PAGEPAGE186《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》考試復(fù)習(xí)題庫(kù)（匯總版）一、單選題1.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,0;1,4;-1/2),下列隨機(jī)變量中服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且與X獨(dú)立的是()[數(shù)三2020研]A、B、C、D、答案：C解析：由二維正態(tài)的性質(zhì)知X+Y~N(μ,σ2),因

μ=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0

2.假設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),概率密度函數(shù)f(x)=af1(x)+bf2(x),其中f1(x)是正態(tài)分布N(0,σ2)的密度函數(shù),f2(x)是參數(shù)為λ的指數(shù)分布的密度函數(shù),已知F(0)=1/8,則()。A、a=1,b=0B、a=3/4,b=1/4C、a=1/2,b=1/2D、a=1/4,b=3/4答案：D解析：由

3.假設(shè)連續(xù)函數(shù)F(X)是分布函數(shù)且F(0)=0,則也可以作為新分布函數(shù)的是()。A、B、C、D、答案：C解析：應(yīng)用分布函數(shù)充要條件判斷,由Gi(X)的形式是分段函數(shù),X=1是分界點(diǎn),于是立即想到要判斷是否成立,易得

4.假設(shè)二維隨機(jī)變量(X1,X2)的協(xié)方差矩陣為,其中=cov(Xi,Xj)(i,j=1,2),如果X1與X2的相關(guān)系數(shù)為ρ,那么行列式|∑|=0的充分必要條件是()。A、ρ=0B、|ρ|=1/3C、|ρ|=1/2D、|ρ|=1答案：D解析：|∑|=0?σ11σ22=σ12σ21?DX1DX2=cov2(X1,X2)?ρ2=cov2(X1,X2)/(DX1?DX2)=1?|ρ|=1。

5.設(shè)隨機(jī)變量X1,…,Xn,…相互獨(dú)立,記Yn=X2n-X2n-1(n≥1),概括大數(shù)定律,當(dāng)n→∞時(shí),依概率收斂到零,只要{Xn,n≥1}滿足()。A、數(shù)學(xué)期望存在B、有相同的數(shù)學(xué)期望與方差C、服從同一離散型分布D、服從同一連續(xù)型分布答案：B解析：ACD三項(xiàng),由于Xn相互獨(dú)立,所以Yn相互獨(dú)立,A項(xiàng)“缺少同分布”條件,CD兩項(xiàng)“缺少數(shù)學(xué)期望存在”的條件,因此都不滿足辛欽大數(shù)定律。

B項(xiàng),若EXn=μ,DXn=σ2存在,則

6.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,則概率P{λ<X<λ+a}(a>0)的值()。A、與a無(wú)關(guān)隨λ的增大而增大B、與a無(wú)關(guān)隨λ的增大而減小C、與λ無(wú)關(guān)隨a的增大而增大D、與λ無(wú)關(guān)隨a的增大而減小答案：C解析：概率P{λ<X<λ+a}(a>0),顯然與a有關(guān),且固定λ,隨a的增大而增大。事實(shí)上,由于

7.設(shè)X1,X2,…,Xn(n≥2)為來(lái)自總體N(μ,σ2)(σ>0)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,令

A、B、C、D、答案：B解析：因?yàn)?/p>

8.設(shè)θ(∧)為未知參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì),且Eθ(∧)=θ,Dθ(∧)>0,則()。A、B、C、D、與θ2的大小與θ(∧)有關(guān)答案：A解析：

9.設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X在[θ-1,θ+1]上均勻分布,則未知參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量θ(∧)為()。A、B、C、D、答案：D解析：由已知得X的密度函數(shù)為

10.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)與(U,V)有相同的邊緣分布,則()。A、(X,Y)與(U,V)有相同的聯(lián)合分布B、(X,Y)與(U,V)不一定有相同的聯(lián)合分布C、(X+Y)與(U+V)有相同的分布D、(X-Y)與(U-V)有相同的分布答案：B解析：由于聯(lián)合分布決定邊緣分布,但邊緣分布不能決定聯(lián)合分布,因此A項(xiàng)不成立,由A項(xiàng)不成立,可以推知C、D兩項(xiàng)必不成立,故選B項(xiàng)。

11.設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為f(x),設(shè)其數(shù)學(xué)期望E(x)=a,則()成立。A、B、C、D、答案：B解析：當(dāng)成立時(shí),令x+a=t,則

12.假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則下列隨機(jī)變量中服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布的是()。A、X+YB、X-YC、max(X,Y)D、min(X,Y)答案：D解析：顯然我們不能通過(guò)計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中的隨機(jī)變量的分布來(lái)確定正確選項(xiàng),只能利用服從指數(shù)分布的充要條件或必要條件來(lái)判斷,由于

13.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),則可以作為分布函數(shù)的是()。A、F(ax)B、F(x2+1)C、F(x3-1)D、F(|x|)答案：C解析：函數(shù)F(x)成為分布函數(shù)的充要條件為:

①F(x)單調(diào)不減;②,;③F(x)右連續(xù)。

A項(xiàng),當(dāng)a<0時(shí),F(ax)不滿足條件①,②,③,故F(ax)不是分布函數(shù)。

B項(xiàng),F(x2+1)不滿足條件,不是分布函數(shù)。

C項(xiàng),F(x3-1)條件①,②,③均成立,是分布函數(shù)。

D項(xiàng),F(|x|)不滿足條件,不是分布函數(shù)。

14.商店出售10臺(tái)洗衣機(jī),其中恰有3臺(tái)次品,現(xiàn)已出售出一臺(tái)洗衣機(jī),在余下的洗衣機(jī)中任取兩臺(tái)發(fā)現(xiàn)均為正品,則原先售出的一臺(tái)是次品的概率為()。A、3/10B、3/8C、1/3D、2/3答案：B解析：設(shè)A表示“第一次取出是次品”,B表示“在余下的洗衣機(jī)中任取兩臺(tái)為正品”,則由全概率公式,有

15.設(shè)總體X與Y都服從正態(tài)分布N(0,σ2),已知X1,…,Xm與Y1,…,Yn是分別來(lái)自總體X與Y兩個(gè)相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,統(tǒng)計(jì)量服從t(n)分布,則m/n等于()。A、1B、1/2C、1/3D、1/4答案：D16.設(shè)隨機(jī)變量X在[0,1]上服從均勻分布,記事件A={0≤X≤1/2},B={1/4≤X≤3/4},則()。A、A與B互不相容B、B包含AC、A與B對(duì)立D、A與B相互獨(dú)立答案：D解析：由圖1-1立即得到D項(xiàng)正確,事實(shí)上,由題設(shè)知。

故,,?P(AB)=P(A)P(B)?A與B相互獨(dú)立。

17.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立,且0<P(A)<1,0A、A與A∪B一定不獨(dú)立B、A與A-B一定不獨(dú)立C、A與B-A一定不獨(dú)立D、A與AB一定不獨(dú)立答案：A解析：已知事件Ω與任何事件都獨(dú)立,因?yàn)镻(AΩ)=P(A)P(Ω),事實(shí)上,概率為1的任何事件B都與任一事件A獨(dú)立:

P(B)=1,P(B(_))=0,P(AB(_))=0

所以P(AB)=P(AB)+P(AB(_))=P(A)=P(A)P(B)。

同時(shí),概率為0的任何事件,都與任一事件A獨(dú)立:

P(C)=0,P(CA)=0,所以P(AC)=0=P(A)P(C)。

更進(jìn)一步,如果A與B相互獨(dú)立,且A?B,則必有

P(AB)=P(A)P(B)和P(AB)=P(A),即P(A)=P(A)P(B),則有P(A)=0或P(B)=1。

就本題的條件0<P(A)<1,0<p(b)<1,

A項(xiàng),如果A與A∪B獨(dú)立,由于A?A∪B,故必有P(A)=0或P(A∪B)=1,P(A)=0不符合條件;只有P(A∪B)=1,就有P(A(_)B(_))=P(A(_))P(B(_))=0,得到P(A)=1或P(B)=1,也不符合給定條件,故A與A∪B一定不獨(dú)立。

BCD三項(xiàng),當(dāng)A=B或AB=?,A與A-B獨(dú)立或A與B-A獨(dú)立或A與AB獨(dú)立。

</p(b)<1,

18.設(shè)X1,X2,…,X9是來(lái)自正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,記,,,則統(tǒng)計(jì)量服從分布為()。A、t(3)B、t(2)C、F(1,3)D、F(1,2)答案：B解析：設(shè)X~N(μ,σ2),則Y1~N(μ,σ2/6),Y2~N(μ,σ2/3),Y1-Y2~N(0,σ2/2),;由于(n-1)S2/σ2~χ2(n-1),S2與Y2相互獨(dú)立,故,即。

19.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,P(A)>0,則下列等式中與P(B|A)=1不等價(jià)的是()。A、P(A-B)=0B、P(A∪B)=P(B)C、P(AB)=P(A)D、P(B)=1答案：D解析：D項(xiàng),若A?B,P(A)>0,P(B)≠1,則P(AB)=P(A),P(B|A)=1,但此時(shí)P(B)≠1,可知P(B)=1是P(B|A)=1的充分條件,但不是必要的。

