30.5二次函數(shù)與一元二次方程的關系第2課時一鍵發(fā)布配套作業(yè)&AI智能精細批改（任務-發(fā)布任務-選擇章節(jié)）目錄課前導入新課精講學以致用課堂小結(jié)課前導入情景導入

一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點與一元一次方程kx＋b＝0的根有什么關系？

一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元一次方程kx＋b＝0的根.溫故知新班?！蠋熤腔劢虒W好幫手班海，老師們都在免費用的數(shù)學作業(yè)精細批改微信小程序！感謝您下載使用【班海】教學資源！為什么他們都在用班海？一鍵發(fā)布作業(yè)，系統(tǒng)自動精細批改（錯在哪？為何錯？怎么改？），從此告別批改作業(yè)難幫助學生查漏補缺，培養(yǎng)規(guī)范答題好習慣，提升數(shù)學解題能力快速查看作業(yè)批改詳情，全班學習情況盡在掌握多個班級可自由切換管理，學生再多也能輕松當老師無需下載，不占內(nèi)存，操作便捷，永久免費！掃碼一鍵發(fā)布數(shù)學作業(yè)AI智能精細批改(任務-發(fā)布任務-選擇題目)新課精講探索新知1知識點利用二次函數(shù)的圖像解一元二次方程利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似根的一般步驟：(1)畫出二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖像；(2)確定二次函數(shù)的圖像與x軸交點的個數(shù)，看交點的橫坐

標在哪兩個整數(shù)之間；探索新知動手操作：畫出y＝x2－2x－3的圖象xyy＝x2－2x－3探索新知探究：圖像與x軸的交點坐標是什么？函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像與x軸兩個交點為(－1，0)(3，0)方程x2－2x－3＝0的兩根是x1＝－1，x2

＝3你發(fā)現(xiàn)了什么？(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點的橫坐標就是

當y＝0時一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(2)二次函數(shù)的交點問題可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程去解決.探索新知解：如圖

，畫出二次函數(shù)

y＝x2－2x－6的圖像.例1

求方程x2－2x－6＝0的近似值．(結(jié)果精確到0.1)觀察畫出的拋物線，設它與x軸的交點的橫坐標為x1和x2，不妨設x1＜x2.現(xiàn)在來求x1的近似值.探索新知容易看出：當x＝－2時，y＞0；

當x＝－1時，y＜0，且在－2＜x＜－1范圍內(nèi)，

y隨x的增大二減小，所以－2＜x1＜－1(2)?。?和－1的中間數(shù)－1.5(中間數(shù)為)，

代入表達式中試值當

x＝－1.5時，y=(－1.5)2－2×(－1.5)－6＝－0.75＜0；

當x＝－2時，y＞0；在－2＜x＜－1.5范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，

所以－2＜x1＜－1.5探索新知(3)取－2和－1.5的中間數(shù)－1.75，代入表達式中試值.當

x＝－1.75時，y=(－1.75)2－2×(－1.75)－6

＝0.5625＞0；

當x＝－1.5時，y＜0.在－1.75＜x＜－1.5范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，

所以－1.75＜x1＜－1.5.探索新知(4)取－1.75和－1.5的中間數(shù)－1.625，代入表達式中試值.當

x＝－1.625時，y=(－1.625)2－2×(－1.625)－6

＝－0.109375＜0；

當x＝－1.75時，y＞0.在－1.75＜x＜－1.625范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，

所以－1.75＜x1＜－1.625.x1≈－1.7即為精確到0.1的近似值.探索新知解：先把方程化成x2＝－2x＋3.

如圖，在同一直角坐標系中

分別畫出函數(shù)y＝x2和

y＝－2x＋3的圖像，得到它

們的交點為(－3，9)和(1，1)，

則方程x2＋2x－3＝0的解為x＝－3或x＝1.例2利用函數(shù)的圖像，求方程x2＋2x－3＝0的根．探索新知總

結(jié)利用圖像交點法求一元二次方程的根的步驟：(1)將ax2＋bx＋c＝0化為ax2＝－bx－c的形式；(2)在同一坐標系中畫出

y＝ax2與

y＝－bx－c的圖像；(3)觀察圖像：兩圖像的公共點情況即為方程的根的情況，如有公共點，則公共點的橫坐標即為ax2＋bx＋c＝0的根．

1求例題中x2精確到0.1的近似值.解：如圖

，畫出二次函數(shù)

y＝x2－2x－6的圖像.觀察畫出的拋物線，現(xiàn)在求

x2的近似值．(1)容易看出：當x＝3時，y＜0，當x＝4時，y＞0，且在3＜x＜4范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴3＜x2＜4.典題精講(2)取3和4的中間數(shù)3.5代入表達式中試值．

