考點(diǎn)規(guī)范練39空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)鞏固1.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過(guò)圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.故S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2=5πr2+4r2=16+20π2.已知某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2 B.4C.6 D.8答案:C解析:由三視圖可知該幾何體為直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,∴V=Sh=3×2=6.3.已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64π B.48π C.36π D.32π答案:A解析:由題意知☉O1的半徑r=2.由正弦定理知ABsinC=2∴OO1=AB=2rsin60°=23,∴球O的半徑R=r2+|∴球O的表面積為4πR2=64π.4.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖由矩形和等腰直角三角形組成,側(cè)視圖由半圓和等腰直角三角形組成,俯視圖的實(shí)線部分為正方形,則該幾何體的表面積為()A.3π+42 B.4(π+2+1) C.4(π+2) D.4(π+1)答案:A解析:由三視圖知幾何體的上半部分是半圓柱,圓柱的底面半徑為1,高為2,其表面積為S1=12×π×2×2+π×12=3π,下半部分為正四棱錐,底面棱長(zhǎng)為2,斜高為2,其表面積S2=4×12×2×2=42,所以該幾何體的表面積為S=S15.已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為()A.32π3 B.4π C.2π答案:D解析:因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線的一半,所以半徑r=12×所以V球=4π3×13=46.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米有()(注:尺、斛均為非國(guó)際通用單位)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案:B解析:設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h.∵米堆底部弧長(zhǎng)為8尺,∴14·2πR=8,∴體積V=14×13·πR2h=∵π≈3,∴V≈3209(立方尺∴堆放的米約有3209×1.7.(2021全國(guó)Ⅱ,理11)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為()A.212 B.3C.24 D.答案:A解析:如圖,設(shè)O1為AB的中點(diǎn),連接CO1,OO1,因?yàn)锳C⊥BC,AC=BC=1,所以CO1=22,由題意可知OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO12=22,則三棱錐O8.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

答案:118.8解析:由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4×6-4×12×2×3=12(cm2),點(diǎn)O到平面BB1C1C的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=13×12×3又長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9×132=118.8(g).9.已知棱長(zhǎng)為4的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體,其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是.

答案:32解析:由三視圖,可得棱長(zhǎng)為4的正方體被平面AJGI截成兩個(gè)幾何體,且J,I分別為BF,DH的中點(diǎn),如圖,兩個(gè)幾何體的體積各占正方體的一半,則該幾何體的體積是12×43=10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是.

答案:1解析:由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1,如圖所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M(jìn),N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),∴MN=12,NP=1∴S△MNP=12×1∵點(diǎn)A1到平面MNP的距離為AM=12∴11.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在以O(shè)為球心的球面上,若球O的表面積為148π3,則三棱錐O-ABC的體積為答案:33解析:設(shè)球的半徑為R,則4πR2=148π3,解得R2設(shè)△ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r,則r=2故球心到△ABC所在平面的距離為d=R2-r2=所以VO-ABC=13S△ABCd=12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為3、寬為1的矩形,俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S.解:(1)由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖),其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,高為3,所以V=1×1×(2)由三視圖可知,在該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,側(cè)面ABB1A1,CDD1C1均為矩形.S=2×(1×1+1×3+1×2)=6+2能力提升13.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為()A.23 B.33 C答案:A解析:如圖,分別過(guò)點(diǎn)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=3所以S△AGD=S△BHC=12×2所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=13×24×114.芻薨(chuhong),中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體,《九章算術(shù)》中記載“芻薨者,下有褒有廣,而上有褒無(wú)廣.芻,草也.薨,屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱,芻薨字面意思為茅草屋頂”.一芻薨的三視圖如圖所示,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它,則覆蓋的面積至少為()A.65 B.75 C.85 D.95答案:C解析:茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積.由題意可知,該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為22+12=故側(cè)面積為S=2×12×(2+4)×5+2×1即需要茅草覆蓋面積至少為85,故選C.15.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為()A.86π B.46π C.26π答案:D解析:設(shè)PA=PB=PC=2x.∵E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),∴EF∥PB,且EF=12PB=x∵△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,∴CF=3又∠CEF=90°,∴CE=3-x2,AE=在△AEC中,由余弦定理可知cos∠EAC=x如圖,作PD⊥AC于點(diǎn)D,∴D為AC的中點(diǎn),cos∠EAC=AD∴∴2x2+1=2.∴x2=12,即x=∴PA=PB=PC=2又AB=BC=AC=2,∴PA⊥PB⊥PC.∴2R=2+2+2=6∴V=43πR3故選D.16.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.

答案:415解析:如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC.設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5-x,三棱錐的高h(yuǎn)=D因?yàn)镾△ABC=12×23x×3x=33x所以三棱錐的體積V=13S△ABC·h=3x2令f(x)=25x4-10x5,x∈0則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,則f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間2,5所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=所以三棱錐體積的最大值為41517.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由);(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖.(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2AH=10,HB=6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即9高考預(yù)測(cè)18.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為()A.33 B.23 C.3 D.答案:C解析:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD垂直SC于點(diǎn)D,連接BD.因?yàn)镾C是球的直徑,所以∠SAC=