A項(xiàng),P(A-B)=P(A)-P(AB)=0?P(AB)=P(A)?P(AB)/P(A)=P(B|A)=1。

B項(xiàng),P(A∪B)=P(B)?P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)?P(A)=P(AB)?P(B|A)=1。

C項(xiàng),P(AB)=P(A)?P(AB)/P(A)=1?P(B|A)=1。

20.假設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)

A、(-∞,-2]B、[-1,0]C、[1,2]D、[3,+∞)答案：C解析：由題設(shè)P{X>k}=P{X<k}知P{X=k}=0,又P{X>k}+P{X。由密度函數(shù)圖形及概率的幾何意義知k的取值范圍為[1,2];如果通過(guò)計(jì)算來(lái)確定正確選項(xiàng),此時(shí)需要按k的取值不同來(lái)計(jì)算,其結(jié)果是一樣的。

21.設(shè)X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體X~N(0,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則σ2的無(wú)偏估計(jì)量為()。A、B、C、D、答案：B解析：因?yàn)?/p>

22.已知(X,Y)服從二維正態(tài)分布,EX=EY=μ,DX=DY=σ2,X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ≠0,則X與Y()。A、獨(dú)立且有相同的分布B、獨(dú)立且有不同的分布C、不獨(dú)立且有相同的分布D、不獨(dú)立且有不同的分布答案：C解析：由于(X,Y)服從二維正態(tài)分布,故X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2)即X與Y有相同的分布,但是ρ≠0,所以X與Y不獨(dú)立。

23.若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件,則()。[數(shù)一、數(shù)三2015研]A、P(AB)≤P(A)P(B)B、P(AB)≥P(A)P(B)C、P(AB)≤(P(A)+P(B))/2D、P(AB)≥(P(A)+P(B))/2答案：C解析：由于AB?A,AB?B,按概率的基本性質(zhì),有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),從而P(AB)≤(P(A)+P(B))/2,故選C項(xiàng)。24.設(shè)隨機(jī)變量且滿足條件Ρ{X1+X2=0}=1,則Ρ{X1=X2}等于()。A、0B、1/4C、1/2D、1答案：C解析：由題設(shè)知P{X1+X2≠0}=0,而

P{X1+X2≠0}=P{X1=-1,X2=-1}+P{X1=-1,X2=0}+P{X1=0,X2=-1}+P{X1=0,X2=1}+P{X1=1,X2=0}+P{X1=1,X2=1}

所以等式中的各加項(xiàng)概率都等于零,據(jù)此可求得(X1,X2)的聯(lián)合分布如表3-4所示,并算得

P{X1=X2}=P{X1=-1,X2=-1}+P{X1=0,X2=0}+P{X1=1,X2=1}=1/2

表3-4

25.在考核中,若學(xué)員中靶兩次,則認(rèn)定合格而停止射擊,但限定每人最多只能射擊三次,設(shè)事件A=“考核合格”,B=“最多中靶一次”,C=“射擊三次”,已知學(xué)員中靶率為p(0<P<1),則()。A、AB與C獨(dú)立B、BC與A獨(dú)立C、AC與B獨(dú)立D、A,B,C相互獨(dú)立答案：A解析：A項(xiàng),因?yàn)锳與B為對(duì)立事件,因此AB=?,又C?B,BC=B,而不可能事件與任何事件相互獨(dú)立,BCD三項(xiàng),P(ABC)=0,P(A)=p2+2p2(1-p),P(B)=3p(1-p)2+(1-p)3,P(C)=1-p2,則P(ABC)≠P(BC)·P(A),即BC與A不獨(dú)立;P(ABC)≠P(AC)·P(B),即AC與B不獨(dú)立;P(ABC)≠P(A)·P(B)·P(C),即A,B,C不相互獨(dú)立。

26.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為()。A、3p(1-p)2B、6p(1-p)2C、3p2(1-p)2D、6p2(1-p)2答案：C解析：把獨(dú)立重復(fù)射擊看成獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),射中目標(biāo)看成試驗(yàn)成功,第4次射擊恰好是第2次命中目標(biāo)可以理解為:第4次試驗(yàn)成功而前三次試驗(yàn)中必有1次成功,2次失敗。根據(jù)獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn),前3次試驗(yàn)中有1次成功、2次失敗,其概率必為,而第4次是成功的,其概率為p,所以,第4次射擊為第2次命中目標(biāo)的概率為,所以選C。

27.連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù),則其中的常數(shù)a和b為()。A、B、C、D、答案：B解析：由題意知,故。F(X)為連續(xù)型X的分布,則F(X)必連續(xù),F(X)在X=0連續(xù),,即a+b=0,b=-1。

28.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布函數(shù)分別為FX(x)FY(y),則Z=min(X,Y)的分布函數(shù)是()。A、FZ(z)=max(FX(x),FY(y))B、FZ(z)=min(FX(x),FY(y))C、FZ(z)=1-[1-FX(x)][1-FY(y)]D、FZ(z)FX(x)FY(y)答案：C解析：FZ(z)=P{Z≤z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-(1-P{X≤z})(1-P{Y≤z})=1-[1-FX(x)][1-FY(y)]。

29.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)滿足f(1+x)=f(1-x),且

A、0.2B、0.3C、0.4D、0.5答案：A解析：由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱,利用特殊值法:將f(x)看成隨機(jī)變量X~N(1,σ2)的概率密度,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性,P{X<0}=0.2。

30.假設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),則不能有結(jié)論()。A、如果F(a)=0,則對(duì)任意x≤a有F(x)=0B、如果F(a)=1,則對(duì)任意x≥a有F(x)=1C、如果F(a)=1/2則P{X≤a}=1/2D、如果F(a)=1/2,則P{X≥a}=1/2答案：D解析：由于F(x)是單調(diào)不減的非負(fù)函數(shù),且0≤F(x)≤1,F(x)=P{X≤x},所以選項(xiàng)(A)、(B)、(C)都成立。D項(xiàng),已知F(a)=P{X≤a}=1/2?P{X≥a}=1-P{X<a}=1-F(a-0),如果P{X≥a}=1/2?1-F(a-0)=1/2,F(a-0)=1/2=F(a)=F(a+0)?F(x)在x=a處連續(xù),而題目未給出這個(gè)假設(shè),因此不能得出該結(jié)論。

31.設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,P{XY≤0}=3/5,P{max(X,Y)>0}=4/5,則P(min(X,Y)≤0)=()。A、1/5B、2/5C、3/5D、4/5答案：D解析：設(shè)A={X≤0},B={Y≤0},則

{XY≤0}=AB∪BA,{max(X,Y)>0}=AB,{min(X,Y)≤0}=A∪B

于是P{min(X,Y)≤0}=p(A∪B)=p(AB∪BA∪AB)=P(AB∪BA)+P(AB)=p{XY≤0}+1-p{max(X,Y)>0}=3/5+1-4/5=4/5。

32.設(shè)二維隨機(jī)變量(X1,X2)的密度函數(shù)f1(x1,x2),則隨機(jī)變量(Y1,Y2)(其中Y1=2X1,Y2=X2/3)的概率密度f(wàn)2(y1,y2)等于()。A、f1(y1/2,3y2)B、3f1(y1/2,3y2)/2C、f1(2y1,y2/3)D、2f1(2y1,y2/3)/3答案：B解析：設(shè)(X1,X2)的分布為F1(x1,x2),(Y1,Y2)的分布為F2(y1,y2),則

F2(y1,y2)=P{Y1≤y1,Y2≤y2}=P{2X1≤y1,X2/3≤y2}=P{X1≤y1/2,X2≤3y2}=F1(y1/2,3y2)

又因?yàn)閒(y1,y2)=F′(y1,y2),所以f2(y1,y2)=3f1(y1/2,3y2)/2。

33.設(shè)隨機(jī)變量序列X1,…,Xn,…相互獨(dú)立,則根據(jù)辛欽大數(shù)定律,當(dāng)n→∞吋,依概率收斂其數(shù)學(xué)期望,只要{Xn,n≥1}()。A、有相同的數(shù)學(xué)期望B、服從同一離散型分布C、服從同一泊松分布D、服從同一連續(xù)型分布答案：C解析：ABD三項(xiàng),由辛欽大數(shù)定律可知,隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}必須是:“獨(dú)立同分布且數(shù)學(xué)期望存在”,A項(xiàng)缺少同分布條件,BD兩項(xiàng)雖然服從同一分布但不能保證期望存在。

34.設(shè)隨機(jī)變量X的二階矩存在,則()。A、EX2<EXB、EX2≥EXC、EX2<(EX)2D、EX2≥(EX)2答案：D解析：AB兩項(xiàng),當(dāng)隨機(jī)變量X在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布,則EX=1/2,DX=1/12,EX2=DX+(EX)2=1/12+1/4=1/3<1/2=EX,選項(xiàng)A成立,此時(shí)選項(xiàng)B不成立,又如X~N(μ,σ2),EX=μ,DX=σ2,EX2=σ2+μ2,取σ≥μ=1/2,則EX2≥2μ2=2·1/4=1/2=EX,即選項(xiàng)B成立,此時(shí)A不成立,CD兩項(xiàng),由于DX=EX2-(EX)2≥0,故EX2≥(EX)2。

