顯然成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時成立,即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2.則當(dāng)n=k+1時,(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k-1)+3k+3k+1=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2.這就是說,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.根據(jù)①②知,等式對任何n∈N*都成立.9.設(shè)a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),n∈(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.答案:(1)解∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想an=a(2)證明①易知當(dāng)n=1時,猜想正確.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,猜想正確,即ak=a(則ak+1=f(ak)=a·a故n=k+1時,猜想正確.由①②知,對于任何n∈N*,都有an=a能力提升10.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+…+12n-1<f(n)(n≥2,n∈NA.1項 B.k項 C.2k-1項 D.2k項答案:D解析:1+12+13=12k+12共增加了2k項.11.在數(shù)列{an}中,a1=13,且Sn=n(2n-1)an,通過求a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式為(A.1(nC.1(2答案:C解析:由a1=13,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2即a1+a2=6a2.解得a2=115=13×5,S3=3(2×即13+115+a3=解得a3=1同理可得a4=163故猜想an的表達(dá)式為112.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系式是.

答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2解析:∵f(k)=12+22+…+(2k)2,∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.13.用數(shù)學(xué)歸納法證明:2n+2·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除.答案:證明(1)當(dāng)n=1時,21+2·31+5×1-4=25,能被25整除,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,2k+2·3k+5k-4能被25整除.則當(dāng)n=k+1時,原式=2k+3·3k+1+5(k+1)-4=6×2k+2·3k+5(k+1)-4=6[(2k+2·3k+5k-4)-5k+4]+5(k+1)-4=6(2k+2·3k+5k-4)-30k+24+5k+5-4=6(2k+2·3k+5k-4)-25(k-1).∵6(2k+2·3k+5k-4)和-25(k-1)都能被25整除,∴當(dāng)n=k+1時,命題仍成立.綜上(1)(2)可知,2n+2·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除.高考預(yù)測14.已知f(n)=1+12+