當x＝3.5時，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0；

當x＝4時，y＞0，在3.5＜x＜4范圍內(nèi)，

y隨x的增大而增大，∴3.5＜x2＜4.(3)取3.5和4的中間數(shù)3.75代入表達式中試值．

當x＝3.75時，y＝3.752－2×3.75－6＝0.5625＞0；

當x＝3.5時，y＜0.在3.5＜x＜3.75范圍內(nèi)，

y隨x的增大而增大，∴3.5＜x2＜3.75.典題精講(4)取3.5和3.75的中間數(shù)3.625代入表達式中試值．

當x＝3.625時，

y＝3.6252－2×3.625－6＝－0.109375＜0；

當x＝3.75時，y＞0.在3.625＜x＜3.75范圍內(nèi)，

y隨x的增大而增大，∴3.625＜x2＜3.75.∴可取x2≈3.7為精確到0.1的近似值．典題精講典題精講

2二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，則一元二

次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為(

)A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3D．x1＝－1，x2＝3D典題精講3如圖是二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖像，圖像上有兩點

分別為A(2.18，－0.61)，B(2.68，0.44)，則方程ax2＋bx＋c＝0的一個解只可能是(

)

A．2.18

B．2.68

C．－0.51

D．2.55D典題精講下表是一組二次函數(shù)

y＝x2＋3x－5的自變量x與函數(shù)值y的對應值：4那么方程x2＋3x－5＝0的一個近似根是(

)A．1

B．1.1

C．1.2

D．1.3x11.11.21.31.4y－1－0.490.040.591.16C典題精講(2)解法二：利用二次函數(shù)圖像與x軸的交點求解．如

圖①，把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函數(shù)

y

＝_____________的圖像與x

軸交點的橫坐標x1，x2，

則x1，x2就是方程的解．x2－x－1(3)解法三：利用兩個函數(shù)圖像的交點求解．①把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函數(shù)y＝________的圖像與直線

y＝_______的交點的橫坐標；②在圖②中畫出這兩個函數(shù)

的圖像，用x1，x2在x軸上

標出方程的解．x2－x1②略．解：典題精講探索新知2知識點利用二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式

根據(jù)圖像可直觀地回答使得y的值大于、等于或小于零時x的取值(范圍)，具體如下表所述：圖像函數(shù)值自變量的取值(范圍)y＞0x＜x1或x＞x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x2探索新知例3

畫出拋物線

y＝－x2＋4x＋5，觀察拋物線，回答下

列問題：(1)x為何值時，函數(shù)值

y＞0?(2)x為何值時，函數(shù)值

y＝0?(3)x為何值時，函數(shù)值

y＜0?導引：根據(jù)拋物線的簡易畫法，先確定頂點以及拋物線與x

軸和y軸的交點，當函數(shù)值

y＞0時，對應圖像上的點

在x軸上方；當函數(shù)值

y＝0時，對應圖像上的點位于

x軸上；當函數(shù)值

y＜0時，對應圖像上的點在x軸的

下方．探索新知解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5＝－(x2－4x＋4)＋9＝

－(x－2)2＋9.∴拋物線的頂點坐標

為(2，9)，對稱軸為直線x＝2.

令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－1.∴拋物線與x

軸的兩個交點為(－1，0)，(5，0)．

令x＝0，則y＝5，即拋物線與y軸的

交點為(0，5)．由拋物線的對稱性知拋物線上的另一點為(4，5)．在坐標系中描出各點，并連線得到如圖所示的圖

象．觀察圖像會發(fā)現(xiàn)：(1)當－1＜x＜5時，函數(shù)值y＞0；(2)當x＝－1或x＝5時，函數(shù)值

y＝0；(3)當x＜－1或x＞5時，函數(shù)值

y＜0探索新知總

結(jié)(1)作拋物線

y＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＞0)一般采用“五點法”，

而這“五點”一般為拋物線頂點，與x軸的兩交點，與y軸的

交點及它關于對稱軸的對稱點．(2)根據(jù)二次函數(shù)值的取值范圍確定自變量的取值范圍，一般要畫出

二次函數(shù)的圖像，觀察圖像解答，拋物線在

x軸上方的部分，對

應的函數(shù)值大于0；拋物線在x軸下方的部分，對應的函數(shù)值小于

0；拋物線與x軸的公共點，對應的函數(shù)值等于0.探索新知例4

拋物線

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，與x軸

的一個交點A在(－3，0)和(－2，0)之間，其部分圖像如圖所

示，則下列結(jié)論：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c

＜0；④點M(x1，y1)，N(x2，y2)在拋物線上，若x1＜x2，則y1

＜y2.正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4C探索新知導引：觀察圖像可知二次函數(shù)對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以Δ＝b2－4ac>0，即4ac－b2<0，故①正確；因為拋物線的對稱軸為直線x＝－1，所以－

＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正確；由二次函數(shù)圖像的對稱性可知拋物線與x軸的另一個交點位于(0，0)和(1，0)之間，所以當x＝1時，y＜0，即a＋b＋c<0，故③正確；由于二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的增減性不一樣，當x1<x2<－1時，y1<y2；當－1<x1<x2時，y1>y2；當x1＜－1＜x2且－1－x1＝x2－(－1)時，y1＝y(tǒng)2，所以④錯誤．所以此題正確的結(jié)論有3個．故選C.典題精講如圖，直線

y＝mx＋n與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)兩點，則關于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是_______________．1x＜－1或x＞4典題精講如圖，已知頂點為(－3，－6)的拋物線

y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(－1，－4)，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．b2＞4acB．a(chǎn)x2＋bx＋c≥－6C．若點(－2，m)，(－5，n)

在拋物線上，則m＞nD．關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4

的兩根為－5和－12C易錯提醒用圖像法求x2－x＋

＝0的解．易錯點：不考慮方程根的情況盲目作圖像而致錯畫出拋物線y＝x2－x＋(如圖)．由圖像可知拋物線與x軸的交點為(，0)，所以原方程的解為x1＝x2＝解：學以致用小試牛刀已知一次函數(shù)y1＝4x，二次函數(shù)

y2＝2x2＋2，在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應的函數(shù)值分別為y1與y2，則下列關系正確的是(

)A．y1＞y2

B．y1≥y2

C．y1＜y2

D．y1≤y21D小試牛刀小明在復習數(shù)學知識時，針對“求一元二次方程的解”總結(jié)了以下幾種方法，請你將有關內(nèi)容補充完整．例題：求一元二次方程

x2－x－1＝0的兩個解．(1)解法一：選擇一種合適的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．2(1)公式法：∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.∴

即x1＝

x2＝

.解：小試牛刀二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像如圖所示，根據(jù)

圖像解答下列問題：

(1)寫出方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根；

(2)寫出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；

(3)寫出

y隨

x的增大而減小的自變量x的取值范圍；

(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不相等的實數(shù)根，

求k的取值范圍．小試牛刀(1)x1＝1，x2＝3.(2)1＜x＜3.

(3)x≥2.(4)∵方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不相等的實數(shù)根，∴拋物線

y＝ax2＋bx＋c－k與x軸有兩個交點，即拋

物線

y＝ax2＋bx＋c向下平移k個單位長度后與

x軸有

兩個交點．

由圖像可知拋物線

y＝ax2＋bx＋c向下平移2個單位長

度后與x軸有一個公共點，∴k＜2.解：小試牛刀4根據(jù)下列要求，解答相關問題．(1)請補全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的過程．①構(gòu)造函數(shù)，畫出圖像：根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)

y＝－2x2－4x，并在下面的坐標系中(如圖①)畫出二次函數(shù)

y＝－2x2－4x的圖像(只畫出圖像即可)．②求得界點，標示所需：當

y＝0時，求得方程－2x2－4x＝0的解為____________，并用鋸齒線標示出函數(shù)

y＝－2x2－4x的圖像中y≥0的部分；③借助圖像，寫出解集：由所標示圖像，可得不等式－2x2－4x≥0的解集為__________________．小試牛刀(2)利用(1)中求不等式解集的步驟，求不等式x2－2x＋1＜4的解集．①構(gòu)造函數(shù)，在圖②中畫出圖像；②求得界點，標示所需；③借助圖像，寫出解集．(3)參照以上兩個求不等式解集的過程，借助一元二次方程的求根公式，直接寫出關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．小試牛刀(1)①圖略．②x1＝0，x2＝－2；圖略．③－2≤x≤0(2)①構(gòu)造二次函數(shù)

y＝x2－2x＋1，并畫出圖像(圖略)．

②當

y＝4時，求得方程x2－2x＋1＝4的解為x1＝3，

x2＝－1；圖略．

③借助圖像，直接寫出不等式x2－2x＋1＜4的解集：

－1＜x＜3.(3)①當b2－4ac＞0時，解集為x＞

或x＜

；②當b2－4ac＝0時，解集為x≠

－

；③當b2－4ac＜0時，解集為全體實數(shù)．解：小試牛刀5已知二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像與x軸交于

A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)兩點，與y軸交于點C，x1，

x2是方程x2＋4x－5＝0的兩根．(1)若拋物線的頂點為D，求S△ABC∶S△ACD；(2)若∠ADC＝90°，求二次函數(shù)的表達式．解：(1)解方程x2＋4x－5＝0，得x1＝－5，x2＝1.∴A點的坐標為

(－5，0)，B點的坐標為(1，0)，則拋物線為

y＝a(x＋5)(x－1)＝ax2＋4ax－5a，可得D點的坐標為(－2，－9a)，C點的坐標為(0，－5a)．依題意畫出圖形，如圖所示，