35.設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其樣本均值和方差分別為X(_),S2,則服從自由度為n的χ2分布的隨機(jī)變量是()。A、X(_)2/σ2+(n-1)S2/σ2B、nX(_)2/σ2+(n-1)S2/σ2C、(X(_)-μ)2/σ2+(n-1)S2/σ2D、n(X(_)-μ)2/σ2+(n-1)S2/σ2答案：D解析：因X~N(μ,σ2),所以(n-1)S2/σ2~χ2(n-1),又因X(_)與S2獨(dú)立,

36.設(shè)隨機(jī)變量Xi的概率分布為

表3-1

A、0B、1/4C、1/2D、1答案：A解析：由于P{X1X2=0}=1,從而P{X1≠0,X2≠0}=0,即

P{X1=-1,X2=-1}=0;P{X1=-1,X2=1}=0;

P{X1=1,X2=-1}=0;P{X1=1,X2=1}=0

X1和X2的聯(lián)合概率分布如下:

表3-2

37.已知隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(μ,1/2),若P{X+Y≤1}=1/2,則μ等于()。A、-1B、0C、1/2D、1答案：C解析：顯然,需由等式P{X+Y≤1}=1/2確定μ,為此需要知道X+Y的分布。

由X與Y獨(dú)立知X+Y~N(2μ,1),故

P{X+Y≤1}=Φ((1-2μ)/1)=Φ(1-2μ)=1/2?1-2μ=0,μ=1/2

38.設(shè)事件A,B相互獨(dú)立,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3則P(B-A)=()。[數(shù)一、數(shù)三2014研]A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4答案：B解析：P(A-B)=0.3=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A),故P(A)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2。

39.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ已知,σ2未知。X1,…,Xn為取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則不能作出統(tǒng)計(jì)量為()。A、B、C、D、答案：C解析：由樣本(X1,X2,…,Xn)所確定的函數(shù)f(X1,X2,…,Xn)稱為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量,且不含未知參數(shù)。

40.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,X4均服從分布B(1,1/2),則()。A、X1+X2與X3+X4同分布B、X1-X2與X3-X4同分布C、(X1,X2)與(X3,X4)同分布D、X12,X22,X32,X42同分布答案：D解析：Xi~B(1,1/2),即

表3-5

41.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),邊緣分布為FX(x)和FY(y),則概率P{X>x,Y>y}等于()。A、1-F(x,y)B、1-FX(x)-FY(y)C、F(x,y)-FX(x)-FY(y)+1D、Fx(x)+FY(y)+F(x,y)-1答案：C解析：記事件A={X≤x},B={Y≤y},則

P{X>x,Y>y}=P(A(_)B(_))=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-P{X≤x}-P{Y≤y}+P{X≤x,Y≤y}=1-FX(x)-FY(y)+F(x,y)

42.已知隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)為ρ且ρ≠0,Z=aX+b,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)仍為ρ的充要條件是()。A、a=1,b為任意實(shí)數(shù)B、a>0,b為任意實(shí)數(shù)C、a<0,b為任意實(shí)數(shù)D、a≠0,b為任意實(shí)數(shù)答案：B解析：由于cov(Y,Z)=cov(Y,aX+b)=acov(X,Y),DZ=D(aX+b)=a2DX,

所以

43.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)為偶函數(shù),且,則對(duì)任意常數(shù)a﹥0,P{︱X︱﹥a}為()。A、2-2F(a)B、1-F(a)C、2F(a)D、2F(a)-1答案：A解析：P{|X|>a}=1-P{|X|≤a}=1-P{-a≤X≤a}=1-[F(a)-F(-a)]=1-F(a)+F(-a),而

44.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

表3-7

A、α=2/9,β=1/9B、α=1/9,β=2/9C、α=1/6,β=1/6D、α=5/18,β=1/18答案：A45.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,則Ρ{X≤2|X≥1}的值為()。A、e-2B、1-e-2C、e-1D、1-e-1答案：D解析：解法一:

46.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),其分布函數(shù)為Φ(x),則隨機(jī)變量Y=min{X,0}的分布函數(shù)F(y)為()。A、B、C、D、答案：B解析：F(y)=P{Y≤y}=P{min(x,0)≤y}=1-P{min(X,0)>y}=1-P{X>y,0>y}。當(dāng)y<0時(shí),P{X>y,0>y}=P{X>y},F(y)=1-P{X>y}=P{X≤y}=Φ(y);當(dāng)y≥0時(shí),P{X>y,0>y}=0,F(y)=1。

47.設(shè)F1(x),F2(x)為兩連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),對(duì)應(yīng)的概率密度f(wàn)1(x),f2(x)為連續(xù)函數(shù),則下列函數(shù)中必為概率密度函數(shù)的是()。A、f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]B、f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-f1(x)]C、f1(x)[1-f2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]D、f1(x)[1-f2(x)]+f2(x)[1-f1(x)]答案：A解析：由分布函數(shù)的性質(zhì)可得,1-[1-F2(x)][1-F1(x)]還是分布函數(shù),且為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),故其導(dǎo)數(shù)f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]必為概率密度函數(shù)。

48.設(shè)隨機(jī)變量X,Y均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則()。A、X+Y服從正態(tài)分布B、X2+Y2服從χ2分布C、X2/Y2服從F分布D、X2和Y2均服從χ2分布答案：D解析：ABC三項(xiàng),沒有條件可以證明X,Y相互獨(dú)立,因此不正確。D項(xiàng),由χ2分布的定義知X2~χ2(1),Y2~χ2(1)。

49.現(xiàn)有一批電子元件,系統(tǒng)初始由一個(gè)元件工作,當(dāng)其損壞時(shí),立即更換一個(gè)新元件接替工作,如果用Xi表示第i個(gè)元件的工作壽命,那么事件A=“到時(shí)刻T為止,系統(tǒng)僅更換一個(gè)元件”可以表示為()。A、A={X1<T}B、A={X1+X2<T}C、A={X1+X2>T}D、A={X1<T,X1+X2>T}答案：D解析：事件A=“到時(shí)刻T為止,系統(tǒng)僅更換了一個(gè)元件”,這件事等價(jià)于“第一個(gè)元件在時(shí)刻T之前已經(jīng)損壞”,即事件“X1<T”;同時(shí)“第二個(gè)元件換上后T時(shí)刻還在工作”,即事件“X1+X2>T”,所以事件A={X1T}。

A項(xiàng),因?yàn)閮HX1<T不能保證X1+X2>T,也許兩個(gè)元件壽命加在一起還小于T。

C項(xiàng),因?yàn)閄1+X2>T的情況中包含第一個(gè)元件的壽命大于T,在T時(shí)刻并沒有更換元件。

50.假設(shè)X,X1,X2,…,X10是來(lái)自正態(tài)總體N(0,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,,則()。A、X2~χ2(1)B、Y2~χ2(10)C、X/Y~t(10)D、X2/Y2~F(10,1)答案：C解析：由題設(shè)知,X~N(0,σ2),Xi~N(0,σ2),X/σ~N(0,1),Xi/σ~N(0,1),且相互獨(dú)立.AB兩項(xiàng),由χ2分布定義知,X2/σ2~χ2(1),,因此AB兩項(xiàng)不成立;C項(xiàng),由t分布定義知;D項(xiàng),由F分布定義知。

51.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立,且方差均存在,X1,X2的概率密度分別為f1(x),f2(x),隨機(jī)變量Y1的概率密度為,隨機(jī)變量Y2=(X1+X2)/2,則()。[數(shù)一2014研]A、EY1>EY2,DY1>DY2B、EY1=EY2,DY1=DY2C、EY1=EY2,DY1<DY2D、EY1=EY2,DY1>DY2答案：D解析：

52.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2獨(dú)立同分布,其分布函數(shù)為F(x),則隨機(jī)變量X=min{X1,X2}的分布函數(shù)為()。A、F2(x)B、2F(x)-F2(x)C、F(x)-F2(x)D、1-F(x)+F2(x)答案：B解析：F(x)=p{X≤x}=p{min(X1,X2)≤x}=1-p{min(X1,X2)>x}=1-p{X1>x,X2>x}=1-p{X1>x}×p{X2>x}=1-(1-p{X1≤x})(1-p{X2≤x})=1-[1-F(x)]2=2F(x)-F2(x)。

53.設(shè)隨機(jī)變量Xi的分布函數(shù)分別為Fi(x),i=1,2。假設(shè):如果Xi為離散型,則Xi~B(1,pi)其中0<pi<1,i=1,2。若Xi為連續(xù)型,則其概率密度函數(shù)為fi(x),i=1,2。已知成立F1(X)≤F2(X),則()。A、p1≤p2B、p1≥p2C、f1(X)≤f2(X)D、f1(X)≥f2(X)答案：B解析：我們只能在A、B兩項(xiàng)或C、D兩項(xiàng)中選一正確答案,由微積分知識(shí)知C、D兩項(xiàng)未必正確,因此只考慮A、B兩項(xiàng),根據(jù)題設(shè)得:

54.設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布,且X的分布函數(shù)為F(x),則Z=max{X,Y}的分布函數(shù)為()。A、F2(x)B、F(x)F(y)C、1-[1-F(x)]2

D。[1-F(x)][1-F(y)]答案：A解析：由于隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布,則P{Z<z}=P{max(X,Y)<z,y<z}p{y

<z,y<z}p{y

55.已知隨機(jī)變量,EXY=5/8,則P{X+Y≤1}等于()。A、1/8B、1/4C、3/8D、1/2答案：C解析：由題設(shè)知,,所以

EXY=P{X=1,Y=1}=5/8

P{X+Y≤1}=1-P{X+Y>1}=1-P{X=1,Y=1}=1-5/8=3/8

二、填空題56.對(duì)于任意兩事件A和B,則下述命題正確的是()。A、若AB≠?,則A,B一定獨(dú)立B、若AB≠?,則A,B有可能獨(dú)立C、若AB=?,則A,B一定獨(dú)立D、若AB=?,則A,B一定不獨(dú)立答案：B解析：當(dāng)P(A)≠0,P(B)≠0時(shí),若A,B相互獨(dú)立,則一定有P(AB)=P(A)P(B)≠0,從而由AB≠?可見,當(dāng)A,B相互獨(dú)立時(shí),往往A,B并不是互斥的,AB≠?推不出P(AB)=P(A)P(B),因此推不出A,B一定獨(dú)立,排除A;若AB=?,則P(AB)=0,但P(A)P(B)是否為零不確定,P(AB)≠P(A)P(B)。因此C,D也不成立,故正確選項(xiàng)為B。

57.設(shè)總體X~N(μ,4),據(jù)某一容量為16的樣本,計(jì)算得知總體均值μ的置信度為95%的置信區(qū)間I=(9.02,10.98)?，F(xiàn)對(duì)于顯著性水平α=0.05,檢驗(yàn)H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0,記統(tǒng)計(jì)量V=X(_)-μ0,則檢驗(yàn)H0的否定域R應(yīng)該是()。A、R={V∈(_)I}B、R={V∈I}C、R={|V|>0.98}D、R={|V|>1.96}答案：C解析：由置信區(qū)間,其中樣本統(tǒng)計(jì)量U~N(0,1)且λ滿足P{|U|≤A}=0.95。由題設(shè)條件可計(jì)算出樣本均值的觀察值為x=10,λ=1.96,σ0=2。

在檢驗(yàn)H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0時(shí),選取的統(tǒng)計(jì)量

58.已知隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=1/2·e-|x|,-∞<x<+∞,則D(X2)的值為()。A、20B、22C、24D、28答案：A解析：D(X2)=E(X4)-(EX2)2,

59.將一枚硬幣拋n次,X表示正面向上的次數(shù),Y表示反面向上的次數(shù)的相反數(shù),則X與Y的相關(guān)系數(shù)為()。A、1B、1/3C、1/4D、-1答案：A解析：由于X-Y=n,即Y=X-n,故X與Y的相關(guān)系數(shù)等于1。

60.對(duì)任意兩個(gè)互不相容的事件A與B,必有()。A、若Ρ(A)=0,則Ρ(B)=0B、若Ρ(A)=0,則Ρ(B)=1C、若Ρ(A)=1,則Ρ(B)=0D、若Ρ(A)=1,則Ρ(B)=1答案：C解析：由于AB=?,則A?B(_),即P(A)≤P(B(_)),若P(A)=1,則P(B(_))≥P(A)=1,P(B(_))=1,即P(B)=0,C項(xiàng)正確。若P(A)=0,則得P(B)≥0。

61.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(X),其密度函數(shù)為其中A為常數(shù),則F(1/2)的值為()。A、1/2B、1/3C、1/4D、1/5答案：A解析：解法一:先確定

62.設(shè)X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量,其中EX=2,EY=-1,DX=9,DY=16,且X,Y的相關(guān)系數(shù)ρxy=-1/2,由切比雪夫不等式得P{︱X+Y-1︱≤10}≥()。A、84/100B、87/100C、75/100D、80/100答案：B解析：令Z=X+Y,則EZ=EX+EY=1。

63.設(shè)X1,X2,X3是隨機(jī)變量,且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),Pi=P{-2≤Xi≤2}(i=1,2,3),則()。[數(shù)一、數(shù)三2013研]A、P1>P2>P3B、P2>P1>P3C、P3>P1>P2D、P1>P3>P2答案：A解析：由X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),知

P1=P{-2≤X1≤2}=P{|X1|≤2}=2Φ(2)-1

P2=P{-2≤X2≤2}=P{-1≤X2/2≤1}=P{|X2/2|≤1}=2Φ(1)-1

故P1>P2,由X3~N(5,32)及概率密度的對(duì)稱性知,P1>P2>P3。

64.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),X1,X2,…,X25是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X(_)為樣本均值,若P{|X-μ|<a}=P{|X(_)-μ|<π},則a=()。A、πB、5πC、D、25π答案：B解析：由于X~N(μ,σ2),故有

65.已知總體X的期望EX=0,方差DX=σ2,從總體中抽取容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其均值為X(_),方差為S2.記Sk2=nX(_)2/k+S2/k(k=1,2,3,4),則()。A、ES12=σ2B、ES22=σ2C、ES32=σ2D、ES42=σ2答案：B66.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則下列說(shuō)法不正確的是()。A、X,Y一定相互獨(dú)立B、X,Y的任意線性組合l1x+l2x服從于一維正態(tài)分布C、X,Y分別服從于一維正態(tài)分布D、當(dāng)相關(guān)系數(shù)p=0時(shí),X,Y相互獨(dú)立答案：A解析：由密度函數(shù)解得,若ρxy=0?X與Y獨(dú)立(因?yàn)?X,Y)服從二維正態(tài)分布);若ρxy≠0?f(x,y)≠fX(x)fY(y)?X,Y相互不獨(dú)立,可見A項(xiàng)不正確。

67.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且X2n(n=1,2,…)服從參數(shù)為λ的泊松分布,X2n-1(n=1,2,…)服從期望值為λ的指數(shù)分布,則隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…一定滿足()。A、切比雪夫大數(shù)定律B、伯努利大數(shù)定律C、辛欽大數(shù)定律D、中心極限定理答案：A解析：X1,X2,…,Xn,…不是同分布,因此不能滿足辛欽大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和中心極限定理。

進(jìn)一步分析,EX2n=DX2n=λ,EX2n-1=λ,DX2n-1=λ2,因此對(duì)任何n=1,2,…,都有D(Xn)<λ+λ2,即X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,期望、方差都存在且對(duì)所有n,D(Xn)<λ+λ2,符合切比雪夫大數(shù)定律成立的條件。

68.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,0<P(A)<1,0A、P(A|B)+P(A(_)|B)=1B、P(A|B)+P(A|B(_))=1C、P(A|B)+P(A(_)|B(_))=1D、P(A|B(_))+P(A(_)|B)=1答案：C解析：AD兩項(xiàng),由于“條件概率是概率,它具有概率的一切性質(zhì)”,因此選項(xiàng)AD對(duì)任意事件A,B都成立,由它不能斷言A,B相互獨(dú)立。B項(xiàng),如果A與B相互獨(dú)立,則P(A|B)+P(A|B(_))=P(A),因此P(A|B)=P(A|B(_))=P(A)+P(A)=2P(A)≠1,所以B不成立。

C項(xiàng),由于0<P(A)<1,0<p(b)<1,所以a與b相互獨(dú)立?p(a|b)+p(a|b(_))=1-p(a(_)|b(_))?p(a|b)+p(a(_)|b(_))=1。

</p(b)<1,所以a與b相互獨(dú)立?p(a|b)+p(a|b(_))=1-p(a(_)|b(_))?p(a|b)+p(a(_)|b(_))=1。

69.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,則P{X=1}=()。[數(shù)一,數(shù)三2010研]A、0B、1/2C、1/2-e-1D、1-e-1答案：C解析：P{X=1}=F(1)-F(1-0)=1-e-1-1/2=1/2-e-1。

70.袋中有2個(gè)白球和1個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中任取一球且不放回,并再放入一個(gè)白球,這樣一直進(jìn)行下去,則第n次取到白球的概率為()。A、1-2n/3n+1B、1-(2/3)nC、1-(2/3)n-1D、1-2n-1/3n答案：D解析：設(shè)Ai表示第i次取到白球,i=1,2,…,n。則A(_)n=A1A2…An-1A(_)n,由乘法公式可得

71.設(shè)事件A與事件B互不相容,則()。A、P(A(_)B(_))=0B、P(AB)=PA·PBC、PA=1-PBD、P(A(_)∪B(_))=1答案：D解析：因?yàn)锳,B互不相容,由互不相容的定義得A∩B=?,即P(AB)=0。選項(xiàng)A:根據(jù)德摩根律,得到P(A(_)B(_))=P(A(_)∪B(_))=1-P(A∪B),因?yàn)椴荒軌蛴深}目條件A∩B=?得到A∪B=S,所以不能得出P(A∪B)=1,故A不正確。選項(xiàng)B:由A∩B=?得不到A=?,或B=?,即得不到P(A)=0,或P(B)=0,因此B不成立,故排除。選項(xiàng)C:根據(jù)對(duì)立事件的定義,只有當(dāng)A,B互為對(duì)立事件的時(shí)候才成立,故排除C。選項(xiàng)D:P(A(_)∪B(_))=P(A(_)B(_))=1-P(AB)=1,故D正確。

72.設(shè)P(A︱B)=P(B︱A)=1/4,且P(A(_))=2/3,則()。A、事件A,B相互獨(dú)立且P(A+B)=7/12B、事件A,B不獨(dú)立且P(A+B)=7/12C、事件A,B相互獨(dú)立且P(A+B)=5/12D、事件A,B不獨(dú)立且P(A+B)=5/12答案：B解析：P(A︱B)=P(B︱A)=1/4,且P(A(_))=2/3,則

P(A︱B)=P(B︱A)?P(AB)/P(B)=P(AB)/P(A)?P(B)=P(A)=1-P(A(_))=1/3,

又P(AB)/P(A)=1/4?P(AB)=1/12,則P(AB)≠P(A)P(B),故A,B不獨(dú)立。

即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3+1/3-1/12=7/12。

73.設(shè)隨機(jī)變量X和Y均服從分布B(1,1/2),且E(XY)=1/2,記X與Y的相關(guān)系數(shù)為ρ,則()。A、ρ=1B、ρ=-1C、ρ=0D、ρ=1/2答案：A解析：,DX=DY=1/4;cov(X,Y)=E(XY)-EX?EY=1/2×1/2=1/4,故ρ=1。

74.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,P(B)>0,則()。A、P(A∪B)≥P(A)+P(B)B、P(A-B)≥P(A)-P(B)C、P(AB)≥P(A)P(B)D、P(A|B)≥P(A)/P(B)答案：B解析：A項(xiàng),應(yīng)用概率運(yùn)算性質(zhì)知,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)。B項(xiàng),P(A-B)=P(A)-P(AB)≥P(A)-P(B)。C項(xiàng),它可能成立也可能不成立,例如AB=?,P(A)>0,P(B)>0,則P(AB)=0<P(A)P(B);如果A?B,則P(AB)=P(A)≥P(A)P(B)。D項(xiàng),P(A|B)=P(AB)/P(B)≤P(A)/P(B)。

75.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且E(X)與E(Y)存在,記U=max{X,Y},V=min{X,Y},則E(UV)=()。A、E(U)E(V)B、E(X)E(Y)C、E(U)E(Y)D、E(X)E(V)答案：B解析：因?yàn)?,所以,UV=XY,于是E(UV)=E(XY)=E(X)E(Y)。

76.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

A、0B、1/2C、1/2-e-1D、1-e-1答案：C解析：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是跳躍的階梯形分段函數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。觀察本題中F(x)的形式,得到隨機(jī)變量X既不是離散型隨機(jī)變量,也不是連續(xù)型隨機(jī)變量,所以求隨機(jī)變量在一點(diǎn)處的概率,只能利用分布函數(shù)的定義。根據(jù)分布函數(shù)的定義,函數(shù)在某一點(diǎn)的概率可以寫成兩個(gè)區(qū)間內(nèi)概率的差,即P{X=1}=P{X≤1}-P{X<1}=F2)-F(1-0)=1-e-1-1/2=1/2-e-1,故本題選C。

77.假設(shè)總體X的方差DX存在,X1,…,Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其均值和方差分別為X(_),S2,則EX2的矩估計(jì)量是()。A、S2+X(_)2B、(n-1)S2+X(_)2C、nS2+X(_)2D、(n-1)S2/n+X(_)2答案：D解析：由于EX2=DX+(EX)2,而DX與EX矩估計(jì)量分別為與,所以EX2的矩估計(jì)量為(n-1)S2/n+X(_)2。

78.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則可以作為密度函數(shù)的是()。A、f(2x)B、f(2-x)C、f2(x)D、f(x2)答案：B解析：概率密度的充要條件為:①f(x)≥0,②。

A項(xiàng),f(2x)不是概率密度,因

79.設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為1的泊松分布,令,則隨機(jī)變量序列Y1,Y2,…,Yn,…一定()。A、滿足切比雪夫大數(shù)定律B、不滿足切比雪夫大數(shù)定律C、滿足辛欽大數(shù)定律D、不滿足辛欽大數(shù)定律答案：A解析：Y1,Y2,…,Yn,…相互獨(dú)立,其期望、方差都存在且EYi=1,DYi=1/mi≤1,符合切比雪夫大數(shù)定律成立的三個(gè)條件,即①Y1,Y2,…,Yn,…相互獨(dú)立;②期望、方差都存在;③對(duì)任何i=1,2,…,方差DYi都小于一個(gè)共同常數(shù),因此Y1,Y2,…,Yn,…滿足切比雪夫大數(shù)定律。由于m1,m2,…不一定完全相同,因此不能確定Y1,Y2,…,Ym是否同分布,(要求m1=m2=…=mn=…,此時(shí)Y1,Y2,…,Yn,…同分布;m1,m2,…不全相同,Y1,Y2,…,Yn,…不同分布),故不能確定其是否一定滿足辛欽大數(shù)定律。

80.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,Sn=X1+X2+…+Xn,則根據(jù)列維—林德伯格中心極限定理,當(dāng)n充分大時(shí),Sn近似服從正態(tài)分布,只要X1,X2,…,Xn()。A、有相同的數(shù)學(xué)期望B、有相同的方差C、服從同一指數(shù)分布D、服從同一離散型分布答案：C解析：根據(jù)列維—林德伯格中心極限定理的條件:X1,X2,…,Xn,…獨(dú)立同分布,且期望和方差存在。選項(xiàng)A、B有相同的數(shù)學(xué)期望和方差,不能保證服從相同的分布,所以都排除。選項(xiàng)D,服從相同的分布,它的期望、方差不一定存在,也不滿足定理的條件,所以排除D,只有選項(xiàng)C是正確的。選項(xiàng)C,服從同一指數(shù)分布,滿足服從相同的分布,并且指數(shù)分布的期望和方差是存在的,所以滿足定理的條件,故選項(xiàng)C是正確的。

81.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)(σ>0),記p=P{X≤μ+σ2},則()。[數(shù)一2017研]A、p隨著μ的增加而增加B、p隨著σ的增加而增加C、p隨著μ的增加而減少D、p隨著σ的增加而減少答案：B解析：因?yàn)閜=P{X≤μ+σ2}=P{(X-μ)/σ≤σ}=Φ(σ),所以p的大小與μ無(wú)關(guān),隨著σ的增大而增大。

82.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ1,σ12),隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22),且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},則必有()。A、σ1<σ2B、σ1>σ2C、μ1<μ2D、μ1>μ2答案：A解析：由于X與Y服從不同參數(shù)的正態(tài)分布,所以不能直接判斷PP{|X-μ1|<1}和P{|Y-μ2|<1}的大小與參數(shù)的關(guān)系,如果將其標(biāo)準(zhǔn)化后就可以方便地進(jìn)行比較了,隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化,有(X-μ1)/σ1~N(0,1),且其概率密度函數(shù)是偶函數(shù),所以

P{|X-μ1|<1}=P{-1<x-μ1<(x-μ1)=""σ1同理有,P{|Y-μ2|<1}=2Φ/σ2-1。

因?yàn)棣?x)是單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}時(shí),2Φ/σ1-1>2Φ/σ2-1,即1/σ1>1/σ2,所以σ1<σ2,故選A項(xiàng)。

</x-μ183.設(shè)相互獨(dú)立的兩隨機(jī)變量X和Y,其中X~B(1,1/2)而Y具有概率密度,則P{X+Y≤1/3}的值為()。A、1/6B、1/3C、1/4D、1/2答案：A解析：X~B(1,1/2)X取值只能為X=0或X=1,將X=0和X=1看成完備事件組,用全概率公式得:

84.設(shè)總體X~B(m,θ),X1,X2,…,Xn為來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X(_)為樣本均值,則=()。[數(shù)三2015研]A、(m-1)nθ(1-θ)B、m(n-1)θ(1-θ)C、(m-1)(n-1)θ(1-θ)D、mnθ(1-θ)答案：B解析：根據(jù)樣本方差的性質(zhì),有E(S2)=D(X)=mθ(1-θ)。

從而

85.假設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布,X1,…,Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其均值為X(_),方差為S2。已知E[aX(_)+(2-3a)S2]=λ,則a等于()。A、-1B、0C、1/2D、1答案：C86.設(shè)A,B,C為三個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/12,則A,B,C中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率為()。[數(shù)一2020研]A、3/4B、2/3C、1/2D、5/12答案：D解析：只發(fā)生A事件的概率:

87.設(shè)隨機(jī)變量X,Y不相關(guān),且EX=2,EY=1,DX=3,則E[X(X+Y-2)]=()。[數(shù)一2015研]A、-3B、3C、-5D、5答案：D解析：隨機(jī)變量X,Y不相關(guān),因此E(XY)=E(X)E(Y),進(jìn)而得

E[X(X+Y-2)]=E(X2+XY-2X)=E(X2)+E(XY)-2E(X)=D(X)+E2(X)+E(X)·E(Y)-2E(X)=3+22+2×1-2×2=5

故選D項(xiàng)。

88.設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容,0<P(A)<1,0A、ρ=0B、ρ=1C、ρ<0D、ρ>0答案：C解析：B項(xiàng),使用排除法,若選項(xiàng)B成立,選項(xiàng)D必成立。ACD三項(xiàng),相關(guān)系數(shù)符號(hào)取決于cov(X,Y)=EXY-EXEY,由題設(shè)知EX=P(A),EY=P(B),,因?yàn)镻(AB)=0,所以cov(X,Y)=-EXEY<0,即ρ<0。

89.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如表4-1所示

表4-1

A、X與Y不相關(guān)B、X2與Y2不相關(guān)C、X+Y與X-Y不相關(guān)D、X2+Y2與X2-Y2不相關(guān)答案：A解析：A項(xiàng),EX=EY=0,EXY=a-a-a+a=0,cov(X,Y)=EXY-EXEY=0,P=0,即X與Y不相關(guān),進(jìn)一步分析,X2與Y2的聯(lián)合概率分布應(yīng)為

表4-2

90.設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容,則()。A、Ρ(A(_)B(_))=0B、Ρ(A(_)B(_))≠0C、Ρ(A∪B(_))=Ρ(A)D、Ρ(A∪B(_))=Ρ(B(_))答案：D解析：由AB=?,不能得到A(_)B(_)=?或≠?,故A、B兩項(xiàng)有誤,由于AB=??A?B(_)故A∪B(_)=B(_)。

91.假設(shè)隨機(jī)變量分布函數(shù)F1(x)和F2(x)以及概率密度函數(shù)f3(x)和f4(x),如果a>0,b>0,則不能有結(jié)論()。A、aF1(x)+bF2(x)也是分布函數(shù)的充要條件是a+b=1B、aF1(x)F2(x)也是分布函數(shù)的充要條件是a=1C、af3(x)+bf4(x)也是密度函數(shù)的充要條件是a+b=1D、af3(x)f4(x)也是密度函數(shù)的充要條件是a=1答案：D解析：D項(xiàng),令和,顯然它們是U(-1,0)和U(0,1)的密度函數(shù),而f3(x)f4(x)=0,(-∞<x<+∞),不滿足概率密度函數(shù)的充要條件。A項(xiàng),aF1(x)+bF2(x)當(dāng)a,b均為正時(shí)也單調(diào)不降:aF1(-∞)+bF2(-∞)=0;aF1(+∞)+bF1(+∞)=a+b=1;aF1(x)+bF2(x)右連續(xù),所以aF1(x)+bF2(x)是分布函數(shù)。B項(xiàng),F1(x)F2(x)為單調(diào)不降;F1(-∞)F2(-∞)=0;F1(+∞)F2(+∞)=1;F1(x)F2(x)也是右連續(xù)的,F1(x)F2(x)也是分布函數(shù)。C項(xiàng)

92.設(shè)隨機(jī)變量X的期望、方差都存在,則對(duì)任意常數(shù)c,有()。A、E(X-c)2<DX+E2(X-c)B、E(X-c)2>DX+E2(X-c)C、E(X-c)2=DX+E2(X-c)D、E(X-c)2=DX-E2(X-c)答案：C解析：由于DX=D(X-c)=E(X-c)2-E2(X-c),所以E(X-c)2=DX+E2(X-c)。

93.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,則P(A)=P(B)的充分必要條件是()。[數(shù)一2019研]A、P(A∪B)=P(A)+P(B)B、P(AB)=P(A)P(B)C、P(AB(_))=P(BA(_))D、答案：C解析：選項(xiàng)A只能說(shuō)明事件A與事件B不相容,選項(xiàng)B只能說(shuō)明事件A與事件B相互獨(dú)立,并不能說(shuō)明P(A)=P(B),對(duì)選項(xiàng)D來(lái)說(shuō),若令B=A(_),等式恒成立,亦不能說(shuō)明P(A)=P(B),故選C。

94.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,σ2),X(_),S2分別為容量是n的樣本,均值和方差,則可以作出服從自由度為n-1的t分布的隨機(jī)變量是()。A、B、C、nX(_)/SD、nX(_)/S2答案：A解析：由題設(shè)知,Xi~N(0,σ2),,(n-1)S2/σ2~χ2(n-1),X(_)與S2獨(dú)立,所以

95.設(shè)事件A與事件B互不相容,則()。A、P(A(_)B(_))=0B、P(AB)=P(A)P(B)C、P(A)=1-P(B)D、P(A(_)∪B(_))=1答案：D解析：由題意可知,P(AB)=0?P(AB(_))=1,即P(A(_)∪B(_))=1。96.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,P(A)>0,則P(B|A)=1不等價(jià)于()。A、P(A-B)=0B、P(B-A)=0C、P(AB)=P(A)D、P(A∪B)=P(B)答案：B解析：P(B|A)=1?P(AB)/P(A)=1?P(AB)=P(A),然而P(B-A)=P(B)-P(AB),所以選擇B項(xiàng)。其余三個(gè)選項(xiàng)與已知條件是等價(jià)的:

A項(xiàng),P(A-B)=0?P(A-B)=P(A)-P(AB)=0?P(AB)=P(A)。

C項(xiàng),P(AB)=P(A)?P(B|A)=1。

D項(xiàng),P(A∪B)=P(B)?P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)?P(A)=P(AB)。

97.設(shè)X1,X2,…,Xn(n≥2)為來(lái)自總體N(μ,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,記,則下列結(jié)論中不正確的是()。[數(shù)一2017研]A、服從χ2分布B、2(Xn-X1)2服從χ2分布C、服從χ2分布D、n(X(_)-μ)2服從χ2分布答案：B解析：A項(xiàng),Xi-μ~N(0,1),故

98.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布,則P{X<Y}=()。[數(shù)一2012研]A、1/5B、1/3C、2/5D、4/5答案：A解析：已知X~E(1),Y~E(4),故概率密度

99.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,σ2),X1,…,X10是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,統(tǒng)計(jì)量(1<i<10)服從F分布,則i等于()。A、5B、4C、3D、2答案：D100.設(shè)隨機(jī)變量X~B(1,1/4),Y~B(1,1/3),已知P{XY=1}=1/12,記ρ為X和Y的相關(guān)系數(shù),則()。A、ρ=1B、ρ=-1C、ρ=0,但X,Y不獨(dú)立D、X,Y相互獨(dú)立答案：D解析：由于cov(X,Y)=E(XY)-EX?EY=(1×1/12+0×11/12)-1/4×1/3=0,所以ρ=0。

又P{X=1,Y=1}=P{XY=1}=1/12=P{X=1}P{Y=1};

P{X=0,Y=1}=P{Y=1}-P{X=1,Y=1}=1/3-1/12=1/4=P{X=0}P{Y=1};

同理可證P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0},P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}。

故X,Y相互獨(dú)立。

101.設(shè)X1,X2,…,Xn,…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列,且均服從參數(shù)為λ(λ>1)的指數(shù)分布,記ψ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),則()A、B、C、D、答案：C解析：因X1,X2,…,Xn,…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且均服從參數(shù)為λ(λ>1)的指數(shù)分布,則由指數(shù)分布的期望、方差有E(Xi)=1/λ,D(Xi)=1/λ2,i=1,2,…,n,…。

于是

102.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P{|X-Y|<1}()。[數(shù)一2019研]A、與μ無(wú)關(guān),而與σ2有關(guān)B、與μ有關(guān),而與σ2無(wú)關(guān)C、與μ,σ2都有關(guān)D、與μ,σ2都無(wú)關(guān)答案：A解析：因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立且都服從N(μ,σ2),記Z=X-Y,則Z服從N(0,2σ2)分布,P{|Z|<1}只與σ2有關(guān),因此P{|X-Y|<1}與μ無(wú)關(guān),而與σ2有關(guān),故選A。

103.假設(shè)X與Y是隨機(jī)變量,其分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y),如果它們的期望和方差都存在,現(xiàn)在有四個(gè)結(jié)論:

①X=Y;②P{X=Y}=1;③FX(x)=FY(y);④EX=EY,DX=DY,如果用“p?Q”,表示由結(jié)論P(yáng)可以推出結(jié)論Q,則()。A、②?①?③B、②?③?④C、③?①?②D、③?②?④答案：B解析：CD兩項(xiàng),具有相同分布的隨機(jī)變量并不意味著這兩個(gè)隨機(jī)變量相等或以概率1相等,即③?①,③?②不一定成立;A項(xiàng),P{X=Y}=1也不意味著對(duì)一切樣本點(diǎn)都有X(ω)=Y(ω),即②?①不一定成立;B項(xiàng),如果P{X=Y}=1,則P{X≠Y}=0,FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,X=Y}=P{Y≤x,X=Y}=P{Y≤x}=FY(y),即②?③;又分布相同,相應(yīng)的數(shù)字特征就應(yīng)該相等(只要它們存在),所以③?④成立。

其他選項(xiàng)不成立,我們可以通過(guò)下面的例子加以說(shuō)明,例:將一枚硬幣隨意投擲一次,記ω1=“擲出正面”,ω2=“擲出反面”,則樣本空間Ω={ω1,ω2},令顯然P(ω2)=1/2,,,X與Y同分布,且EX=EY,DX=DY,然而X(ω1)=1≠Y(ω1)=0,并且P{ω|X(ω)=Y(ω)}=P(?)=0,即③、④成立,但①、②都不成立。

104.對(duì)任意正整數(shù)m,n,隨機(jī)變量X都滿足P{X>m+n|X>m}=P{X>n},記P{X<1}=p,則下列結(jié)論中一定不正確的是()。A、p=0B、p>0C、p<1D、p=1答案：D解析：離散型隨機(jī)變量中的幾何分布與連續(xù)型隨機(jī)變量中的指數(shù)分布都滿足題設(shè)條件,若X服從幾何分布,則P=P{X<1}=0,若X服從指數(shù)分布,則P=P{X<1}=1-e-λ,且0<p

</p

105.設(shè)f1(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),f2(x)是[-1,3]上均勻分布的概率密度,且為概率密度,則a,b應(yīng)滿足()。A、2a+3b=4B、3a+2b=44C、a+b=1D、a+b=2答案：A解析：

106.設(shè)(X,Y)具有密度函數(shù),則()。A、(X,Y)服從二維正態(tài),且X與Y服從一維正態(tài)分布B、(X,Y)服從二維正態(tài),但X與Y不服從一維正態(tài)分布C、(X,Y)不服從二維正態(tài),且X與Y不服從一維正態(tài)分布D、(X,Y)不服從二維正態(tài),但X與Y服從一維正態(tài)分布答案：D解析：二維正態(tài)分布應(yīng)具有密度函數(shù)

107.假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立具有非零的方差,DX≠DY,則()。A、3X+1與4Y-2相關(guān)B、X+Y與X-Y不相關(guān)C、X+Y與2Y+1相互獨(dú)立D、eX與2Y+1相互獨(dú)立答案：D解析：由于X與Y相互獨(dú)立,故eX與2Y+1相互獨(dú)立,D項(xiàng)正確。

事實(shí)上,當(dāng)x>0時(shí),P{eX≤x,2Y+1≤y}=P{X≤lnx,Y≤(y-1)/2}=P{X≤lnx}?P{Y≤(y-1)/2}=P{eX≤x}?P{2Y+1≤y}。

而當(dāng)X≤0時(shí)P{eX≤X}=0,所以P{eX≤x,2Y+1≤y}=0=P{eX≤x}?P{2Y+1≤y}。

由此可知eX與2Y+1相互獨(dú)立,A、B、C三項(xiàng)不成立,是由于

Cov(3X+1,4Y-2)=12cov(X,Y)=0?3X+1與4Y-2不相關(guān);

Cov(X+Y,X-Y)=cov(X,X)-cov(Y,Y)=DX-DY≠0?X+Y與X-Y相關(guān);

Cov(X+Y,2Y+1)=2cov(X,Y)+2cov(Y,Y)=2DY≠0?X+Y與2Y+1相關(guān),X+Y與2Y+1不相互獨(dú)立。

108.已知A,B為隨機(jī)事件,0<P(A)<1,0A、P(B|A)=P(B|A(_))B、P(A|B)=P(A|B(_))C、P(B(_)|A)=P(A|B(_))D、P(A|B)=P(A(_)|B)答案：C解析：已知P(A(_)|B)=P(B|A(_))?P(B)=P(A(_))=1-P(A)?P(A)+P(B)=1。

AB兩項(xiàng),是A與B獨(dú)立的充要條件,因此不能選。由“對(duì)稱性”知選項(xiàng)C正確。D項(xiàng),P(B(_)|A)=P(A|B(_))?P(A)=P(B(_))=1-P(B)?P(A)+P(B)=1;又P(A|B)=P(A(_)|B)=1-P(A|B)?P(A|B)=1/2,即P(AB)/P(B)=1/2,P(AB)=P(B)/2,此與P(A(_)|B)=P(B|A(_))不等價(jià)。

109.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且均服從下列分布:,則下列隨機(jī)變量中服從二項(xiàng)分布的是()。A、X+YB、X-YC、(X+Y)/2+1D、(X-Y)/2-1答案：C解析：由題意知,X+Y的可能取值為-2,0,2,故(X+Y)/2+1的可能取值為0,1,2,且P[(X+Y)/2+1=k]=C2kpk(1-p)2-k,k=0,1,2。

110.現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券,其中8張2元,2張5元,今從中一次取三張,則得獎(jiǎng)金X的數(shù)學(xué)期望EX為A、6B、7.8C、8.4D、9答案：B解析：解法一:X的分布律為

表4-3

111.假設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),X1,…,Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(n>1),其均值為X(_),如果P{|X-μ|<a}=P{|X(_)-μ|A、與σ及n都有關(guān)B、與σ及n都無(wú)關(guān)C、與σ無(wú)關(guān),與n有關(guān)D、與σ有關(guān),與n無(wú)關(guān)答案：C解析：依題設(shè)X~N(μ,σ2),X(_)~N(μ,σ2/n)?,

如果P{|X-μ|<a}=P{|X(_)-μ|<b},則有

</b},則有

112.設(shè)隨機(jī)變量X和y同分布,概率密度為且E[n(x+2y)]=0,則a的值為()。A、1/2B、1/3C、1/(2θ2)D、2/(3θ)答案：A解析：由題意知,

113.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ(λ>0)的指數(shù)分布,事件A={X≥0},B={X≥2},C={X<2},D={X=5},則下列結(jié)論一定正確的是()。A、A,B,C相互獨(dú)立B、A,B,D相互獨(dú)立C、B,C,D相互獨(dú)立D、A,B,C,D兩兩獨(dú)立答案：B解析：X服從參數(shù)為λ(λ>0)的指數(shù)分布,得P(A)=1,P(D)=0,概率為0或1的事件與任何事件都是相互獨(dú)立的,又C=B(_)且P(B)與P(C)均大于零,因此P(BC)=0≠P(B)P(C),即B與C不獨(dú)立,因此答案選B。

114.假設(shè)隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)為ρ,則ρ=1的充要條件是()。A、Y=aX+b(a>0)B、cov(X,Y)=1,DX=DY=1C、cov(X,Y)=1/4,D、D(X+Y)=(DX1/2+DY1/2)答案：D解析：顯然A、B、C三項(xiàng)是ρ=1的充分條件但不是必要條件,因此選D項(xiàng)。事實(shí)上ρ=1???。

115.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且滿足P{X<σ}A、0<μ/σ<1B、μ/σ>1C、μ/σ=1D、μ/σ<0答案：B116.設(shè)隨機(jī)變量X~B(1,1/2),Y~B(1,1/2),已知X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=1,則P{X=0,Y=1}的值必為()。A、0B、1/4C、1/2D、1答案：A解析：由題意知,EX=EY=1/2,DX=DY=1/4;又,故cov(X,Y)=1/4,又cov(X,Y)=E(XY)-EX?EY,即1/4=E(XY)-1/2·1/2,所以E(XY)=1/2,由于XY的取值只有0和1;因此P{XY=1}=1/2,即P{X=1,Y=1}=1/2,P{X=0,Y=1}=P{Y=1}-P{X=1,Y=1}=1/2-1/2=0。

117.已知隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)大于零,則()。A、D(X+Y)≥DX+DYB、D(X+Y)<DX+DYC、D(X-Y)≥DX+DYD、D(X-Y)<DX+DY答案：D解析：應(yīng)用公式D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)來(lái)確定正確選項(xiàng),由于X與Y的相關(guān)系數(shù),故ρ>0?cov(X,Y)>0。

所以D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)>DX+DY,

D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)<DX+DY。

118.設(shè)X1,X2,X3為來(lái)自正態(tài)總體N(0,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則統(tǒng)計(jì)量服從的分布是()。[數(shù)三2014研]A、F(1,1)B、F(2,1)C、t(1)D、t(2)答案：C解析：由題意知,,X1-X2~N(0,2σ2),,X3~N(0,σ2),所以X3/σ~N(0,1),X32/σ2~χ2(1),且與X3/σ相互獨(dú)立,故

119.已知X~N(15,4),若X的值落入?yún)^(qū)間(-∞,x1),(x1,x2),(x2,x3),(x3,x4),(x4,+∞)內(nèi)的概率之比為7:24:38:24:7,則x1,x2,x3,x4分別為()。A、12,13.5,16.5,18B、11.5,13.5,16.5,18.5C、12,14,16,18D、11,14,16,19

附:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值Φ(1.5)=0.93,Φ(0.5)=0.69。答案：C解析：X落入(-∞,x1),(x1,x2),(x2,x3),(x3,x4),(x4,+∞)的概率應(yīng)為7/100,24/100,38/100,24/100,7/100,即0.07,0.24,0.38,0.24,0.07。

P{X≤x4}=1-P{X>x4}=1-0.07=0.93=Φ(1.5)

而X~N(15,4),所以(X-15)/2~N(0,1),

P{X≤x4}=P{(X-15)/2≤(x4-15)/2}=Φ((x4-15)/2)

所以(x4-15)/2=1.5,解得x4=18。

又P{X≤x3}=1-P{X>x3}=1-0.24-0.07=0.69=Φ(0.5),

P{X≤x3}=P{(X-15)/2≤(x3-15)/2}=Φ((x3-15)/2),得(x3-15)/2=0.5,故x3=16。

由對(duì)稱性知x1與x4,x2與x3都關(guān)于15對(duì)稱,所以x1=15-(x4-15)=12,x2=15-(x3-15)=14。

120.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立同分布,已知P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,0<p<1,則Ρ{X>Y}的值為()。A、p(2-p)B、(1-p)/(2-p)C、p/(1-p)D、2p/(1-p)答案：B解析：解法一:

121.設(shè)X1,X2,X3,X4為來(lái)自總體X~N(1,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,且服從χ2(n)分布,則常數(shù)k和χ2分布的自由度n分別為()。A、k=1/4,n=4B、k=1/2,n=1C、k=1/4,n=1D、k=1/2,n=4答案：C解析：由于,則,,故。122.假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,Y的分布律為Ρ{Y=1}=Ρ(Y=-1)=1/2,則X+Y的分布函數(shù)()。A、是連續(xù)函數(shù)B、恰有一個(gè)間斷點(diǎn)的階梯函數(shù)C、恰有一個(gè)間斷點(diǎn)的非階梯函數(shù)D、至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)答案：A解析：依題意,要通過(guò)確定Z=X+Y的分布函數(shù)FZ(z)有幾個(gè)間斷點(diǎn)來(lái)確定正確選項(xiàng)。由于FZ(z)在Z=a間斷點(diǎn)FZ(a)-FZ(a-0)≠P{Z=a}≠0,故我們可以通過(guò)計(jì)算概率P{Z=a}或求Z=X+Y的分布函數(shù)來(lái)確定正確選項(xiàng)。

解法一(概率法):由全概率公式知,對(duì)?a∈R,

P{X+Y=a}=P{X+Y=a,Y=1}+P{X+Y=a,Y=-1}=P{X=a-1,Y=1}+P{X=a+1,Y=-1}≤P{X=a-1}+P{X=a+1}=0

所以X+Y的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),選擇A項(xiàng)。

解法二(分布函數(shù)法):

已知,又X與Y相互獨(dú)立,所以應(yīng)用全概公式得X+Y的分布函數(shù)

123.假設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其分布函數(shù)為F(x),則()。A、F(x)是偶函數(shù)B、F(x)是奇函數(shù)C、F(x)+F(-x)=1D、2F(x)-F(-x)=1答案：C解析：AB兩項(xiàng),由于F(x)是單調(diào)不減的非負(fù)函數(shù),所以不成立。CD兩項(xiàng),已知f(x)是偶函數(shù),因此有

124.設(shè)總體X的分布為

表7-1

A、1-X(_)B、(1-X(_))/5C、1/5-X(_)D、1-X(_)/5答案：B解析：由已知得一階矩估計(jì)為A1=X(_),令期望值等于一階矩估計(jì)值,即EX=(-1)(2θ)+0?θ+1?(1-3θ)=1-5θ=X(_),解得θ(∧)=(1-X(_))/5。

125.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,-1;1,4;0),則下列結(jié)論中不正確的是()。A、X與Y相互獨(dú)立B、aX+bY服從正態(tài)分布C、P{X-Y<1}=1/2D、P{X+Y<1}=1/2答案：D解析：由題設(shè)可知,ρxy=0?X與Y獨(dú)立(因?yàn)?X,Y)服從二維正態(tài)分布)。由二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知,aX+bY仍服從正態(tài)分布,且E(X-Y)=1,E(X+Y)=-1,再根據(jù)正態(tài)分布的圖形可知其數(shù)學(xué)期望左右兩側(cè)取值的概率為1/2,可見D項(xiàng)不正確。

126.設(shè)A、B、C為事件,P(ABC)>0,則P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要條件是()。A、P(A|C)=P(A)B、P(B|C)=P(B)C、P(AB|C)=P(AB)D、P(B|AC)=P(B|C)答案：D解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指:在C發(fā)生的條件下,A與B獨(dú)立,所以“在C發(fā)生的條件下,A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率”,即P(B|AC)=P(B|C)。也可以通過(guò)計(jì)算來(lái)確定選項(xiàng),事實(shí)上,P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)P(B|AC)=P(B|C),選項(xiàng)(A)、(B)、(C)分別是A與C、B與C、AB與C獨(dú)立的充要條件。

127.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則()。A、Ρ{X+Y≥0}=1/4B、Ρ{X-Y≥0}=1/4C、Ρ{max(X,Y)≥0}=1/4D、Ρ{min(X,Y)≥0}=1/4答案：D128.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2),其分布函數(shù)為F(X),則對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有()。A、F(X)+F(-X)=1B、F(1+X)+F(1-X)=1C、F(X+1)+F(X-1)=1D、F(1-X)+F(X-1)=1答案：B解析：由于X~N(1,σ2),所以X的密度函數(shù)f(X)的圖形是關(guān)于X=1對(duì)稱的,如下圖所示,而是曲邊梯形面積,由此即知B項(xiàng)正確。當(dāng)然也可以應(yīng)用特殊值(例如取X=0)通過(guò)計(jì)算Φ[(x-1)/σ]來(lái)確定正確選項(xiàng),可自行計(jì)算得到正確選項(xiàng)。

129.設(shè)隨機(jī)變量N(μ,σ2),σ>0其分布函數(shù)F(X)的曲線的拐點(diǎn)為(a,b),則(a,b)為()。A、(μ,σ)B、C、(μ,1/2)D、(0,σ)答案：C解析：X~N(μ,σ),其密度函數(shù)。F(X)的拐點(diǎn)的X坐標(biāo)a應(yīng)有F″(a)=f′(a)=0,故a=μ為f(X)的駐點(diǎn),當(dāng)X=μ時(shí),F(μ)=1/2,故曲線拐點(diǎn)在(μ,1/2)。

簡(jiǎn)答題1.設(shè)離散型二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值為(xi,yj)(i,j=1,2),且P{X=x2}=3/4,P{Y=y1|X=x2}=2/3,P{X=x1|Y=y1}=1/4,試求:

(Ⅰ)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布;

(Ⅱ)X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY;

(Ⅲ)條件概率P{Y=yj|X=x1},j=1,2。答案：依題意,隨機(jī)變量x與y的可能取值分別為x1,x2與y1,y2,且P{X=x1}=1-P{X=x2}=1-3/4=1/4,

又題設(shè)P{X=x1|Y=y1}=1/4,于是有P{X=x1|Y=y1}=P{X=x1},即事件{X=x1}與事件{Y=y1}相互獨(dú)立,因而{X=x1}的對(duì)立事件{X=x2}與{Y=Y1}獨(dú)立,且{X=x1}與{Y=y1}的對(duì)立事件{Y=y2}獨(dú)立;{X=x2}與{Y=y2}獨(dú)立,即x與y相互獨(dú)立。

(Ⅰ)因x與y獨(dú)立,所以有

P{Y=y1}=P{Y=y1|X=x2}=2/3

P{Y=y2}=1-P{Y=y1}=1/3

P{X=x1,Y=y1}=P{X=x1}P{Y=y1}=(1/4)·(2/3)=1/6

P{X=x1,Y=y2}=P{X=x1}P{Y=y2}=(1/4)·(1/3)=1/12

P{X=x2,Y=y1}=P{X=x2}P{Y=y1}=(3/4)·(2/3)=1/2

P{X=x2,Y=y2}=P{X=x2}P{Y=y2}=(3/4)·(1/3)=1/4或P{X=x2,Y=y2}=1-1/6-1/12-1/2=1/4

于是(X,Y)的聯(lián)合概率分布為

表3-12

2.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立,,其中X1在[0,1]上服從均勻分布,X2~N(0,22),X3服從于P3).求E[(X1-2X2+3X3)2]。答案：由X1~U(0,1),X2~N(0,22),X3~P3),則3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從參數(shù)為0,0,σ12,σ22,ρ的二維正態(tài)分布,其中σ12≠σ22.若X1=Xcosα+Ysinα,Y1=-Xsinα+Ycosα,且α